Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теоретические основы электротехники. Курс лекций
.pdf
ЛЕКЦИЯ 4. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ПОСТОЯННОГО ТОКА
Во-первых, подбор аппроксимирующих коэффициентов an, … a0
может стать неразрешимой проблемой для очень сложных нелинейных характеристик. Во-вторых, чем выше степень полинома «n», тем
сложнее использовать ее, например, при возведении в степень, логарифмировании, интегрировании и т. п.
Все эти проблемы отражены в теме «Методы расчета нелинейных цепей».
4.3. Методы расчета нелинейных цепей
Методы расчета нелинейных цепей постоянного тока можно условно разбить на три группы.
В первую группу входят графические методы расчета, для которых нелинейные характеристики элементов заданы в виде графика
(или таблицы) и расчет цепи может быть выполнен только графически. Рассмотрим пример применения графических методов (рис. 4.3).
ав
б
U
1
U
1
I
U
1
U
2
I
2
I
1
2
U, В
экв
U
1
U
1
I
U
2
2
I
2
I, А
Рис. 4.3. Иллюстрация графического метода расчета нелинейных цепей:
а — расчетная схема при последовательном соединении элементов; б — расчетная
схема при параллельном соединении элементов; в — графическое соединение
На рис. 4.3 показан пример последовательного соединения двух
нелинейных резисторов с характеристиками 1 и 2. В основу графического расчета положен второй закон Кирхгофа, в соответствии
41
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ
с которым U = U1 + U2 для одного и того же тока. В результате можно получить характеристику эквивалентного элемента, а затем по известному параметру входного напряжения U вычислить графическим
путем напряжения на элементах U
, U2 и ток I.
1
Если в качестве расчетной будет принята схема на рис. 4.3, б,
то в основу расчета необходимо положить первый закон Кирхгофа
(I = I1 + I2) и складывать эти величины при одном и том же напряжении. На рис. 4.3, б эти действия не показаны и студентам предо-
ставляется возможность их выполнить.
Очевидно, при смешанном соединении элементов приходится
графическим методом применять и первый, и второй законы Кирхгофа в зависимости от схемы соединения.
Ко второй группе можно отнести графоаналитические методы
расчета, при использовании которых какая-то часть расчета проводится в графической форме, а какая-то часть — в аналитической.
Следует отметить, что нелинейные характеристики элементов
в этой группе заданы обычно в графической форме (или в виде таблицы). Пример такой задачи продемонстрирован на рис. 4.4, а, а ее
частное решение — на рис. 4.4, б, в.
аб в
R
A
НС
E
0
I
а
НС
б
U
экв
U
нс
U
в
II
НС
R
в
Рис. 4.4. Иллюстрация графического метода расчета:
а — расчетная схема; б — эквивалентная схема;
в — пример графического решения
Пусть имеется сложная электрическая цепь А постоянного тока,
в которой необходимо вычислить ток или напряжение на нелинейном элементе НС с известной вольтамперной характеристикой. Все
остальные элементы цепи А линейные. Это дает возможность воспользоваться в аналитической форме методом эквивалентного генератора.
42
ЛЕКЦИЯ 4. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ПОСТОЯННОГО ТОКА
Так как при определении ЭДС и внутреннего сопротивления генератора расчетная ветвь а – в размыкается, то цепь А оказывается линейной и для определения искомых величин можно использовать любые
(рациональные) методы расчета. Полученные при этом значения E
и RB позволяют составить эквивалентную схему (рис. 4.4, б) и перейти к графической части расчета, которая принципиально не отличается от изложенной ранее методики графического расчета.
В третью группу входят аналитические методы, т. е. весь расчет
нелинейной цепи должен быть выполнен только в аналитической
форме, поэтому вольтамперные характеристики также должны быть
заданы аналитически. Один из простых примеров применения этих
методов приведен ниже. На рис. 4.5 приведена расчетная схема, для
которой известными считаются U, R0, а также заданы аппроксимирующие уравнения:
0
IaU bU IcU
=- = и .
112212 2 12
2
Необходимо вычислить токи I0, I1, I2 напряжения U0 и U12.
При решении воспользуемся законами Кирхгофа. Решение приведено ниже.
