Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теоретические основы электротехники. Курс лекций
.pdf
С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ (ДЛИННЫЕ ЛИНИИ)
ЛЕКЦИЯ 17. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ
U0 = G0 + jwC0 — удельная комплексная поперечная проводи-
мость линии.
Решение уравнений относительно напряжения и тока
где A
jx
-
Ux Ae A e
Ix
·
·
и A
— комплексные постоянные интегрирования, имеющие
1
2
() ;
=Ч +Ч
12
jx
--
AeZAe
Ч
12
() ,
=
-
c
jx
-
jx
Ч
Z
c
размерность напряжения;
gab==+Zj
U
0
0
— комплексный коэффициент распростра-
нения, включающий коэффициент затухания (a) и коэффициент
фазы (b);
Z
0
Z
C
— комплекс волнового сопротивления длинной линии,
=
U
0
определяющий отношение напряжения к току в любой точке линии.
Параметры g и
являются вторичными параметрами длинной
Z
C
линии.
Кроме перечисленных параметров при анализе режимов работы
длинной линии учитывают фазную скорость движения волны
wbl
V
T
l ,
f===Ч
где w — циклическая частота переменного тока;
l — длина волны или расстояние между двумя точками линии,
на котором укладывается полная волна,
1
Тf=
— период синусоидальной функции.
Принято считать волну, движущуюся от начала линии, прямой,
а движущуюся от конца линии — обратной.
Уравнения могут быть решены при известных значениях напря-
жения и тока в начале линии, т. е. при x = 0, а также при известных
·
параметрах U
·
и I
в конце линии, т. е. при x = l.
2
2
201
Если заданы U
ющий вид:
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ
·
·
и I
в начале линии, то уравнения примут следу-
1
1
1
Ux UIZ e UIZ e
()()()
=+ Ч+- Ч
2
ж
U
1
Ix
()
=+
з
Z
2
и
C
11 11
ц
1
IIe
Ч+ -
ч
1
C
ш
1
-+
yx
2
ж
U
1
yx
-+
з
2
Z
и
1
C
ц
Ie
ч
1
ш
yx
C
yx
Ч
.
Эти же уравнения в гиперболических функциях
м
()
=Ч -ЧЧ
Ux U chx I Z shx
п
н
() .
=Ч - Ч
Ix I chx
п
о
gg
11
gg
1
c
U
1
sh x
Z
c
Если в качестве исходных граничных условий принять напряже-
·
ние и ток в конце линии (U
·
и I
), то целесообразно ввести новую ко-
2
2
ординату y = l – x, т. е. отсчет вести от конца линии. Тогда в гипер-
болических функциях можно записать уравнения
м
Uy U chy I Z shy
()
=Ч +Ч Ч
п
н
Iy I chy
() .
=Ч + Ч
п
о
gg
22
gg
2
C
U
2
sh y
Z
C
Входное сопротивление линии рассчитывают по формуле
Z
вх
Uyl
()
1
=
Iyl
()
1
Ч+ЧЧ
UchlIZchl
=
=
=
gg
22
Ч+Ч
Ichl
g
2
c
ch
.
ggl
U
2
Z
c
202
С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ (ДЛИННЫЕ ЛИНИИ)
ЛЕКЦИЯ 17. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ
17.3. Длинные линии без искажения
Длинные линии без искажения обладают двумя важнейшими от-
личиями от обычных линий с потерями:
1) коэффициент затухания не зависит от частоты передаваемого
сигнала, а определяется только активным сопротивлением и проводимостью единичного участка длинной линии по формуле
a= Ч =RG
00
const,
2) фазовая скорость движения волны также не зависит от частоты передаваемого сигнала, а определяется только реактивными параметрами единичного участка длинной линии по формуле
V
1
LC=Ч
00
=
const.
Расчеты показывают, что для выполнения этих условий необходимо и достаточно сохранить следующее соотношение между первичными параметрами длинной линии:
RLG
000
=Ч=Ч или .
C
0
RC LG
00 00
Это условие было получено Хевисайдом еще в 1893 году.
Для линий без искажения волновое сопротивление становится чисто активным по своему характеру и определяется по формуле
L
Z
0
==
c
C
0
Ze
c
0
j
Пример
Дано: параметры кабельной линии
RL С G
Ом
20 10
==-=Ч
00 0 0
;; ; .
км
Гн
3
км
20 10
203
Ф
9
-
км
=
10
Cм
6
-
км
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ
Необходимо определить:
1) величину дополнительной индуктивности L
, которую нуж-
доп
но подключить на каждый километр линии, чтобы линия стала линией без искажения;
2) во сколько раз изменится фазовая скорость и коэффициент за-
тухания после включения дополнительной индуктивности при частоте
w=5000
рад
c
.
Решение
1. Для получения искажающих свойств необходимо выполнить
условие
RLG
000
=Ч=Ч или .
C
0
RC LG
00 00
Необходимая индуктивность (суммарная) единичного участка
длинной линии составит
-
L
RC
=
Ч
00
=
G
0
20 20 10
ЧЧ
10
9
04,. Гн
=
-
6
Таким образом, дополнительная индуктивность
L
= L – L0 = 399 мГн » 0,4 Гн.
