Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теоретические основы электротехники. Курс лекций
.pdf
ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ ПОСТОЯННОГО ТОКА
ЛЕКЦИЯ 2. ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА
Если заданы сопротивления трехлучевой звезды R1, R2, R3, то сопротивления эквивалентного треугольника R12, R23, R31 вычисляют
по формулам
RRR
=++
12 1 2
RR
RR
Ч
12
RRR
=++
;;.
R
23 2 3
3
1
R
31
R
3
32
R
Ч
23
RRR
=++
1
R
2
31 3 1
12
R
R
1
R
23
RR
Ч
31
R
2
Рис. 2.2. Совмещенное изображение
элементов трехлучевой звезды и треугольника
Если заданы сопротивления треугольника R12, R23, R31, то для расчета эквивалентных составляющих трехлучевой звезды можно рекомендовать следующие формулы:
RR
R
RR
=
1
RRR
++
12 23 31
Ч
12 31
RR
Ч
;;
R
2
23 12
=
RRR
++
12 23 31
R
=
3
Ч
31 23
R
++RR
222331
1
.
Примечание. Преобразование схем с источниками ЭДС или тока
в современных условиях с учетом активного применения средств
вычислительной техники применяется крайне редко, а для идеальных (идеализированных) источников невозможно, поэтому в разделе данная тема не рассматривается.
21
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ
2.2. Метод законов Кирхгофа
Любая, сколь угодно сложная электрическая цепь, может быть
рассчитана на основе законов Кирхгофа. Рассмотрим этот вариант
на примере схемы 1.2. Для расчета рекомендуется выбрать или иметь
положительное направление токов в ветвях, направление обхода каждого независимого контура. Необходимо составить Y – 1 независимых уравнений по первому закону Кирхгофа, где Y — число узлов,
а по второму закону Кирхгофа необходимо составить К уравнений,
где К = В – (Y – 1) — число независимых контуров, В — общее число ветвей. При наличии ветвей с идеальными источниками тока число (Вy) необходимое число уравнений по второму закону Кирхгофа
составит K = B – By – (Y – 1).
В качестве примера для схемы (рис. 1.2) потребуются три уравнения по первому закону Кирхгофа (Y – 1) и три уравнения по второму закону Кирхгофа, так как В = 7, Ву = 1, Y = 4. Для каждого независимого контура принят обход по часовой стрелке.
1 узел: I1 + I2 – I3 = 0, 1 контур: E1 – E2 = I1R1 – I2R2 – I4R4,
2 узел: I6 – I4 – I1 – J = 0, 2 контур: E2 + E3 – E5 = I2R2 – I5R5 + I3R3,
3 узел: –I2 + I4 – I5 = 0, 3 контур: E5 – E6 = I5R5 + I4R4 + I6R6.
Данный метод, несмотря на простоту записи уравнений, связан
с громоздкими расчетами при большом числе узловых точек цепи
и независимых контуров, поэтому может быть рекомендован в основном для решения относительно простых электрических цепей.
22
ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ ПОСТОЯННОГО ТОКА
ЛЕКЦИЯ 2. ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА
2.3. Метод контурных токов
Метод контурных токов позволяет уменьшить число совместно
решаемых уравнений до значения K = B – By – (Y – 1), где К — число
независимых контуров. Данный метод основан на применении второго закона Кирхгофа и так называемых фиктивных контурных токов.
Для практических целей необходимо составить систему уравнений
IR IR IR IR E
м
п
п
п
н
п
п
п
о
В этих уравнениях I11, I22, I33 … Inn — фиктивные контурные токи
соответствующих контуров. Их число определяется числом независимых контуров, включая ветви с источниками тока. Направление
токов выбирается в общем случае произвольно.
R11, R22, R33 … Rnn — полное или собственное сопротивление со-
ответствующего контура. Эти сопротивления должны включать все
сопротивления расчетного контура.
