Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теоретические основы электротехники. Курс лекций
.pdf
Лекция 15
ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД РАСЧЕТА
ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ
План лекции
15.1. Основные положения и соотношения.
15.2. Методика расчета переходных процессов операторным ме-
тодом.
15.3. Переход от изображений к оригиналам.
15.1. Основные положения и соотношения
Расчет переходных процессов в линейных цепях сводится к решению дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Операторный метод — особый метод решения таких уравнений.
Сущность метода состоит в том, что функциям вещественного
переменного f(t), которые называют оригиналами, сопоставляются
по определенным правилам функции комплексного переменного p,
которые называют изображениями
f(t) F(p).
Аналогии: для действий над числами вводят логарифмы, что об-
легчает расчеты. Для облегчения операции над синусоидами вводят
комплексы — изображения синусоид.
Введение операторных изображений упрощает операции дифференцирования и интегрирования. Как и другие изображения, они
вводятся при расчете, затем делается переход к оригиналам.
В отличие от (классического) символического метода, операторный позволяет получить изображение любых функций.
Переход от оригинала к изображению осуществляется по одной
из двух формул
171
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ
Ґ
pt
Fp e ft dt
() ()=ЧЧ
Fp pe ft dt
() ()=ЧЧ
-
т
0
Ґ
pt
-
т
0
— по Лапласу,
— по Карсону-Хевисайду.
Наибольшее распространение получили изображения по Лапласу.
1. Пусть f(t) = A, тогда
Ґ
pt pt
Fp e Adt
() ( ) .=ЧЧ=- =--=
-
т
0
A
Ґ
A
-
e
p
A
.
p
A
p
01
0
A
p
2. Пусть f(t) = eat, тогда
Ґ
pt t p p
-
Fp e e dt e dt
() .
= Ч Ч= Ч=-
тт
00
aa a
Ґ
() ()
--
eat
1
p -a
11
e
p
-
aa
.
--
Ґ
=
0
p
-
3. Для синусоидальных функций справедливы соотношения
sin wt
w
;
cos wt
22
+
wp
p
22
+w
p
.
При выводе используются формулы Эйлера
ww
jt jt
sin ; cos ( ).ww
ee
t
=
-
-
2
j
1
ww
jt jt
=+
tee
2
-
Таким образом можно найти изображение практически всех
функций, с которыми имеют дело в электротехнике и радиотехнике.
Основные формулы операторных преобразований обладают це-
лым рядом свойств:
172
ЛЕКЦИЯ 15. ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД РАСЧЕ ТА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ
1. A · f(t) A · F(p).
Умножению оригинала на А соответствует умножение изображения на ту же постоянную.
(t) + b · f2(t) a · F1(p) + b · F2(p).
2. a · f
1
Изображение суммы есть сумма изображений.
3. Теорема дифференцирования.
Задано f(t) F(p). По общему правилу
ў
()
Ґ
df
=ft
dt
df
pt pt-
e
ЧЧ= Ч =
тт
dt
00
Ґ
dt e df t f t
-
ў
() ()
pF(p) – f(0).
Если f(0) = 0, то f ў(t) pF(p), т. е. дифференцирование оригинала
соответствует умножению изображения на p.
4. Теорема интегрирования.
Задано f(t) F(p). Без вывода
t
ft dt
()
т
0
Fpp()
Ч
,
т. е. интегрирова-
нию оригинала соответствует деление изображения на p.
Рассмотрим подробнее применение этих свойств для индуктивности катушки и емкости конденсатора.
При любом законе изменения тока в катушке индуктивности мож-
di
uL
но написать
= .
L
dt
Обозначим изображение тока I(p). Тогда, пользуясь теоремой
дифференцирования, определим
uL(t) UL(p) = L · [pI(p) – i(0)] = LpI(p) – Li(0).
i(0) — значение тока в момент начала отсчета времени. Если i(0) = 0,
то UL(p) = pLI(p).
При синусоидальном токе в комплексной форме U
·
= jwL · I·. Срав-
L
нив последние два выражения, можно записать индуктивное сопротивление в операторной форме xL(p) = pL.
Если выражением jwL можно оперировать только при синусоидальном токе, то pL и pM верны для любого закона.
173
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ
Напряжение на конденсаторе в общем виде
1
u
CCtC
itdtu
=Ч+
() ( ).
