Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теоретические основы электротехники. Курс лекций
.pdf
ЛЕКЦИЯ 18. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ
в вещество и никуда не исчезает. Оно может существовать вместе
с зарядами и отдельно от них (электромагнитные волны). Электромагнитное поле материально, а заряд не материален, это свойство
частицы — создавать поле и взаимодействовать с полем. Природа
электричества неизвестна. Электрическое поле и магнитное — это
две стороны единого электромагнитного поля. Электрическое поле
создается электрическими зарядами, а также изменяющимся магнитным полем. Магнитное поле создается движущимися электрическими зарядами, а также изменяющимся электрическим полем.
Раздельное изучение электрического и магнитного полей — лишь
методический прием.
Для расчета электрических цепей, где действуют постоянные токи
и токи невысокой частоты, нет необходимости использовать теорию
электромагнитного поля. При расчете электрических цепей использовались следующие основные уравнения:
Hdl i
т
l
Edl e
т
l
Ed s
т
s
Dds q
т
s
Bd s
т
s
dds
т
s
Эти уравнения характеризуют поле по поверхности, по объему,
по контуру и не характеризуют его по каждой точке. Для того чтобы
— закон полного тока;
=
е
d
Ф
==-
е
=
e
=
е
— принцип непрерывности магнитного потока;
= 0
= 0
— принцип непрерывности полного электрического тока;
— закон электромагнитной индукции;
dt
q
— закон Гаусса;
a
— постулат Максвелла;
DE
=e .
a
BH
=m .
a
dd d d=+ +
пр пер см
211
.
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ
выяснить характер электромагнитного поля, этих интегральных уравнений недостаточно. Необходимо перейти к дифференциальной формулировке этих законов, т. е. к уравнениям Максвелла.
18.2. Система уравнений электромагнитного поля
в дифференциальной форме (уравнения Максвелла)
Первое уравнение Максвелла выводится на основе закона пол-
ного тока
Hdl i
=е.
т
l
Этот закон является основным законом, устанавливающим связь
между магнитным полем и электрическим током. Он гласит: циркуляция вектора напряженности магнитного поля вдоль замкнутого
контура равна алгебраической сумме токов, пронизывающих контур интегрирования. Графическая иллюстрация этого закона приведена на рис. 18.1.
I
–
H
a
—
dt
Рис. 18.1. Закон полного тока
На этом рисунке изображен контур, расположенный в магнитном поле. Данный контур пронизывается током I. Для одной из то-
чек контура изображен вектор напряженности магнитного поля H.
Выделим бесконечно малый отрезок контура в окрестностях рассматриваемой точки и обозначим его вектором dl, проведенным
212
ЛЕКЦИЯ 18. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ
по касательной к контуру. В пределах бесконечно малого отрезка dl
вектор Н изменяется бесконечно мало. Подынтегральное выражение
в законе полного тока представляет собой скалярное произведение
векторов. Преобразуем левую часть уравнения по теореме Стокса
Hdl rotHds
= .
тт
lS
Полученное уравнение представляет собой поток ротора вектора
напряженности магнитного поля сквозь поверхность, ограниченную
контуром интегрирования.
Правая часть закона полного тока может быть развернута следующим образом:
ids
=
d .
е
т
s
Тогда закон полного тока запишется
rotHds ds
тт
ss
=d .
Так как это равенство справедливо для всех значений интеграла,
то подынтегральные функции равны между собой, т. е.
rotH =d.
Это первое уравнение Максвелла или закон полного тока в дифференциальной форме.
dсм=-
где
dd d d=+ +
пр пер см
dD
плотность тока смещения;
dt
,
dпр = gE — плотность тока проводимости;
d
— плотность тока переноса.
пер
Ток проводимости и ток переноса не могут существовать в одной точке одновременно. Поэтому остается
dd d=+
прпр смсм
.
Тогда пер-
вое уравнение Максвелла примет окончательный вид:
213
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ
rotH E
dD
=+g .
dt
Это дифференциальное уравнение в частных производных, связывающее скорость изменения магнитного поля в пространстве со скоростью изменения электрического поля во времени. Оно имеет, как
и все дифференциальные уравнения, бесчисленное множество решений. Нужное решение может быть найдено с учетом начальных
и граничных условий.
