Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теоретические основы электротехники. Курс лекций
.pdf
Лекция 14
КЛАССИЧЕСКИЙ МЕТОД РАСЧЕТА
ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ
В ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ
С ДВУМЯ НАКОПИТЕЛЯМИ ЭНЕРГИИ
План лекции
14.1. Характеристическое уравнение цепи и его корни.
14.2. Расчет переходного процесса для апериодического режима.
14.3. Особенности расчета переходного процесса для периодиче-
ского затухающего процесса.
14.4. Случай равных вещественных корней и решение переход-
ного процесса.
14.1. Характеристическое уравнение цепи и его корни
Рассмотрим схему с последовательным соединением R, L, C для
случая подключения ее к источнику постоянной ЭДС (рис. 14.1).
U
0
R
i
E
Рис. 14.1. Расчетная схема
L
C
–
+
Запишем комплекс входного сопротивления (относительно источника) и приравняем его к нулю
161
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ
1
ZRjL
=+ + =w
вх
jC
w
0.
Тогда, вводя условное соответствие jw r, можно записать урав-
нение
2
++
pC
=
0
ZpRpL
() ,=+ + =
вх
RpC p LC
11
pC
поэтому p2LC + pRC + 1 = 0.
Если принять коэффициент при p2 равным единице, то уравне-
ние примет следующий вид:
1
R
22
pp
LLC
020++= ++= или dw ,
pp
2
0
R
==2
где
LLC
dw,.
1
2
0
Решение уравнения
2
p
12
,
202
R
2
L
4
1
R
2
L
LC
.=- ± - =- ± -ddw
Полученное квадратное уравнение может иметь различные корни:
1. Корни p1 и p2 — действительные, отрицательные, разные, если
При этом
202
dw
=- + -d ,
P
1
или
2
R
4
L
2
R
4
L
1
LC
2
2
ж
а
1
LC
P
2>>>
R
з
з
и
=- - -d .
2
ц
L
.
ч
ч
C
ш
2
1
R
2
LC
4
L
Свободная составляющая имеет апериодический характер и опи-
сывается уравнением
pt p t
XtAeAe
() ,=+
своб
12
12
где А1 и А2 — постоянные интегрирования.
162
ЛЕКЦИЯ 14. КЛАССИЧЕСКИЙ МЕТОД РАСЧЕТА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ
В ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ С ДВУМЯ НАКОПИТЕЛЯМИ ЭНЕРГИИ
2. Корни p1 и p2 — действительные отрицательные и равные
(p1 = p2). Этот вариант на практике встречается относительно редко
и представляет собой предельный случай апериодического режима
ж
R
=
з
кр
з
и
L
2 .
C
ц
Из математики известно, что общее решение может
ч
ч
ш
быть представлено
X
(t) = (A1 + A2 · t)ept, где
своб
p
.
L=-2
R
Этот случай можно также привести к варианту 1, если после ре-
шения рассмотреть предел p1 ® p2.
3. Корни p1 и p2 — комплексные, сопряженные
ж
R
<
з
кр
з
и
L
2 .
C
ц
Сво-
ч
ч
ш
бодная составляющая имеет периодический, затухающий характер
и ее решение
–dt
· sin(wўt + b),
2
— угловая частота свободных колебаний;
2
где
22
ў
=-= -wwd
0
X
1
LC
своб
(t) = A · e
R
4
L
A и b — постоянные интегрирования.
Решение однородного уравнения будет определять характер переходного процесса в интервале времени t = 0 ё Ґ. Каждый вариант
расчета имеет свои особенности, поэтому необходимо рассмотреть их
отдельно. При этом расчет до коммутационного режима (при t = 0–),
а также при t = 0+ и установившихся значений будет совершенно
идентичен, независимо от корней характеристического уравнения.
14.2. Расчет переходного процесса
для апериодического режима
В качестве искомых величин использованы i(t), uC(t), uR(t), uL(t).
Предположим, что до коммутации конденсатор заряжен до зна-
чения U0 с указанной на рисунке полярностью.
163
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ
Решение. Воспользуемся предложенной ранее методикой расчета:
1. i(0–) = 0; u
(0–) = U0; uR(0–) = 0; uL(0–) = 0.
C
2. i(0+) = i(0–) = 0 и uС(0+) = uС(0–) = U0.
iR L
Ч+Ч + = =Ч ( ) и ( ).
3.
iRL
() () () ,000
4.
di
uEаiC
C
dt
+Ч + Ч + += += Ч
di
dt
uEiC
C
t
00
=+ =+
du
и
dt
C
б
du
C
t
dt
где i(0+) = 0, а uC(0+) = U0.
