Теоретические основы электротехники. Курс лекций

ЛЕКЦИЯ 15. ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД РАСЧЕ ТА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ

GF() ; ()==01 0

11

=- Ч

Gp RC

() ; ()

11

ER

2

=

ut

()

C

==

tu E

+

RRRERR

12112

;()

00 ,,; .

C

RRR

+

12

;() ()

RRC

12

+

RR

12

RRC

12

+

tu

=Ґ =

ў

Fp Fp

ў

=

Fp

RR

12

-+Ч

RRC

12

Ч

e

уст

C

RR

1

==

Fp

t

ER

2

+

12

ў

()

1

Изображения для токов можно определить из следующих уравнений:

() (),

Ч=

IpR U p

22

()

++Ч==

jj

p

12

()

+

j--== =Ip R p U p

p

1

U

C

p

E

p

C

0

()

Ip

() () ().j

1

() () (),

СC

pC

pUp

C112

Задача 2

Определить закон изменения напряжения на конденсаторе после размыкания рубильника.

R

2

R

E

Рис. 15.5. Расчетная схема

C

1

i

C

i

L

181

i

R

L

R

2

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ

Основные начальные условия uC(0) =E;

раторную схему (рис. 15.6).

U

1

pC

R

1

I

( p)

C

E p

L · iL(p)

Рис. 15.6. Операторная схема

(0)

C

p

IL( p)

i

pL

L

() ,02=

(p)

I

R

E

составим опе-

R

2

Составим уравнение по методу узловых потенциалов. Пусть j1 = 0,

тогда

й к

j

()()p

2

() .p

j

2

1

Ч

к к

+

R

1

к

л

й

1

Ч

к

RpC pL R

л

1222

++

1

pC

++

+

1

11

pL R

11

щ ъ

=

ъ ъ

2

R

ъ

ы

щ

=-

ъ ы

EpE

-

iL

p

L

-

1

+

1

pC

EL

Ч

RpLEpR

=-

Ч

0

pL

Ч

pCR pL R pC R pL R pC

j

0

()

2

pE

()

=-

j

2

Е

=-

LC

(()

()()

+++ +

21 2 1

()

RpC pLR

2

pLCR LCR pRRC L R

()()

RR p p

й

++

12

к л

11

1

+Ч

12 2

LRpC

()

++ ++

2122

()

LRpC

2

LC R RRLC R R

182

E

=-

pR

+

1

+

1

RRC L

+

12

()()

+

12

=

2

+

12

;

.

щ ъ

ы

ЛЕКЦИЯ 15. ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД РАСЧЕ ТА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ

В квадратных скобках получим характеристическое уравнение F(p), в котором

RRC L

+

12

LC R R

+

(),()

12

2

=

R

2

LC R R

+

12

2

=

,dw

выражение будет иметь

0

следующий вид:

j

()

2

=-

RpC

()()

CR R F p

12

1

+

1

+Ч

.pE

Корни характеристического уравнения определяются из уравнения

Fp p p p() ; .

2

== + + =-± -02

dw d dw

0212

,

202

Закон изменения j2(t) можно определить, воспользовавшись теоремой разложения

n

()

j

()

=- Ч

2

е

=

k

Gp

ў

Fp

1

k

Ч

()

k

pt

k

,tE

e

где n — число корней характеристического уравнения.

Решение будет более простым, если воспользоваться приведенными ранее формулами.

Для апериодического процесса, когда d2 > w

pt p t

12

ee

1

-

pp

+

12

1

2

w

0

p

;

Fp()

й

pe pe

21

+

1

к л

pt pt

12

PP

12

1

Fp()

pF p()

2 0

pt pt

12

pe pe

-

12

pp

-

12

-

щ

.

ъ ы

Для колебательного процесса, когда w

22

где

ў

=-wwd

1

Fp()

0

e

.

-+

d

w

p

ў

Ч

t

wsin ;

ў

()

Fp

;

183

p

Fp()

2

> d2 и корни p

0

w

-

0

-

et

ў

w

d

t

wb

Ч

sin( );

= –d ± jwў,

1,2

ў

-

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ

w

1

pF p()

1

й

1

2

к

w

л

0

d

-

t

0

-

et

ў

w

wb

Ч

sin( ) ,

щ

ў

+

ъ ы

где

b

=ўarctg .

w

d

Задачу рационально решать в общем виде, числовые значения подставлять в конечное выражение. Для определения UC(p) необходимо определить

Ip

()

C

E

Ip p

(). () () (); jj

CC

p

()

j

2

=

1

R

+

1

pC

Up

() ()

CC

+- +

112

p

E

=

CR R

()() (

+

12

E

Ip

p

й

IpR

к л

RpC

1

Ч

FppCRpC

11

pCEpECR R F p

щ

1

-=

ъ

pCEp

ы

1

+

Ч

+

112

()()

+

12

=

RRpF

1

Ч

p

E

+

.=+ Ч =+

;

Ч

pp)

Приводить к общему знаменателю не нужно. Воспользуемся основным свойством операторных преобразований: изображение суммы есть сумма изображений.

