Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теоретические основы электротехники. Курс лекций
.pdf
ЛЕКЦИЯ 5. ЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА.
ОСНОВЫ СИМВОЛИЧЕСКОГО МЕТОДА. ЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ…
Если в цепи присутствуют пассивные элементы R, L и С, то в за-
висимости от соотношения параметров модулей сопротивлений wL
1
треугольники сопротивлений и проводимостей примут одну
и
wC
из приведенных форм.
5.5. Особенности расчета линейных цепей
с индуктивной связью
Между отдельными участками электрической цепи существуют
различные виды связи: электрическая, магнитная, комбинированная
и т. д. В этом разделе рассматривается только магнитная связь между
отдельными катушками, при которой магнитный поток одной катушки пронизывает витки другой катушки и наводит в ней ЭДС взаимной индукции, если происходит изменение во времени магнитного
потока или изменение в пространстве положения катушек.
При расчете цепей с индуктивной связью с использованием законов Кирхгофа учитывают не только выбор положительного направления токов в ветвях и направление обхода каждого контура, но и одноименные зажимы каждой пары индуктивно связанных катушек.
Это позволяет оценить направление магнитных потоков самоиндукции и взаимной индукции.
Одноименными считаются зажимы двух катушек, при одинаковых положительных направлениях токов относительно которых магнитные потоки самоиндукции и взаимной индукции складываются. Одноименные зажимы обозначают на схемах значками * или ·.
Примечание: В общем случае правильно указывать на наличие двух
пар одноименных зажимов в индуктивно связанных катушках, однако принято обозначать на схемах только одну из этих пар.
В зависимости от ориентации токов относительно одноименных
зажимов различают согласное и встречное включение двух катушек
(рис. 5.11). При согласном включении совпадают по направлению
магнитные потоки самоиндукции и взаимной индукции, следовательно, одинаковые знаки должны иметь составляющие напряжений
61
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ
на каждой катушке от основного и дополнительного магнитных потоков. При встречном включении эти знаки должны быть различными. Например, для схемы рис. 5.11, а можно записать
иL
di
=+ = + и ,
11
dt
di
12
M
dt
иL
22
di
dt
di
21
M
dt
где М представляет собой величину взаимной индуктивности, которая по аналогии с индуктивностью катушки L учитывает связь между
током катушки и магнитным потокосцеплением, однако в отличие
от нее здесь необходимо учитывать ток одной катушки и дополнительное магнитное потокосцепление от него на другой катушке. Размерность взаимной индуктивности сохранена такой же [Гн]. Взаимная индуктивность М зависит от многих факторов, в том числе
от ориентации катушек на плоскости, поэтому величина индуктивности может быть найдена только опытным путем. Сопротивление
взаимной индукции
Xм = w · M.
аб
i
1
i
2
L
1
M
L
2
Рис. 5.11. Примеры:
а — согласного включения двух катушек;
б — встречного включения двух катушек
i
1
i
L
1
M
2
L
2
Одним из важнейших параметров, учитывающих тесноту связи
между катушками, является коэффициент связи
=
62
w
M
Ч
ww
LL
.
К
М
=
св
Ч
LL
12 1 2
ЛЕКЦИЯ 5. ЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА.
ОСНОВЫ СИМВОЛИЧЕСКОГО МЕТОДА. ЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ…
Очевидно, диапазон изменения данного коэффициента связи составляет от нуля до единицы, в частности, Ксв = 1, если М = L1= L2.
На практике при наличии в цепи только двух катушек с индуктивной связью величина взаимной индуктивности может не иметь
цифрового обозначения, так как М
= М21 = М. При наличии трех
12
и более катушек с индуктивной связью рекомендуется вводить конкретные цифровые обозначения и одноименные зажимы для каждой пары катушек.
Для расчета электрических цепей с индуктивной связью используются методы законов Кирхгофа, контурных токов и индуктивных
развязок. Недопустимо использовать при расчете подобных цепей
метод узловых потенциалов, эквивалентного генератора, наложения, так как они предусматривают, как правило, нарушение состояния исходной (расчетной) цепи.
Пусть имеются две реальные катушки индуктивности с последовательным соединением рис. 5.12
M
L
R
I
U
1
1
Рис. 5.12. Расчетная схема
R
L
2
2
При указанном на схеме варианте расположения одноименных
зажимов и одинаковом токе I включение катушек оказывается согласным, поэтому для мгновенных значений уравнение по второму
закону Кирхгофа примет следующий вид (обход контура — по часовой стрелке):
uiR L
=Ч + Ч + Ч +Ч + Ч + Ч
di
122
dt
M
di
dt
iR L
di
dt
M
dt
di
,
или в символической форме записи для действующих значений
63
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ
U IR IjL IjM IR IjL IjM=Ч +Ч +Ч +Ч +Ч +Ч
ww ww.
