Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теоретические основы электротехники. Курс лекций
.pdf
ЛЕКЦИЯ 13. КЛАССИЧЕСКИЙ МЕТОД РАСЧЕТА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ
В ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ С ОДНИМ НАКОПИТЕЛЕМ ЭНЕРГИИ
13.2. Переходные процессы
в реальной катушке индуктивности
Расчетная схема имеет вид, представленный на рис. 13.2.
i
E
Рис. 13.2. Расчетная схема
R
L
Решение. Используя предложенную ранее методику, можно за-
писать следующее:
1. До коммутации, т. е. при t = 0–, цепь находилась в отключен-
ном состоянии, поэтому результаты расчета такой цепи очевидны
iuiRuL
() ; ()() ; () .000 0 00 0
-= -= -Ч = -= Ч =
RL
di
dt
t
0
=
2. Основные начальные условия (ОНУ). В данной цепи применяется лишь один накопитель энергии, поэтому достаточно воспользоваться законом коммутации для тока с индуктивностью
i(0+) = i(0–) = 0.
3. Дифференциальные уравнения по законам Кирхгофа. После
замыкания рубильника (после коммутации) цепь приобретет состояние замкнутой в виде одного контура, поэтому для описания ее состояния достаточно воспользоваться уравнением по второму закону Кирхгофа
uR + uL = E или
iR L
151
di
dt
EЧ+Ч = * ().
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ
Полученное уравнение представляет собой неоднородное линейное дифференциальное уравнение первого порядка и имеет известное решение
= i
i
(t)
уст(t)
+ i
своб(t)
.
Для расчета каждой составляющей предусмотрены соответствующие разделы предложенной методики.
4. Расчет неосновных начальных условий выполняем по уравнению (*) для начального момента переходного процесса t = 0+ = 0.
Подставляя в него известное основное начальное условие (см. п. 2),
получим
iRL
() .00
+Ч+Ч = Ч+Ч =
di
dt
tt
=+ =+
или
ERL
00
di
dt
E
Становятся очевидными значения остальных параметров в на-
чальный момент времени
uiRuL
=Ч= =Ч =
RL
() () ()
00 0
++ +
;.
0
di
dt
t
=+
E
0
5. Расчет установившихся (принужденных) значений при t = Ґ.
Если учесть, что в момент времени t = Ґ при наличии в цепи источника постоянной ЭДС все токи и напряжения примут устойчивые, неизменные во времени значения, то уже из уравнения (*) сле-
дует, что, если
di
dt
t=Ґ
= 0,
то
iRE i
Остальные величины
uiREuL
RL
уст уст уст
уст уст
или Ч= = .
=Ч= =Ч =
;.0
152
E
R
di
dt
t
=Ґ
ЛЕКЦИЯ 13. КЛАССИЧЕСКИЙ МЕТОД РАСЧЕТА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ
В ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ С ОДНИМ НАКОПИТЕЛЕМ ЭНЕРГИИ
6. Характеристическое уравнение.
Теоретически возможны два варианта составления этого уравнения.
Во-первых, приравняв первую часть уравнения (*) к нулю, получим
di
dt
di
p, характеристическое уравнение
dt
R
L
Тогда, обозначив i 1,
примет вид
iR L
Ч+Ч =0.
RLp p
+Ч= =-0 или .
Во-вторых, учитывая единственный источник в цепи, можно за-
писать комплекс входного сопротивления
Zвх = R + jwL = 0.
Обозначив jw = p, получим
ZpRpL p
вх
или () .=+ = =-0
R
L
Из приведенного расчета следует, что в обоих вариантах получен
одинаковый единственный корень характеристического уравнения.
7. Общее решение.
С учетом всего изложенного выше решение дифференциального
уравнения (*) относительно тока
R
t
-
it i Ae
() () .=+ =+
уст
pt
или
it
E
R
Ae
L
Для определения постоянной интегрирования достаточно запи-
сать полученное уравнение при t = 0+ = 0.
i
() .00+= = + =- или
E
AA
R
153
E
R
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ
Тогда окончательно получим
R
t
ERE
it
() ; ()= - =Ч =Ч-
--
L
eutL
R
L
di
dt
ж
L
з
и
E
ц
ж
-
ч
з
RRL
ш
и
R
t
ц
L
eEe
ч
ш
R
--
L
=
t
.