т
C
0
0
Обозначим изображение тока I(p) и воспользуемся теоремой ин-
тегрирования
uC(+)
Up
()
C
() ()
CC
0
,=+
p
IppCu
где uC(0) — напряжение на конденсаторе в момент начала отсчета
времени. При uC(0) = 0
Up
C
При синусоидальном токе в символической форме
1
pC
Ip
() ().=Ч
U
=Ч
CC
jC
w
I
1
Сравнивая два последних выражения, можно записать
() .=
1
pC
Xp
C
В операторной форме будут справедливы основные законы электрических цепей с некоторыми изменениями. Рассмотрим ветвь
(рис. 15.1) для которой будут справедливо уравнение
.
t
1
uuuuiRL
=++ =Ч+ + Ч+
ab a L C
R
a
Рис. 15.1. Оригинальная электрическая схема
di
dt C
i
т
0
L
Переходим к операторной форме записи
UpIpRpLIpLi
() () () () ()
аb
174
() ( ).
it dt u
1
pC
C
Ip
C
b
U
0
C
()
0
p
.=Ч+Ч- +Ч+0
ЛЕКЦИЯ 15. ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД РАСЧЕ ТА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ
Получим алгебраическое уравнение вместо дифференциально-
го. Можно определить ток
U
()
0
UpLi
Ip
()
() ()
+Ч -
ab
RpL
++
C
0
p
1
,=
pC
т. е. закон Ома для участка цепи с источниками. При нулевых начальных условиях [i(0) = uC(0) = 0]
Up
()
Ip
()
аb
++
RpL
1
pC
.=
Выражение
RpL
pC
— сопротивление ветви в опера-
Zp++ =1()
торной форме.
u
()0
Слагаемые L · i(0) и
C
играют роль добавочных ЭДС. Полу-
p
чим схему, соответствующую данной, с учетом добавочных источников (рис. 15.2).
UC(0)
1
L · i(p)
R
a
Рис. 15.2. Электрическая схема
pL
I(p)
pC
p
b
После введения добавочных ЭДС следует считать в цепи началь-
ные условия нулевыми.
Такие схемы называются операторными, они весьма удобны для
расчетов, в них учтены нулевые начальные условия, сопротивления
всех элементов записаны в операторной форме.
Первый и второй законы Кирхгофа в операторной форме имеют следующий вид:
175
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ
Ep IpZp
=Ч
() () ();
е
KKK
е
Ip
() .=е0
K
Из этого следует, что расчет цепи можно вести всеми методами,
применяемыми при расчете цепей постоянного тока.
15.2. Методика расчета переходных процессов
операторным методом
Можно наметить три основных варианта расчета:
1. Для цепи составляются дифференциальные уравнения по законам Кирхгофа, иногда по методу контурных токов. От дифференциальных уравнений переходят к операторной форме записи с учетом
основных начальных условий. Получается система алгебраических
уравнений. Решая ее, получаем изображения неизвестных величин —
токов и напряжений.
2. Сразу переходят к эквивалентной операторной схеме, учитывая основные начальные условия включения добавочных источников. Токи и напряжения в схеме рассчитывают любым способом,
применяемым при расчете цепей постоянного тока.
3. Сведение переходного процесса к нулевым начальным условиям. Используя теорему об эквивалентном генераторе, можно доказать, что ток и напряжение во время переходного процесса состоят
из тока и напряжения, существовавших до коммутации, и тех токов и напряжений, которые возникнут после включения источника
ЭДС, если рубильник замыкался, и источника тока, если произошло
размыкание рубильника. Источники включаются вместо рубильника. Определяется направление источника ЭДС от знака «+» к знаку
«–». Направление источника тока противоположно тому, которое
имел ток через ключ до коммутации. При решении задачи необходимо иметь в виду, что токи в схеме до коммутации и операторной
могут не совпадать по направлению.
176
ЛЕКЦИЯ 15. ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД РАСЧЕ ТА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ
После решения задачи любым операторным методом необходимо выполнить обратные действия: переход от изображений к оригиналам функций.
15.3. Переход от изображений к оригиналам
Такой переход может быть сделан по таблицам, о которых упоминалось ранее, а также по теореме разложения.
Изображение получим в следующем виде:
()
Gp
I
==
p
()
Fp
m
ap a p apa
Ч+ Ч ++Ч+
m
n
pp
Ч+ Ч ++Ч
n
m
-
1
m
-
1
n
-
1
…
n
-
1
…вв в
10
1
pp + в
,
0
где G(p) и F(p) — многочлены, при этом m Ј n и G(p) = 0 и F(p) = 0
не имеют общих корней;
ak и вк — вещественные числа.
Из курса алгебры имеем
Gp
()
FpAppApp
(),=-
1
2
+
-
1
2
A
…
++-=
ppApp
n
n
n
k
е
-
=
k
1
k
где pk — корни характеристического уравнения F(p) = 0.