R12 = R21 или Rik = Rki — взаимное или общее сопротивление соот-
ветствующих контуров i и К. Параметры записывают со знаком плюс,
если контурные токи совпадают в сопротивлении по направлению,
и — со знаком минус, если не совпадают и принимаются равными
нулю, если таких общих сопротивлений в схеме нет.
Алгебраическая сумма ЭДС каждого контура типа Е11, Е22 должна
быть записана со знаком плюс, если эта ЭДС совпадает с расчетным
контурным током по направлению и со знаком минус при противоположном направлении. Если в электрической цепи присутствует
ветвь с идеальным источником тока, то контурный ток по этой ветви должен быть только один, величина этого контурного тока становится известной. Рассмотрим схему на рис. 2.3.
+++ј+=
11 11 22 12 33 13 1 11
IR I R IR I
+++ј+
11 21 22 22 33 23
IR IR IR IR E
+++ј+ =
11 31 22 32 33 33 3 33
nn n
RE
=
nnn
222
n
nn n
ј
RIRE
IR IR I
++
nn
11 1 22 2
+ј+ =
333 3
nnnnnnn
23
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ
R
7
1
E
1
R
1
24
E
2
I
11
R
2
R
4
3
I
R
6
33
I
44
J
E
3
I
22
R
3
R
5
E
6
Рис. 2.3. Расчетная схема к методу контурных токов
В ней контурный ток I44 = J, следовательно, для расчета подобной схемы достаточно составить три уравнения с тремя неизвестными контурными токами
IRR R R I R IR I EE
м
п
н
п
о
+++ + - + + =-
11 1 7 2 4 22 2 33 4 44 1 2
IRIR
() (
-+
11 2 22
++ ++ +
IRIRIRR
() () ( +++-=
11 4 22 5 33 4 5
RR I R I E E
2235 335 44 23
)()()
)()
RI RE
6
0()()()
0++ + + + = +
44
66
.
В результате решения полученной системы уравнений какойлибо один или несколько контурных токов могут оказаться отрицательными. В этом случае рекомендуется изменить направление таких контурных токов, а затем вычислить реальные токи ветвей как
алгебраическую сумму соответствующих контурных токов. В ветвях с единственным контурным током, в ветви с сопротивлением
R1, найденный контурный ток является единственным и истинным.
Эти же уравнения могут быть представлены в матричной форме
[R] · [I] = [E].
24
ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ ПОСТОЯННОГО ТОКА
ЛЕКЦИЯ 2. ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА
RRR
11 12 13
R
RRR
=
[]
21 22 23
RRR
31 32 33
;;
11
III
[]=[]
EEE
22
I
33
11
=
.
22
EE
33
В матрицу [E] входят также составляющие напряжений, полу-
ченных как произведение известного контурного тока I44 на (+R6).
2.4. Метод узловых потенциалов
(узловых напряжений)
Как известно, ток любой ветви можно вычислить по закону Ома,
если известны потенциалы или разность потенциалов на этом участке цепи. Для того чтобы применить закон Ома, необходимо знать
потенциалы узлов схемы. Метод расчета, в котором за неизвестные
принимают потенциалы узлов схемы, получил название метод узловых потенциалов. В некоторых учебниках его называют также методом узловых напряжений.
Система уравнений для любой цепи, содержащей N узлов, должна включать (N – 1) уравнений. Это свойство основано на положении, что потенциал любой узловой точки может быть принят за нуль,
если нет других заземленных точек схемы.
м
jjj j
Ч-Ч-Ч - Ч = +
GGG G EGJ
111 212 313 111
п
…
--
nn ii i
,
п
п
jj
-Ч + Ч
GG
п
121 22
н
п
…
п
п
-Ч - Ч -
jj j
GG
1112123
--
nn
п
о
,,
-Ч - Ч = +
jj
GGEGJ
22323 121
…
--
nn iii
,
ЧЧ + Ч = +
GGEGJ
… j
----
nnnniii
13 1 1 1
,,
11
ее
22
ее
.