8. Проверка решений.
Полученные уравнения подлежат проверке при t = 0+ = 0 и при
t = Ґ путем сравнения результатов с промежуточными вычислениями.
Так, при t = 0+ после подстановки имеем
i(0+) = 0; uR(0+) = 0; uL(0+) = E.
Эти же результаты получены соответственно в п. 2, п. 4.
При t = Ґ после подстановки этого времени в расчетные уравнения имеем:
E
i
===,,,0
uEu
RRуст уст уст
R
что полностью совпадает
с результатами промежуточных вычислений п. 5.
9. Графическое представление решений.
Если учесть, что величина постоянной времени
нения удобнее представить в следующем виде:
t
i
ERE
() , , .
0+= - = - =
--ttt
eu EEeu Ee
Rt
R
() ()
t
t= =
Lt
1pL
t
,
то урав-
R
Задаваясь, например, значениями t в долях, кратных t, можно со-
ставить таблицу.
Расчетные значения искомых величин
Пара-
метр
0– 0+
i(t)00
t 2t 3t 4t 5t
E
0 633,
R
t
E
0865,
R
E
095,
R
E
0982,
0 994,
R
uR(t) 0 0 0,633E 0,865E 0,95E 0,982E 0,944E
uL(t) 0 E 0,367E 0,135E 0,05E 0,018E 0,006E
154
E
R
ЛЕКЦИЯ 13. КЛАССИЧЕСКИЙ МЕТОД РАСЧЕТА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ
В ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ С ОДНИМ НАКОПИТЕЛЕМ ЭНЕРГИИ
Графическое представление некоторых результатов расчета по-
казано на рис. 13.3.
E
0,8
0,6
0,4
, E
R
i(t)
0,2
t 2t 3t 4t 5t 6t 7t
Рис. 13. 3. Графики переходного процесса
u
(t)
L
t(t)
Полученные графики дают возможность сделать один важный вывод: реальная длительность переходного процесса может быть ограничена временем tпп ≈ (3…5) t в зависимости от заданной точности
расчета, так как по истечении этого времени отличие от установившихся (принудительных) значений не превышает (1–5)%.
Если придать значению t некоторые конкретные значения, то можно выяснить, что в реальных устройствах длительность переходного процесса составляет микросекунды, миллисекунды и лишь в некоторых случаях доли секунд. Например, если L = 1 Гн, R = 10 Ом,
то t = 0,1 с. Если увеличить значение индуктивности или уменьшить
значение активного сопротивления, то произойдет увеличение постоянной времени, следовательно, процесс нарастания тока в ветви
с индуктивностью замедлится.
Пример. Короткое замыкание в реальной катушке.
Если рассмотреть схему по типу рис. 13.4, то в определенный момент (обычно принятый за t = 0) произойдет замыкание источника
накоротко, но накопленная в индуктивности энергия не исчезнет
мгновенно, а будет уменьшаться до нуля в течение определенного времени. В этом примере приводятся лишь основные результаты
на отдельных этапах.
155
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ
i
i
() ;()() ;000-=
L
Ч+Ч= = = =-
i
() ;() ;0+=
ut itR
() () () ( )=Ч=
R
E
R
внутр
Рис. 13. 4. Расчетная схема
E
RR
внутр внутр
di
iR i Lp p
dt
it Ae Ae
E
RR
внутр внутр
ER
Ч
RR
внутр внутр
ii
+= -=
+
000;; ;
уст
r
() ;=Ч =Ч
+
+
t
==+Ч
Ait
R
--
L
eut
Ч=+-Ч
RR
t
и ..
L
R
L
E
RR
R
ж
з
L
и
R
-
t
L
E
e
E
RR
+
ц
ч
ш
-
R
t
L
Re
R
t
L
Графики переходного процесса i(t) и uL(t) в общем виде приве-
дены на рис. 13.5.
Из представленных графиков видно, что с течением времени произойдет снижение тока до нуля по экспоненте, а напряжение на индуктивности примет в начальный момент отрицательное значение,
затем эта величина будет стремиться к нулю.