Второе уравнение Максвелла
За основу берется закон электромагнитной индукции
Edl e
т
l
d
==-Ф.
dt
Заслуга Максвелла заключается и в том, что он развил этот закон
для мысленного контура и добавил понятие о циркуляции вектора
напряженности электрического поля вдоль этого мысленного контура. Левую часть уравнения преобразуем по теореме Стокса, правую представим в следующем виде:
Ф =тBd s
s
Тогда
rotHd s
тт
ss
=- .
d
Ф
dtddt
dB
dt
=
ds
ж
з
з
и
Также равны подынтегральные выражения
ц
dB
=
Bd s
ч
тт
ч
ss
ш
dt
ds
.
rotE
dB
=- .
dt
Это второе уравнение Максвелла. Оно связывает изменение электрического поля в пространстве с изменением магнитного поля во времени и является дифференциальным уравнением, имеющим бесчисленное множество решений.
214
ЛЕКЦИЯ 18. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ
Конкретное решение может быть найдено с учетом начальных
и граничных условий. Эти два уравнения характеризуют неразрывную связь электрического и магнитного полей.
Третье уравнение Максвелла
Рассмотрим теорему Гаусса и постулат Максвелла
Ed s
=
тт
s
e
a
Dds q
;.
s
=
е
q
е
Левая часть уравнений преобразуется по теореме Остроградского-Гаусса
Dds divDdv
= .
тт
sV
Правая часть может быть расписана
qdv
=
r ,
е
т
V
где r — объемная плотность зарядов.
После подстановки
divDdv dv
тт
VV
=r .
Подынтегральные выражения также равны
divD =r.
Это третье уравнение Максвелла. Дивергенция (как величина расхождения (мощность) электрического поля)) равна плотности заряда
в данной точке. Там, где нет зарядов, нет дивергенции поля. Если заряд
положительный, дивергенция положительна, и наоборот (рис. 18.2).
r > 0
+
Рис. 18.2. Иллюстрация дивергенции
divD > 0
215
–
r < 0
divD < 0
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ
Четвертое уравнение Максвелла
Проделав аналогичные операции над принципом непрерывности
магнитного потока, можно получить четвертое уравнение Максвелла
divB = 0.
Следовательно, нет источников магнитного поля, и оно имеет
вихревой характер. Принцип непрерывности электрического тока
ничего нового не дает в смысле характеристики электромагнитного
поля и не входит в число основных уравнений.
В полную систему уравнений, характеризующих электромагнитное поле в точке, входят 4 уравнения Максвелла и еще три дополнительных:
rotH E
dD
=+g .
dt
rotE
dB
=- ,
dt
divB = 0,
divD =r,
DE
=e .
a
BH
=m .
a
dd d d=+ +
пр пер см
.
Это уравнения переменных полей. Если поля постоянны во времени, то их можно разделить на две системы.
Для электростатического поля
rotE divD D E
===0,,. re
a
Для магнитного поля (поля постоянных токов)
rotH divB B H
=+ = =dd m
пр пер
,, .0
216
a
ЛЕКЦИЯ 18. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ
18.3. Теор е ма Умова-Пойнтинга. Понятие о векторе Пойнтинга
Данная теорема устанавливает энергетические соотношения
в электромагнитном поле и направление потока энергии. Рассмотрим малый объем dV в области, занятой электромагнитным полем.
В пределах этого объема поле будем считать однородным, т. е. в лю-
.
EDHB,, ,
. Элек-
бой точке объема действуют одинаковые векторы
тромагнитное поле обладает энергией, плотность которого определяется выражениями
ED
HB
a
=
22
=
22
— плотность энергии электрического поля;
2
H
m
a
— плотность энергии магнитного поля.
2
E
e
Энергия электромагнитного поля в малом объеме
22
ж
EH
em
dW
aa
=+
з
22
и
ц
dv
ч
ш
Умножим первое уравнение Максвелла на
dB
dt
dD
dt
Hdv
Edv=+Чg .