I
1
I
0
+
R
0
U
–
I
2
1
U
12
2
Рис. 4.5. Расчетная схема
I0 = I1 + I2; U = I0 · R0 + U12; U = (I1 + I2) · R0 + U12;
U = (aU
2
– bU12 + cU
12
или U
2
) · R0 + U12; U = (a + c) · U
12
2
R0(a + c) + U12(1 – bR0) – U = 0;
12
43
2
· R0 + U12(1 – bR0)
12
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ
bR bR R a c U
114
-±- - +
()()()
U
=
12
0020
Rac
2
+
()
0
.
В результате вычисляем параметр U12, а на его основе находим
в аналитической форме I1, I2, I0, U0.
Контрольные вопросы:
1. Какая цепь считается нелинейной?
2. Пояснить принципы расчета статического и дифференциаль-
ного сопротивления нелинейного резистора.
3. Перечислить методы аппроксимации нелинейных характери-
стик и условия их применения.
4. Дать характеристику различным методам расчета нелинейных
цепей.
44
Лекция 5
ЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ
СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА.
ОСНОВЫ СИМВОЛИЧЕСКОГО МЕТОДА.
ЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ
С ИНДУКТИВНОЙ СВЯЗЬЮ
План лекции
5.1. Параметры синусоидального тока. Средние и действующие
значения.
5.2. Представление синусоидального тока проекциями вращающихся векторов и на комплексной плоскости. Символический метод расчета.
5.3. Активные и пассивные элементы цепи синусоидального тока.
5.4. Понятие о треугольниках сопротивлений и проводимостей.
5.5. Особенности расчета линейных цепей с индуктивной связью.
5.1. Параметры синусоидального тока.
Средние и действующие значения
Синусоидальный ток является частным случаем периодического
переменного тока, изменяющегося по закону
i(t) = IM · sin(wt + j),
где i(t) — мгновенное значение тока;
IM — амплитуда или максимальное значение синусоидального тока;
w — угловая частота или радианная мера частота
очевидно, T · w = 2p;
45
ж
wp
==
22f
з
и
p
ц
,
ч
T
ш
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ
f — частота изменения тока;
Т — период изменения тока;
y — начальная фаза, определяет значение функции в момент вре-
мени t = 0.
В России частота изменения промышленного тока f = 50 Гц или 50
полных синусоид за одну секунду, период Т = 0,02 с, а угловая мера
рад
w=314
Необходимо напомнить, что период Т — наименьший
.
c
интервал времени, по истечении которого синусоидальная функция
повторяет свои значения в той же последовательности. Пример синусоидальной формы тока приведен на рис 5.1.
i
I
М
Iср = 0,637I
y
T
Рис. 5.1. Пример тока синусоидальной формы
м
I = 0,707I
t
м
Следует отметить, что промышленная частота f = 50 Гц принята
в России, некоторых странах СНГ и Европы. Для США и ряда других стран принята частота 60 Гц. Выбор этих частот в свое время был
обусловлен технико-экономическими соображениями. Наряду с указанными могут применяться и другие частоты. Например, в авиации
с целью снижения массогабаритных показателей оборудования применяется частота 400 Гц, в специальных индукторных нагревателях
используются частоты выше 5000–6000 Гц, а в радиотехнике применяют мега и гигагерцовый диапазон частот.
46
ЛЕКЦИЯ 5. ЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА.
ОСНОВЫ СИМВОЛИЧЕСКОГО МЕТОДА. ЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ…
Для характеристики синусоидального тока используют термины
среднего и действующего значения с целью установления определенной эквивалентности постоянному току. За действующее значение синусоидального тока принимают также значение постоянного
тока, при протекании которого в резисторе за период выделится такое же количество энергии, что и при протекании синусоидального
тока. Энергия, которая будет выделена в резисторе с величиной R,
может быть представлена в виде следующего равенства:
22 22
IRT iRdt I tRdt
ЧЧ= ЧЧ = Ч ЧЧ
TT
sin .w
M
тт
00
Примечания: 1. Для удобства расчетов начальная фаза тока принята y = 0, т. е. i(t) = IM sin wt.
2. Действующие значения тока иногда называют среднеквадра-
тичными.
В результате расчета получим
T
11
I
=Ч= ЧЧ=
=Ч-Ч
2
idt
тт
T
0
T
2
I
1
M
dt
т
T
2
0
T
22
Itdt
sin
M
T
0
T
2
I
1
M
coswwttdt
т
T
0
2
2
I
M
Ч= »
0707,.
2
I
M
В процессе преобразований использована известная тригономе-
12
cos
трическая функция
sin
2
wwtt=
-
.