11 2 2
Полученное уравнение может быть представлено в ином виде,
если учесть:
что R1 + jwL1 = Z1 — комплексное сопротивление первой катуш-
ки, без учета взаимной индукции,
RjLZ
+=w
22
jM Z
w=
UIZ IZ IZ
Тогда
Если принять
— то же для второй катушки,
2
— комплекс сопротивления взаимной индукции.
M
=Ч +Ч + Ч
12
UUe
2 .
j=0
,
M
то в общем случае векторная диаграмма
напряжений и токов примет вид, показанный на рис. 5.13. При этом
взаимная индуктивность выполняет функцию дополнительной индуктивности цепи.
+j
·
U
1
I
K1
I· · jwL
·
I· · jwM
1
I· · R
I· · R
·
U
·
U
K2
2
I· · jwL
2
I· · jwM
Рис. 5.13. Векторная диаграмма
При встречном включении этих катушек изменяется знак перед
составляющей напряжения взаимной индуктивности. В символической форме будет справедливо уравнение
U IR IjL IjM IR IjL IjM=Ч +Ч -Ч +Ч +Ч -Ч
ww ww.
11 2 2
Следует отметить уменьшение угла сдвига фаз. Это означает, что
взаимная индуктивность будет выполнять функцию емкостного элемента или ложной емкости. При принятых ранее обозначениях уравнение примет вид
64
+
ЛЕКЦИЯ 5. ЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА.
ОСНОВЫ СИМВОЛИЧЕСКОГО МЕТОДА. ЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ…
UIZ IZ IZ
=Ч +Ч - Ч
12
2 .
M
Для параллельного соединения двух катушек при их согласном
включении (рис. 5.14).
I
I
1
R
1
U
L
1
M
I
2
R
2
L
2
Рис. 5.14. Расчетная схема
Будут справедливы уравнения по законам Кирхгофа
UIR jX IjX
=++Ч
() ,
U I jX I R jX
=Ч + +
1
II I
=+
1
LM
Ч11 1 2
(),
MM
22
.
22
Расчет цепей с индуктивной связью по методу законов Кирхгофа
считается основным, однако на практике в ряде случаев можно применить метод индуктивных развязок.
Суть метода индуктивных развязок состоит в дополнительном
введении взаимных индуктивностей в состав электрических ветвей
и получении эквивалентной расчетной схемы, в которой магнитные связи между индуктивностями отсутствуют. Так как преобразования необходимо проводить на основании составленных по законам Кирхгофа уравнений, то исходная схема и вновь полученная
в расчетном смысле эквивалентны, но с физической точки зрения
такая замена смысла не имеет. Примеры эквивалентного преобразования с использованием метода индуктивных развязок приведены на рис. 5.16, а, б, в.
65
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ
+
·
U
·
· jX
I
2
M
+j
·
I
· jX
1
M
·
I
· jX
1
L1
·
I
· jX
2
L2
·
I
· R
1
1
·
I
· R
2
2
·
I
1
·
I
2
·
I
Рис. 5.15. Векторная диаграмма
аб в
I
1
I
1
M
a
L
L1 – ML
I
L
1
3
2
I
исх
3
– ML
L
2
a
+M
экв экв экв
I
I
2
I
I
1
2
M
1
a
L
1
I
L
1
+ M
I
3
a
(–M)
L
L
3
+ M
2
I
I
2
2
исх
1
I
I
1
2
L
– M
1
M
1
I
+M
3
– M
2
I
2
исх
L
2
I
2
Рис. 5.16. Примеры эквивалентных преобразований
с использованием метода индуктивных развязок
66
ЛЕКЦИЯ 5. ЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА.
ОСНОВЫ СИМВОЛИЧЕСКОГО МЕТОДА. ЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ…
Использование искусственных схем развязок позволяет в дальнейшем применять не только метод законов Кирхгофа, но и метод
узловых потенциалов, метод наложения и др.
Взаимная индуктивность между двумя катушками зависит от множества факторов, в том числе от расстояния между ними и взаимного
расположения, от магнитных свойств среды и параметров катушек,
поэтому ее реальное значение можно определить только опытным
путем. Для этого разработаны два способа.
Первый способ предполагает измерения напряжения, тока и активной мощности в цепи с последовательным соединением двух катушек как для согласного включения (рис. 5.12), так и для встречного
включения. Определив параметры всей цепи для согласного и встречного включений, комплекс сопротивления взаимной индуктивности
вычисляют по формуле
ZZ
-
M
согл встр
=
4
,
Z
а величина взаимной индуктивности в этом случае будет равна
ZZ
-
M
согл встр
=
j
4 w
,
где w — угловая частота источника питания.