доп
2. Определим коэффициент распространения до и после подклю-
чения дополнительной индуктивности
рад
км
0
j
--
g=Ч=++ Ч=Ч =
Zjj e
U ()( ) ,
0
=Ч+
27 95 10 3
, 557710
Таким образом,
20 5 1 100 10 45 4 10
0
-
3
j
,.Ч=+
ab=Ч =Ч
27 95 10
3
-
abj
1
--
,,, .
33
км
6352
35 77 10
а
После подключения дополнительной индуктивности
--
a= Ч = Ч = Ч
RG
00
63
20 10 4 48 10
204
,.
1
км
С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ (ДЛИННЫЕ ЛИНИИ)
ЛЕКЦИЯ 17. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ
В результате подключения дополнительной индуктивности коэффициент затухания уменьшился в 6,24 раза.
При расчете фазовых скоростей используются известные формулы. До подключения дополнительной индуктивности эта скорость была равна
a
V ==
b
35 77 10
5000
,
=Ч
-
3
Ч
139 8 10
км
3
,.
с
После подключения дополнительной индуктивности эта скорость составила
V
11
00
=
04 2010
,
ЧЧ
LC=Ч
11 18 10
=Ч
,.
9
-
км
3
с
Таким образом, фазовая скорость уменьшилась примерно в 19,4
раза, что объясняется с физических позиций включением в цепь значительной дополнительной индуктивности.
17.4. Длинные линии без потерь
На высоких рабочих частотах или при высоких уровнях питающего синусоидального напряжения (>110 кВ) наблюдаются соотношения R0 << wL0, а G0 << wC0. Если пренебречь параметрами R0 и G0,
т. е. принять их равными нулю, то линия получает название «линия
без потерь». Можно показать, что линия без потерь является частным случаем линии без искажения и для нее характерны следующие свойства:
L
abw== Ч = =Ч =
0
;; ;. LC Z
00
0
c
C
0
0
j
Ze V
c
Если воспользоваться известными формулами для расчета параметров L0 и С0 единичных отрезков двухпроводной линии
1
Ч
LC
00
205
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ
ж
mm
L
=Ч
0
p
0
d
ln ,
з
r
0
и
ц
Гн
и
ч
м
ш
pe e
=
C
0
ln
Ф
0
,,
ж
з
и
м
ц
d
ч
r
0
ш
где d — расстояние между проводами, а r0 — радиус провода, то расчетная формула для определения фазовой скорости линии без потерь примет следующий вид:
V
11
LC=Ч
=
00 0 0
Учитывая, что скорость света в вакууме
без потерь фазовая скорость составит
VC=
mmee
,
.
Ч
1
то в линиях
me
00
,
C =
Чme
где m и e — относительные значения магнитной и диэлектрической
проницаемости среды соответственно.
Для линии без потерь существенно упрощаются формулы, так как
коэффициент затухания равен нулю. В частности, формулы примут
следующий вид:
мм
Uy U y jI Z y
() cos sin
=Ч + ЧЧ
п
н
Iy I y j
() cos sin .
=Ч + Ч
п
о
bb
22
bb
2
2
U
2
Z
y
c
При определенных условиях в линиях без потерь могут наблюдаться стоячие волны. Эта возможность проявляется в режимах холостого хода, короткого замыкания, а также при чисто реактивной нагрузке. Физически образование стоячей волны объясняется наложением
прямых и обратных волн с одинаковыми амплитудами. В результате
на линии могут образоваться узлы и точки пучности.
206
С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ (ДЛИННЫЕ ЛИНИИ)
ЛЕКЦИЯ 17. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ
17.5. Переходные процессы в линиях
с распределенными параметрами
В цепях с распределенными параметрами (например, в длинных
линиях, обмотках электрических машин и трансформаторов и т. п.)
включение и отключение какого-либо участка сопровождаются переходными процессами, как и в цепях с сосредоточенными параметрами. Атмосферные (грозовые разряды и появление импульсных
составляющих напряжения при внутренних перенапряжениях также вызывают переходные процессы. Переходные процессы возникают в линиях при передаче телеграфных и телефонных сигналов,
телемеханических или специальных импульсов, например при проверке состояния линии или выявления мест повреждения.
Анализ переходных процессов необходимо проводить с учетом
дифференциальных уравнений
du
м
п
п
н
п
п
о
RiL
-=Ч+
-=Ч+
dx
di
dx
GuC
00
00
di
dt
du
dx
.
Однако в подавляющем большинстве случаев при анализе переходных процессов пренебрегают потерями в линии (R0 = 0; G0 = 0),
что позволяет существенно упростить методику расчета. В этих условиях уравнения примут вид:
du
-= -=Ч
dx
didtdi
;.