2
При анализе работы выпрямительных устройств пользуются понятиями среднего значения тока. Так как среднее значение синусоиды за полный период равно нулю, то принято решение вычислять
среднее значение тока за половину периода
47
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ
T
2
1
I
ср
ItdtTItdt
=ЧЧ=ЧЧ
T
sin sin
ww
M
тт
0
T
2
2
M
0
w
ж
ц
Ч=
з
ч
w
и
ш
2
T
2
2
I
M
=
T
w
Ч
Соотношение
c
oos , .w
I
I
II
4
t
==»
т
0
0 707
,
==
0 637
,
2
MM
pp
2
I
M
111
,
I
Mср
0 637
характерно для синусоиды.
I
M
5.2. Представление синусоидального тока проекциями
вращающихся векторов и комплексной плоскости.
Символический метод расчета
Рассмотрим вращающийся с постоянной угловой частотой век-
I
тор
нат будет принимать самые различные значения в отдельные моменты времени и подчиняться закону
.
Из рис. 5.2, видно, что проекция этого вектора на ось орди-
M1
i1(t) = I1M · sin(wt + y1).
w
Y
·
I
1М
y
1
y
2
·
I
2М
i
I
1М
X
Рис. 5.2. Представление синусоидального тока вращающимся вектором
48
ЛЕКЦИЯ 5. ЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА.
ОСНОВЫ СИМВОЛИЧЕСКОГО МЕТОДА. ЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ…
Аналогично можно заметить, что проекция этого вектора на горизонтальную ось Х будет подчиняться закону косинуса. Любая синусоидальная функция может условно заменена проекцией вращающегося вектора. Если предположить, что с такой же угловой
скоростью, но с другой амплитудой и начальной фазой будет вра-
I
,
щаться другой вектор тока
то он также может быть представ-
M2
лен в виде синусоидальной функции с тем же периодом времени
Т, т. е. i2(t) = I2M · sin(wt – y2) (на рисунке не указано). Следователь-
но, действия над синусоидальными функциями, например их сложение, можно заменить аналогичными действиями сложения вращающихся векторов. При этом взаимная ориентация векторов будет
характеризоваться постоянным смещением a = y1 – y2. Последнее
свойство становится особенно важным, так как допускает замену
действий над вращающими векторами действиями над неподвижными векторами на комплексной плоскости (рис. 5.3).
+j
·
b
I
1М
y
1
y
2
a
·
I
2М
+
·
I
М
Рис. 5.3. Векторы на комплексной плоскости
Комплексная плоскость в виде оси вещественных чисел (+) и оси
мнимых чисел (+j) позволяет любой вектор представить в алгебраической, тригонометрической и показательной формах. Например,
для вектора
можно записать
I
M1
49
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ
j
IajbI jI Ie
=+ = Ч + Ч = Чcos sin .yy
MMMM
111111
y
1
Примечание. Межгосударственный ГОСТ по обозначению элек-
трических и магнитных величин разрешает обозначать комплекс-
II UU
ные значения токов и напряжений двояко:
(), ( ).
M
M
MM
Все
остальные физические величины должны быть обозначены по второму варианту, например, Z — комплекс сопротивления.
Из диаграммы (рис. 5.3) и приведенной формулы, понятно что
модуль комплексного числа и его аргумент могут быть определены
из формул
Iab
M1
22
=+ =,. а arctgy
1
b
a
Тригонометрическая форма представления комплексного числа является промежуточной между алгебраической и показательной
формами. Последняя получила название как форма представления
Эйлера, знаменитого швейцарского, немецкого и русского математика, механика, физика и техника.
Переход к символической форме представления синусоидальных функций существенно облегчает расчет цепей переменного
тока и позволяет достаточно быстро вернуться к оригиналам или
временным функциям после окончания основных расчетных действий. Опыт показывает, что сложение и вычитание комплексных
чисел удобнее выполнять в алгебраической форме, а деление и умножение — в показательной форме. Примеры подобных и других
действий приведены ниже
j
MajbMe M jM
=+ = = Ч +
NcjdNe M a b N c d
=+ = = + = +
j
a
b
,,. где а
aacos sin ;
22 2 2
MN ajb cjd ac jbd±=+ ±+ =±+ ±()()()();
j
MNMe
a
M
==
j
Ne
e
b
N
-
j
ab()
;
50
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]