Второй способ основан на подаче переменного напряжения в цепь
одной катушки и измерении напряжения на разомкнутых зажимах
второй катушки рис. 5.17.
I
1
A
1
I
2
2
К
V
2
2
2
U
1
К
1
Рис. 5.17. Схема измерения
R
1
L1L
67
R
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ
Для приведенной схемы и обозначенных одноименных зажимов
будут справедливы уравнения по второму закону Кирхгофа
UIRIjLIjM
=Ч+Ч -Чww,
1111 12
UIRIjLIjM
=Ч+Ч -Чww,
2222 21
где
— комплекс напряжения на разомкнутых зажимах второй ка-
U
2
тушки. Учитывая, что реальный ток I2 близок к нулю, второе уравнение для модулей примет вид
Тогда
UIM
»w.
21
U
2
M
.
=
w
I
1
Следовательно, для определения взаимной индуктивности достаточно показаний амперметра на входе одной катушки и вольтметра
на зажимах второй катушки. Данный способ позволяет проверить
принцип взаимности, в соответствии с которым M12 = M21. Для этого достаточно поменять катушки К1 и К2. Рассмотрим также понятие линейного трансформатора.
В простейшем представлении трансформатор — это статическое
устройство для преобразования напряжений и токов одной частоты. Простейший трансформатор должен содержать магнитопровод,
обеспечивающий путь для силовых линий магнитного поля, и две
обмотки: первичную, которую подключают к источнику переменного напряжения, и вторичную, к которой подключается приемник
электрической энергии.
Передача энергии из первичной цепи во вторичную, осуществляется магнитным путем, т. е. за счет взаимной индуктивной связи.
Трансформатор считается линейным, если взаимная индуктивность
остается постоянной независимо от протекающих токов.
Физическая схема и схема замещения линейного трансформатора приведена на рис. 5.18.
68
ЛЕКЦИЯ 5. ЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА.
ОСНОВЫ СИМВОЛИЧЕСКОГО МЕТОДА. ЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ…
аб
I
1
w
U
I
2
Z
н
I
1
M
R
U
1
1
L
1
I
2
R
2
Z
н
L
2
Рис. 5.18. Линейный трансформатор:
а — физическая схема; б — схема замещения
Принятые обозначения:
R1; L1 — активное сопротивление и индуктивность первичной
или питающей обмотки;
R2; L2 — активное сопротивление и индуктивность вторичной
обмотки;
М — взаимная индуктивность между обмотками;
ZН — сопротивление нагрузки.
Если принять, например активно-индуктивный характер нагруз-
ки, то в общем виде будут справедливы уравнения
UIRjLIjM
=+ +Ч()ww
111 1 2
0
=++++Ч
IR jL R jX I jM(),ww
где
RjXZ
+=.
HH
22 2 1
H
HH
Введем ряд обозначений:
R22 = R2 + RН — эквивалентное активное сопротивление вторич-
ной цепи;
X22 = X2 + XН — эквивалентное реактивное сопротивление вто-
ричной цепи.
Тогда, выполнив замену
примет вид
UIRjLI
=+ +
111 1 1
II
=-
21
()
69
w
jM
+
RjX
22 22
2
M
()
w
+
RjX
22 22
,
первое уравнение
.w
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ
Следовательно, комплекс входного сопротивления можно представить
2
M
ZRjL
=+ +
вх
w
11
w()
+
RjX
22 22
,
где последнее слагаемое получает название «вносимое сопротивление» и определяет свою роль в первичной цепи трансформатора.
Если умножить величину вносимого сопротивления на комплекс,
сопряженный знаменателю, то его характер становится активно-емкостным, поэтому реальная схема замещения линейного трансформатора примет вид (рис. 5.19).
R
I
U
L
1
1
R
вн
X
вн
Рис. 5.19. Схема замещения
линейного трансформатора
В этой схеме
2
MR
()
R
вн вн
Ч
ww
2
RjX
22
22
X
=
=
,
2
+
22
2
MX
()
Ч
2
RjX
+
22
22
.
2
22
Контрольные вопросы:
1. Получение синусоидальной ЭДС. Основные параметры.
2. Понятие угла сдвига фаз в идеализированных элементах.
3. Как построить треугольник сопротивлений и треугольник про-
водимостей?
4. Физический смысл взаимной индуктивности.
5. Основные методы расчета цепей с индуктивной связью.
6. Перечислить опытные способы определения взаимной индук-
тивности.
70
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]