L
00
dx
du
C
dt
Решение этих волновых уравнений для любой точки линии х
в однородной линии (L0 = const и C0 = const) имеет следующий вид:
u(x, t) = f1(x – Vt) + f2(x + Vt) = uпр(x, t) + u
uxtZu
(,)
ixt
(,)
пр обр
Z
cс
207
(,) (,),=-=-
ixti xt
пр обр
обр
(x, t);
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ
L
где
Z
VLC=
0
— волновое сопротивление линии без потерь;
=
c
C
0
1
— фазовая скорость волны или волновая скорость;
00
uпр(x, t) — прямая волна напряжен;
u
(x, t) — обратная волна напряжения.
обр
Если учесть, что в линиях без потерь отсутствует затухание волны
при ее движении, то на любом участке линии для расчета составляющих прямой и обратной волн достаточно учесть только время прохождения волны до расчетной точки.
Скорость движения волн в воздушной линии с медными или алюминиевыми проводами (m = 1, e = 1) примерно равна скорости света
и определяется по формуле
где
mp
0
e
0
-
7
410=Ч
88510=Ч
-
,
VLC==Ч»Ч
Гн
м
12
11
mmee
00
00
— магнитная постоянная;
Ф
— электрическая постоянная.
м
310
м
8
,
с
В кабельных линиях скорость движения волны уменьшается в 2
раза из-за увеличения параметра диэлектрической проницаемости
среды, обусловленной материалом диэлектрика в кабеле.
В линиях связи, где обычно используются стальные провода, скорость движения волны снижается еще более существенно, так как
увеличивается магнитная проницаемость проводника.
Следует отметить, что при прохождении волны напряжения происходит накопление заряда на линии и возникает саморастягивающийся контур тока, т. е. возникает волна тока, сформированная током смещения. Наряду с этим током в индуктивности расчетного
участка возникает ЭДС самоиндукции.
В общем случае при расчете переходных процессов в цепях с распределенными параметрами предусмотрено три этапа:
1. Расчет падающих или прямых волн напряжения и тока. При рас-
чете волны напряжения достаточно заменить напряжение источника
208
С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ (ДЛИННЫЕ ЛИНИИ)
U(t) на прямую волну
чете волны тока необходимо разделить значение
метр волнового сопротивления линии.
ЛЕКЦИЯ 17. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ
x
ж
ц
ut
пр
з
и
где х координата линии. При рас-
-
,
ч
V
ш
ж
ut
-
пр
з
и
x
ц
ч
V
ш
на пара-
2. Расчет переходного процесса в нагрузке. Расчет основан на составлении эквивалентной схемы замещения, соответствующей уравнению
ж
2ut
-
з
и
l
ц
=-
it
ч
V
ш
l
ж
ц
Ч+,
Zu
з
и
Cпр пр н
ч
V
ш
где l — полная длина линии, uн — напряжение на нагрузке.
l
Затем удобнее перейти к новому времени отсчета
qі -t
V
и ис-
пользовать один из рациональных методов: классический, операторный, спектральный и т. п.
3. Расчет отраженных или обратных волн.
Обратная или отраженная волна напряжения в точке подключения нагрузки определяется по результатам расчета двух предыдущих пунктов
u
(q, l) = uн(q, l) – uпр(q, l).
обр
Для расчета значения этой волны в любой другой точке линии
вводят новую координату y = l – x и используют формулу
y
ж
u
обр н пр
ц
qq q,, ,.
=
з
и
u
ч
V
ш
y
ж
ц
-
з
и
u
ч
V
ш
y
ж
ц
з
ч
V
и
ш
При расчете обратной волны тока достаточно изменить знак в функ-
y
ж
ции
u
обр
ц
q,
з
и
и разделить ее на значение волнового сопротивления.
ч
V
ш
Контрольные вопросы:
1. Схема замещения длинной линии и первичные параметры.
2. Роль вторичных параметров в расчете длинных линий.
3. Основные свойства длинных линий без искажения и без потерь.
4. Методика расчета переходных процессов в длинных линиях.
209
Лекция 18
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ
План лекции
18.1. Система уравнений электромагнитного поля в интеграль-
ной форме.
18.2. Система уравнений электромагнитного поля в дифферен-
циальной форме (уравнения Максвелла).
18.3. Теорема Умова-Пойнтинга. Понятие о векторе Пойнтинга.
18.4. Общая схема движения энергии в электрической цепи по-
стоянного тока.
18.5. Электростатическое поле, основные характеристики и свойства.
18.6. Уравнения Пуассона и Лапласа.
18.7. Магнитное поле постоянных токов.
18.1. Система уравнений
электромагнитного поля в интегральной форме
Теория электромагнитного поля используется для расчета магнитных и электрических полей различных электрических машин
и приборов. Носитель этой энергии — электромагнитное поле — существенно отличается от привычной материальной среды. Об этом
свидетельствует факт передачи электромагнитной энергии через вакуум. Таким образом, электромагнитное поле — особый вид материи в отличие от вещества. Однако оно имеет ряд признаков свойственных веществу:
а) обладает массой;
б) энергией;
в) количеством движения и моментом количества движения.
Это свойства материи, которые подчиняются законам физики.
Электромагнитное поле может создаваться из вещества и превращаться
210
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]