При апериодическом процессе

pt p t

ut E

()

C

E

()

+

CR R

12 12

12

ee

-

Ч

pp

-

.=+

При колебательном процессе

ut E

()

C

E

()

+

CR R

w

12

ў

Ч

sin .=+

w

t

ў

Задача 3

Определить закон изменения напряжения на конденсаторе после замыкания рубильника.

Основные начальные условия

i

E

() ; () .0

==

LC

u

2

R

E

0

2

184

ЛЕКЦИЯ 15. ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД РАСЧЕ ТА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ

аб

R

1

E

L

i

L

i

R

i

C

а — расчетная; б — операторная

R

2

Рис. 15.7. Схемы:

L · i

(p)

L

pL

(p) IR(p)

I

1

E

p

(p)

I

L

pC

UC(0)

p

C

R

Применим для решения данной задачи метод узловых потенциалов.

j1(p) = 0; j2(p) = UC(p);

E

+Ч

iL

()

0

j

++

RpLCRpL

j

Ч

()()p

2

E

+ЧЧ

E

2

=

R

2

pL

й

11

()

Ч++

2

к

pL

л

2

RpL

Lp

Ep

+

Ч

p

2

pC

R

+Ч

Ei Lp

=

CC

2

=Ч

E

щ ъ

ы

L

2

pL

RpL

22

L

p

=

pL

0

+Ч =

2

+

+Ч =Ч

E

U

+Ч

E

pC

p

pC

E

()

0

C

p

2

;p

pC

Rp L

2

++

RpLpCRL

;

2

E R pL p LCR pLC

()

Up p

() ()

==

j

c

EpLCR p

=

=+

22

2

(

ppLCR pL R

2

E

p

+

22

ER

Ч

LCR F

Ч

++

()()

++ Ч

22

2

Rp L R p LCR pL

LLRR

++

.

PP )

(

2

=

()

++

E

)

=+

p

2

185

ppLCR pL R

2

ER

++

=

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ

Для апериодического процесса

pt pt

й

LC

1

к

2

w

0

л

й

ppe pe

1

к л

ut

=+ Ч +

EE

()=+ Ч +

C

22

EE

22

LC

1

21

12

pe pe

-

21

pp

-

12

pt pt pt p t

12 12

-

pp

12

щ

=

ъ ы

щ

=+ +

ъ ы

EE

22

й

1

к л

-

pe pe

21

-

pp

12

Задача 4

Определить закон изменения токов и напряжения на конденсаторе после замыкания рубильника.

Применим метод сведения расчета переходного процесса к нулевым начальным условиям.

1. Определим значения токов и напряжения на конденсаторе

до коммутации:

000;;; .

=

RC L C

ў

=

ў

=

=iiiuE

ў

2. Напряжение на рубильнике Up = E.

3. Составим операторную схему, заменив рубильник источником

напряжения с U = E.

Направление источника от знака «+» к знаку «–». Определим направление токов в операторной схеме (рис. 15.8).

щ

.

ъ ы

а б

I

R

i

E

C

i

L

!

I

R

!

I

C

Рис. 15.8. Схемы:

а — расчетная; б — операторная

Расчет ведем методом эквивалентных преобразований.

()=+

Zp pL

1

Ч

R

pC

pL

=+

1

+

R

pC

RpC

R

+

1

ж

RLC p p

з и

=

186

11

2

++

LC LC

RpC

+

1

pC

ц ч

ш

1

=

RLC

RpC

U

p

!

I

L

ЧЧ+Fp

pL

()

1

;

ЛЕКЦИЯ 15. ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД РАСЧЕ ТА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ

ўўў

()

==Ч

L

pt pt

12

ELee

Ч

ppeRLC

12

E

eee

=Ч

L

ўў=ўў

CL

()

Ep

() () () ()

ZpEp

-

pt pt

12

-

ppERER

-

12

R

Ч

RpC

ELCLC

Ч+

RLC F pELFpERLC pF p

+ЧЧ+

++Ч

EpRpC

=Ч

1

+

й

pe pe

1

к л

11 1

+

RpC

LC

1

RLC F pRRpC

pt p t pt p t

12 12

21

pp

12

=Ч + ЧIp

Ч

pt p t

й

1

к л

pe pe

21

Ч

-

12

pe pe

-

21

pp

-

12

pt p t

12

-

pp

-

12

1

+

() ()

щ ъ

iit

=ўў= (), т.к. ўў=iL0.

LL

Ч

=+

EE

=ЧUI

1

+

pe pe

21

ы

щ

=

ъ ы

E

LC pF p

-

-1

pp

12

1

.

uC = uўC – u!C, так как направление uC в исходной и операторной схе-

ме не совпадают

pt pt

12

pe pe

-

uuu E

=ў-ўў=-

CCC

ўў

IIUpC

=ўўЧ=Ч

CC C

21

pp

-

12

E

1

;;

()

LFp

ўў

i

ELee

=Ч

U

C

ўў

I

==

;; ;

R

pt p t

12

-

pp

12

ў+ўў

iii

RRR

=ў-ўў=

iii

CCC

pt p t

ELee

00

-Ч

pp

12

-

12

Контрольные вопросы:

1. Особенности изображений электрических величин и законов

по Лапласу.