Hdv=- Ч .
rotH E
Умножим второе уравнение на
rotE
В результате получим
2
ж
E
e
d
ErotHdv E dv
HrotEdv
2
=+
g
=-
217
d
dt
a
з
2
dt
и
2
ж
з
и
ц
m
H
a
dv
ч
2
ш
EdV
ц
dv
ч
ш
.
,
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ
Вычтем из первого уравнения второе
й
() .ErotH HrotE dv E dv
-=++
2
g
к
к
л
d
dt
22
ж
em
EH
aa
з
22
и
щ
ц
dv
ъ
ч
ъ
ш
ы
В соответствии с математической формулой
div a b brota arotd[] ,Ч= -
преобразуем левую часть
й
-Ч
щ
л
=-div E H ErotH HrotE.
ы
Проинтегрируем уравнение по объему с учетом последнего вы-
ражения
22
й
-Ч
div H E dv E dv
v
щ
=+ +
л
ттт
ы
VV
ж
EH
em
2
g
d
aa
з
22
dt
и
ц
dv
.
ч
ш
Преобразуем левую часть по теореме Остроградского. Первое
слагаемое правой части — это мощность тепловых потерь в объеме.
Во втором слагаемом поменяем местами операции интегрирования
и дифференцирования. Интеграл дает величину энергии электромагнитного поля в рассматриваемом объеме. С учетом этого получим выражение
й
-Ч
т
s
щ
EHds P
л
ы
=+
тепл
dW
dt
.
Данное выражение носит название теоремы Умова-Пойнтинга.
Подынтегральное выражение
[]EHЧ=П
представляет собой вектор и носит название вектора Пойнтинга.
Таким образом, вектор П определяет плотность потока энергии,
проходящей в единицу времени через единичную площадку, расположенную перпендикулярно движению энергии. Другими словами,
218
ЛЕКЦИЯ 18. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ
вектор показывает направление движения энергии в данной точке.
Левая часть теоремы — поток энергии за единицу времени сквозь
замкнутую поверхность S, ограничивающую рассматриваемый объем. Этот поток положителен, если он выходит из объема.
Теорема Умова-Пойнтинга — это баланс энергии для объема V,
ограниченного поверхностью S. В левой части — количество энергии, поступающей извне в данный объем за единицу времени. Правая часть показывает, что эта энергия расходуется на тепловые потери (нагрев) и на изменение энергии электромагнитного поля.
18.4. Общая схема движения энергии
в электрической цепи постоянного тока
Рассмотрим цепь постоянного тока, содержащую источник ЭДС,
приемник энергии и провода, имеющие активное сопротивление.
Пусть по проводнику длиной l радиуса r с сопротивлением R протекает постоянный ток I. К поверхности проводника применим теорему Умова-Пойнтинга.
При постоянном токе изменение электромагнитной энергии отсутствует. Следовательно,
[] .П
ds Ps=
= .
t
219
IR
тепл
l
I
r
p
т
При протекании тока по проводнику создается падение напряжения с напряженностью Еt, направленной вдоль проводника. Это
тангенциальная составляющая электрического поля
E
Вектор Н напряженности магнитного поля направлен по касательной к поверхности поперек проводника. Согласно закону полного тока
Hdl I H r I H
===
;;.
т
22p
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ
Плотность энергии Пn, входящей через поверхность внутрь про-
водника
ПnEH
IR
t
n==[] .
p22
lr
Поток вектора через боковую поверхность
2
-=-=-Ч=-
ПП
ds S
т
s
бок
IR
22p
lr
p .
2
Такая же величина получится и по закону Ома.
Рассмотрим рис. 18.3.
–
E
n
–
E
t
–
П
–
–
H
П
r
–
H
I
Рис. 18.3. Вектор Умова-Пойнтинга
Вектор Пойнтинга у источника выходит наружу. В проводах энергия частично входит внутрь из-за наличия активного сопротивления
и падения напряжения. Основная часть энергии движется вдоль поводов в окружающем пространстве. Провода служат только для направления энергии к потребителю. У потребителя вектор Пойнтинга
направлен внутрь, а энергия заходит и превращается в тепло.
220
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]