--
nn
11
ее
В общем случае G11, G22, …GKK — сумма собственных проводимостей ветвей, сходящихся в соответствующем узле 1, 2, … K; G
= G
12
21
или GiK = GKi — сумма взаимных проводимостей ветвей, непосредственно соединяющих узлы i и K. Если между какими-либо двумя
25
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ
узлами ветвь отсутствует, то эта проводимость принимается равной нулю. В правой части уравнений составляющие токов записывают со знаком плюс, если эти источники направлены к расчетному узлу. Система уравнений может быть представлена и в матричной
форме записи
[G] · [j] = [J
GG G
11 12 1 1
GG G
[] ;
G
21 22 2 1
=
…………
GG G
,, ,
nn nn
-- --
11 12 1 1
…
…
…
,
n
-
,
n
-
],
KK
j
1
j
[[] [ ]
2
j
==
;
J
KK
...
j
1
-,n
J
nn
J
11
J
22
…
--
11
.
После расчета искомых потенциалов токи в ветвях, как уже отмечалось, вычисляют по закону Ома. При расчете электрических цепей
методом узловых потенциалов имеется ряд особенностей:
1. Если в какой-либо ветви присутствует только идеальный источник ЭДС, то необходимо заземлять один из узлов, который связан с этой ЭДС. Тогда потенциал второго узла становится известным.
Прием позволяет уменьшить число необходимых уравнений на единицу. Несоблюдение требования исключает возможность составить
правильно и грамотно необходимые уравнения.
2. В случае п. 1 возникает проблема расчета тока в ветви с идеальной ЭДС, так как закон Ома здесь нельзя применить. При расчете
тока рекомендуется использовать первый закон Кирхгофа для одной
узловой точки с последующей проверкой правильности решения для
второй узловой точки, связанной с идеальной ЭДС.
2.5. Метод наложения
Метод наложения основан на принципе наложения: ток в любой ветви линейной цепи равен алгебраической сумме токов, создаваемой в этой ветви каждым источником цепи в отдельности. При
расчете цепей методом наложения поступают следующим образом:
26
ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ ПОСТОЯННОГО ТОКА
ЛЕКЦИЯ 2. ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА
1. Составляют расчетную схему с одним источником. Остальные
источники исключают путем закорачивания идеального источника
ЭДС и разрыва ветви с идеальным источником тока. Затем полученная схема рассчитывается рациональным методом и найденные токи
наносят на исходную схему с указанием величины и направления.
2. Аналогично составляют расчетные схемы и выполняют расчет
для других источников электрической энергии.
3. Реальные токи ветвей определяют как алгебраическую сумму полученных при расчете токов, т. е. с учетом их величины и направления.
Данный метод применим для расчета напряжений и токов.
2.6. Метод эквивалентного генератора
Метод применяют в тех случаях, когда необходимо вычислить ток
в одной ветви сколь угодно сложной электрической цепи и основан на теореме: по отношению к выделенной ветви остальная часть
цепи (двухполюсник) может быть заменена эквивалентным генератором, ЭДС которого равна напряжению холостого хода на зажимах выделенной ветви, а внутреннее сопротивление равно входному
сопротивлению пассивного двухполюсника. В некоторых источниках этот метод иногда называют методом холостого хода и короткого замыкания.
Рекомендуемая методика расчета сводится к следующим действиям:
1. Размыкают ветвь с искомым током и любым рациональным методом вычисляют разность потенциалов на разомкнутых зажимах —
напряжение или ЭДС холостого хода эквивалентного источника E0.
2. В активном двухполюснике относительно разомкнутых зажимов
ветви исключают все источники электрической энергии, т. е. переходят к пассивному двухполюснику. При этом идеальные источники
ЭДС замыкают накоротко, а ветви с идеальными источниками тока
разрывают, как в методе наложения. В результате расчета определяют эквивалентное или внутреннее сопротивление генератора R
экв
.
27
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ
3. Искомый ток вычисляют по формуле
E
I
=
ab
0
,
+
RR
экв
ab
где Rab — сопротивление ветви с искомым током Iab. Если сопротивление ветви равно нулю, то протекающий ток фактически становится током короткого замыкания
E
I
K
00
==
R
тогда ,.