Из курса математики
()
Gp
A
k
Известно, что eat
Для тока тогда получим
k
==
()
Fp
;
k
1
p -a
Ip
()
Gp
Fp
,
следовательно
n
е
=1
k
()
()
Gp
()
k
ў
Fp
()
k
n
Gp
()
k
е
=
1
k
Ч
ў
Fp p p
()
k
1
-
pp
pt
k
e
,=
Ч
k
1
-
e
. тогда
k
pkt
.
откуда оригинал тока
177
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ
n
Gp
()
pt
k
it
()
е
=1
k
ў
Fp
()
k
e
.=
Ч
k
Это теорема разложения, позволяющая по известному изобра-
жению найти оригинал. Если выражение для тока будет иметь вид
Gp
Ip
()
()
pF p
()
Ч
,=
т. е. появится дополнительный корень p = 0, то теорема разложения
будет иметь следующий вид:
n
Gp
it
()
G
F
0
()
0
()
()
е
pFp
Ч
=
1
k
kk
k
ў
()
pt
k
Ч
e
.=+
На основе теоремы разложения с учетом значения корней характеристического уравнения могут быть получены формулы перехода
к оригиналам. Без вывода ниже приведены эти формулы при двух
накопителях энергии с учетом характера корней, а именно — при
апериодическом и периодическом затухающих процессах. Во втором случае величина b определяется по формуле
b
=ўarctg ,
w
d
где wў и d — частота свободных затухающих колебаний и степень затухания соответственно.
Известны выражения
Fp()
1
pF pЧ ()
pt p t
12
ee
1
Fp()
1
pe p e
Ч-Ч
12
й
pe pe
1
ww
1
+
к
2
0
л
21
-
pp
-
12
pt pt
12
pp
-
12
pt pt
12
-
pp
-
12
178
t
-d
e
=
w
w
=-
w
щ
1
=-
ъ
ы
wsin ;
Ч
ў
-
d
t
0
sin( );
et
Ч
ў
w
й
0
1
2
к
w
л
0
ў
t
ў
wb
-
ў
sin( )
wb
te
ў
щщ
d
-
t
+
.
ъ
ы
ЛЕКЦИЯ 15. ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД РАСЧЕ ТА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ
При вводе уравнений использовались следующие обозначения:
F(p) = p2 + 2dp + w
202
ў
=-wdw
2
= 0 — характеристическое уравнение цепи,
0
— частота свободных колебаний.
Задача 1
Определить закон изменения напряжения на конденсаторе после замыкания рубильника. До коммутации uC(0–) = E, следовательно, uC(0+) = E.
i
R
1
1
i
E
C
i
2
R
2
Рис. 15.3. Расчетная схема
Составим уравнения по законам Кирхгофа для послекоммутационной схемы
i1 = iC + i2; E = i1 · R + uC;
t
uC = i2 · R2;
1
u
CC
it dt u
=Ч+
() ( )
т
C
0
0
Запишем эти уравнения в операторной форме
I1(p) = IC(p) + I2(p)
0
()
E
() ()
=Ч+Ч +
IpR
1
p
1
Ч+ =Ч()
Ip
C
pC
1
Ip
pC
0
()
U
C
p
U
C
() .
IpR
C
C
p
2
Решая эти уравнения совместно, можно найти выражение в операторной форме для любого тока, затем и выражение для напряжения
179
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ
на конденсаторе. Для сложной, разветвленной цепи этот метод не является рациональным.
Составим операторную схему (рис. 15.4).
I1(p)
E
p
R
1
1
pC
UC(0)
p
Рис. 15.4. Операторная схема
(p) I2(p)
I
C
R
2
Эта схема содержит два узла, разность потенциалов между точка-
ми 2 и 1 равна напряжению на конденсаторе.
ж
p
з
ии
щ
=+ Ч
ъ
R
ы
+
RpC
1
+
RR
12
+
RRC
12
RR
12
RRC
12
E
pR
ц
ч
ш
+
U
ERCGp
=Ч
C
1
0
()
p
pC
Ч
pF p
Пусть j1 = 0, тогда
11
()
j
()
2
p
=Ч
E
+Ч
p
RR pC R RERCp
12 1 2 1
Gp RpC Fp p
й
11
()
j
2
RpC R
12
++
() ; () .=+ = +
1
1
pC
++
к
R
л
121
=Ч
;p
()
()
;
Характеристическое уравнение
Fp p
() ; .==+
01
RR
+
12
RRC
12
p
=-
RR
+
12
RRC
12
Закон изменения uC(t) будем определять по формуле
ut
()
C
й
ERCG
к
1
л
F
0
()
0
()
Gp
()
pF p
()
11
180
1
щ
pt
1
e
;=Ч +ўЧ
ъ
ы
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]