156
ЛЕКЦИЯ 13. КЛАССИЧЕСКИЙ МЕТОД РАСЧЕТА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ
В ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ С ОДНИМ НАКОПИТЕЛЕМ ЭНЕРГИИ
i, u
L
E
+ R
R
внутр
uL(0–)
u
i(t)
t
(t)
L
Рис. 13. 5. Графики переходных процессов
13.3. Переходные процессы
при заряде и разряде конденсатора
Расчетная схема при заряде конденсатора имеет вид, представ-
ленный на рис. 13.6.
U
0
i
R
E
C
–
+
Рис. 13. 6. Расчетная схема
При этом предполагается, что до начала переходного процесса
конденсатор мог быть заряжен с указанной полярностью до значения U0. Необходимо определить uC(t), i(t), uR(t).
Решение. Воспользуемся предложенной ранее методикой и зафиксируем наиболее значимые параметры
157
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ
1. При t = 0–. i(0–) = 0; uC(0–) = U0; uR(0–) = 0.
(0+) = uC(0–) = U0.
2. u
C
du
iR u E i C
Ч+ = =Ч ЮЧЧ + = * и ( ).
3.
C
CC
dt
RC
du
dt
uE
c
du
iRu Ei C
() () ;() () ;
000 0
+Ч + += += Ч Ю +=
4.
uEU
()
0
R
5.
iC
RС p p
ЧЧ+= =-101;.
6.
ut u u ut E Ae
() () ,=+ Ю=+Ч
7.
CCC C
C
+= -
du
C
dt
уст своб
=Ґ
t
.
00
=Ч = = =
00;;.
uEu
CRуст уст уст
RC
dt
C
t
=+
i
0
1
-
t
RC
EU
-
R
0
где при t = 0 + uC(0+) = U0 = E + A; A = U0 – E = –(E – U0)
t
--
ut E EU e it C
() ( ) ; () ;=- - Ч =Ч =
C
ut itR EU e
() () ( ) .=Ч=- Ч
R
8. При
tu Ui
=+ += +=
.() ;() ;() .
CR
RC
0
0
dudtEU
C
-
0
EU
-
0
R
-
R
t
RC
+= -00 0 0
uEU
t
0
RC
e
Ч
0
9. При графической оценке расчета можно рассмотреть различ-
ные значения начального напряжения на конденсаторе. Так, при
uC(0–) = U0 = 0 график переходного процесса uC(t) в масштабе на-
пряжений будет повторять форму кривой тока в индуктивности
на рис. 13.3 (кривая 1). Если u0 = 0,5E, то решение уравнения на графике будет соответствовать кривой 2 на рис. 13.7.
158
ЛЕКЦИЯ 13. КЛАССИЧЕСКИЙ МЕТОД РАСЧЕТА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ
В ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ С ОДНИМ НАКОПИТЕЛЕМ ЭНЕРГИИ
uC(t)
E
0,8 E
0,6 E
2
0,4 E
0,2 E
1
t(t)
t 2t 3t 4t 5t 6t 7t
Рис. 13. 7. Графики переходного процесса при заряде конденсатора
Рассмотрим кратко вариант разряда конденсатора накоротко
(рис. 13.8).
i
U
+
0
–
R
Рис. 13.8. Расчетная схема
При разряде конденсатора состояние цепи описывается уравнением
uC + iR = 0 или
uCR
C
du
+=0,
dt
C
так как
iC
= .
du
C
dt
При t = 0+ начальное напряжение равно U0 (например значению
источника E), а конечное напряжение u
159
= 0. Таким образом,
C уст
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ
напряжение на конденсаторе и его ток будут иметь следующие законы изменения:
t
--
ut Ue it
() , () .==
C
RC
0
C
t
U
0
RC
e
R
Ожидаемые графики напряжения и тока при U0 = E
E 0
u
C
0,8E –0,2E/R
0,6E –0,4E/R
0,4E –0,6E/R
0,2E –0,8E/R
0–R
tt2t 2t3t 3t4t 4t5t 5t
t
i
t
Рис. 13. 9. Графики переходных процессов
Контрольные вопросы:
1. Сформулировать законы коммутации и основные начальные
условия.
2. Как определить величину постоянной времени цепи?
3. Расчет неосновных начальных условий.
4. Реальная длительность переходного процесса и его расчет.
160
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]