внутр
E
R
экв
I
K
Из последней формулы становится ясным, почему этот метод
имеет второе название, а также можно обосновать простой метод
опытного определения входного или эквивалентного сопротивления активного двухполюсника. Достаточно измерить напряжение
холостого хода на зажимах разомкнутой ветви и ток короткого замыкания этой ветви.
На практике в ряде случаев могут быть использованы и другие методы расчета. Проведем краткий анализ.
2.7. Обзор других методов расчета
Метод пропорциональных величин применим для линейной цепи
с одним источником энергии и основан на произвольном выборе некоторого тока в самой удаленной от источника ЭДС ветви, например
током в 1А. Далее, продвигаясь к входным зажимам, вычисляют токи
и напряжения на различных участках цепи. В результате находят напряжение на входных зажимах, которое в общем случае оказывается
не равным ЭДС источника. Тогда, используя коэффициент несоответствия, можно вычислить токи во всех ветвях. Метод удобен в относительно простых схемах с последовательным или параллельным
соединением сопротивлений при наличии одного источника энергии.
28
ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ ПОСТОЯННОГО ТОКА
ЛЕКЦИЯ 2. ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА
Принцип взаимности основан на теореме взаимности: для любой линейной цепи ток в K-той ветви, вызванный источником ЭДС
в i-той ветви, будет равен току в i-той ветви, если источник E
= Ei
K
поместить в K-тую ветвь. Достаточно простое доказательство этой
теоремы объясняется тем, что в линейных цепях взаимные проводимости равны (GKi = GiK).
Анализируя эти и рассмотренные ранее методы расчета, можно
сделать следующие выводы:
1. Наиболее эффективными следует считать методы контурных
токов (МКТ) и узловых потенциалов (МУП). Методика расчета позволяет контролировать правильность подсчета коэффициентов в левой и правой частях уравнений непосредственно по схеме.
2. Метод эквивалентного генератора (МЭГ) рационален в тех случаях, когда необходимо вычислить ток только в одной ветви. Эффективность метода существенно возрастает, если изменяется значение
сопротивления (резистора) расчетной ветви, например при настройке каких-то параметров цепи.
3. Метод законов Кирхгофа относительно удобен при расчете простых схем с малым числом узлов и независимых контуров.
Контрольные вопросы:
1. Порядок расчета электрических цепей постоянного тока методом законов Кирхгофа. Достоинства и недостатки метода законов Кирхгофа.
2. Методика и основные преимущества метода контурных токов
при расчете линейных электрических цепей.
3. Особенности расчета электрических цепей методом узловых
потенциалов.
4. Порядок расчета электрических цепей методом наложения.
5. Условия применения метода эквивалентного генератора.
29
Лекция 3
A
ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ ПОКАЗАТЕЛИ
ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ ПОСТОЯННОГО ТОКА.
ПОНЯТИЕ О ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ДИАГРАММЕ
План лекции
3.1. Работа и мощность в цепи постоянного тока. Уравнение ба-
ланса мощностей.
3.2. Условие передачи приемнику максимальной энергии.
3.3. Понятие о потенциальной диаграмме.
3.1. Работа и мощность в цепи постоянного тока.
Уравнение баланса мощностей
При перемещении электрического заряда q через резистор силами электрического поля совершается работа A = q · U. Разность потенциалов на резисторе U определяет работу по переносу единичного заряда. Мощность или работа сил электрического поля за единицу
времени составит
P
где
в ваттах (Вт). В электроэнергетике единицей измерения работы или
электрической энергии служит киловатт-час (кВТ-ч), т. е. работы, совершаемой силами электрического поля при неизменной мощности
1 кВт в течение 1 часа. В практической деятельности могут применяться для измерения мощности мегаватты (МВт), а для электрической энергии — мегаватт · часы (МВт · ч).
q
— значение постоянного тока.
I
=
t
В системе СИ работа А измеряется в джоулях (Дж), а мощность —
tqt
UIU==Ч=Ч,
30
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]