2. Законы электрических цепей в операторной форме записи.

3. Основные методики расчета переходных процессов с исполь-

зованием операторного метода.

4. Суть теоремы разложения и ее применение для расчета пере-

ходных процессов.

.

187

Лекция 16

МНОГОПОЛЮСНИКИ.

ПАССИВНЫЕ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКИ:

ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ХАРАКТЕРИСТИКИ.

ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ СХЕМЫ ЗАМЕЩЕНИЯ.

КРУГОВАЯ ДИАГРАММА

НАГРУЖЕННОГО ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКА

План лекции

16.1. Определение четырехполюсника и формы записи уравне-

ний. Вывод уравнений в А-форме.

16.2. Эквивалентные схемы замещения четырехполюсника.

16.3. Вторичные параметры симметричного четырехполюсника.

16.4. Применение круговых диаграмм для расчета нагруженных

четырехполюсников.

16.1. Определение четырехполюсника

и формы записи уравнений. Вывод уравнений в А-форме

Четырехполюсник — это устройство, имеющее два входных и два выходных зажима с любой внутренней структурой. В последние годы под четырехполюсником понимают обобщенное наименование электрической цепи, рассматриваемой по отношению к четырем ее зажимам. Четырехполюсником можно считать трансформатор, линию передачи энергии, мостовую схему и т. п. Четырехполюсники бывают пассивные и активные. Пассивные четырехполюсники не содержат в своей структуре источников энергии. Здесь и далее рассматриваются только пассивные четырехполюсники. Активный четырехполюсник имеет в своей структуре источники, может быть эквивалентно

188

ЛЕКЦИЯ 16.МНОГОПОЛЮСНИКИ. ПАССИВНЫЕ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКИ:

ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ХАРАКТЕРИСТИКИ...

заменен пассивным и вынесенным источником электрической энергии. Как правило, в прямоугольнике с четырьмя выводами записывают букву А (активный четырехполюсник); если такой буквы нет, то этот четырехполюсник пассивный. Теоретически четырехполюсник может характеризоваться тремя парами зажимов, однако в дальнейшем ограничимся двумя парами зажимов, входными и выходными, и такой четырехполюсник получает название проходной. Кроме того, четырехполюсники могут быть линейными и нелинейными в зависимости от свойств структуры.

Входной ток обозначают I

, входное напряжение — U1, ток и на-

1

пряжение на выходе соответственно I2 и U2. Как правило, к входным зажимам подключают источник питания, к выходным — нагрузку.

Примеры и обозначения включения проходных пассивных четы-

рехполюсников приведены на рис. 16.1.

абв

I

1

111222

U

1

ў

1

I

2

U

2

I

1

U

1

ў

1

2

I

2

U

2

I

1

U

1

ў

1

2

I

2

U

2

ў

2

Рис. 16.1. Варианты включения четырехполюсников

Всего возможны шесть форм записи уравнений пассивного четырехполюсника: A, Y, Z, H, G, B, однако исторически применяют А-форму и Н-форму.



UAUBI

=Ч +Ч

А-форма

Н-форма

122



ICUDI

=Ч +Ч,.

122



UНIНU

=Ч+Ч

11

1



IНIНU

=Ч+Ч

2

1

..

21

1

.

12

2

22

2

Наиболее распространена А-форма, а Н-форма получила применение в основном в радиотехнике. В дальнейших расчетах используем А-форму.

189

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ

Для вывода уравнений в А-форме рассмотрим рис. 16.2.

I

1

E

1

I

2

U

2

Z

2

I

1

E

1

Рис. 16.2. Расчетные схемы



UIZ

Пусть ним нагрузку ложения токи

= .

22

Воспользуемся теоремой компенсации и заме-

2

Z

источником ЭДС

2



I

и

можно записать как алгебраическая сумма ча-

1

2



ЕIZ

= .

22

2

Тогда по методу на-

стичных токов от каждого источника

 

IEY EY

Y

где

11

YY

21 12

=Ч -Ч

11112

 

IEY EY

=Ч -Ч ,

21212

Y

и

- входная и выходная проводимости,

22

— взаимные проводимости для линейных четырехпо-

=

12

22

люсников.

Знак минус учитывает реальное направление токов от источников.



EUEU

Если учесть, что

==,

112 2

Y

 

UU

=+

12

Y

YY Y

=

11 22 12

 

IU

12

22

21

Y

12

и найти

1

I

2

Y

-

21

+

I

2

Y

11

Y

12

I

2

E

2

Введем обозначения коэффициентов четырехполюсника

Y

222122

A

== == =

Y

;; ;.

Y

12 21 12

11

В

YY

С

190

YY Y

11 22 12

2

-

Y

12

D

=

Y

11

Y

12