-
Тогда
uL
() ; ; .00
L
+= Ч = - =
di
ttCt
=+ =+ =+
dt
5. Если учесть, что при
di
EU
0
t
=Ґ = =
0
dt
du
C
=Ґ =Ґ
tt
dt
EULdu
0
00 и ,
0
di
dt
=
0
dt
то уравнения
п. 3 приобретут следующий вид:
du
iRu Ei C
уст уст уст
В этом случае i
= 0; u
уст
C
и Ч+ = =Ч ==Ґ0.
= E, u
C уст
R уст
dt
= 0, u
C
t
= 0.
Lуст
6. Так как корни p1 и p2 вещественные, разные и отрицательные,
то решение для свободной составляющей записываем в следующем
виде:
pt p t
XtAeAe
() .=+
своб
12
12
7. Общее решение относительно u
uC(t) = u
C уст
+ u
или uC(t) = E + A1e
C своб
C
После дифференцирования получим
du
C
=+
dt
pt pt
12
Ape A pE
11 2 2
164
p1t
+ A2e
p2t
.
.
ЛЕКЦИЯ 14. КЛАССИЧЕСКИЙ МЕТОД РАСЧЕТА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ
В ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ С ДВУМЯ НАКОПИТЕЛЯМИ ЭНЕРГИИ
Тогда для начального момента времени t = 0 оба уравнения
U EAAU
().0
м
п
н
п
о
=++ =
C
du
C
=+ =
=
t
0
dt
12 0
Ap Ap
11 22
0
Из совместного решения следует
EU p
-Ч
() ()
A
=-
2
01
pp
-
12
A
=
1
EU p
-Ч
02
pp
-
12
. и
Окончательно получим
ut E
()
C
ut E
C
()
-Ч
02
pp
-
12
EU pe pe
()( )
-Ч -
EU p
pt pt
e
Ч-
02 1
-Ч
12
pp
12
01
pp
-
12
pt pt
12
-
,=+
или
e
Ч
.=+
EU p
() ()
Законы изменения остальных искомых функций можно определить аналогично, либо воспользоваться известными законами и соотношениями. Во втором случае получим
it C
()
или
если учесть, что
dudtEU ppe ppe
()( )
C
it
Ч= =w .
pp
12 0
ut L
()
L
ut iR
()
R
-Ч -
012 12
pp
-
12
pt p t
EU e e
()( )
()
-Ч -
Lp p
1
2
12
0
()
Ч-
12
LC
()( )
-Ч -
EU pe pe
di
dt
01 2
-
pp
12
EU e e R
()( )
-Ч - Ч
165
pt p t
0
Lp p
()
Ч-
12
pt p t
12
C
,=Ч =
Ч
;=
pt pt
12
,=Ч =
12
.=Ч =
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ
Если принять U0 = 0, то в общем виде графики некоторых иско-
мых величин примут вид кривых, приведенных на рис. 14.2.
Кривая U
(t) будет монотонно возрастать до значения Е, а точка пе-
C
региба этой кривой приведет к появлению максимума в кривой тока.
Кривая UL(t) имеет максимальное значение i(t) в начальный момент
времени t = 0+, а затем происходит уменьшение до нуля и ниже. Кривая UR(t) имеет вид, аналогичный i(t), поэтому здесь не приводится.
Следует отметить, что для данного варианта корней имеют место
две постоянные времени
1
и
=
t
1
r
1
t
2
1
= ,
однако, очевидно, что
r
2
t1 > t2, поэтому за основу необходимо принимать время tnn » (3…5) · t.
uC, i, u
L
u
(t)
uL(t)
0
C
E
i(t)
t
Рис. 14.2. Графические зависимости
По результатам анализа этих зависимостей следует отметить, что
в наибольшей степени изменения функций происходят в интервале
от 0 до t, поэтому при построении графиков рекомендуется эту часть
временного интервала исследовать более тщательно, задаваясь значениями 0,05t; 0,1t; 0,2t и т. д.
Этот пример был рассмотрен для случая U0 = 0. Легко показать,
что для других значений начального напряжения на конденсаторе общие закономерности, рассмотренные выше, сохранятся, однако новые условия изменяют положение кривой UC(t), амплитуду тока i(t),
амплитуду напряжения на индуктивности UL(t) и т. п. Конечные значения (принужденные или установившиеся) сохраняются такими же.
166
ЛЕКЦИЯ 14. КЛАССИЧЕСКИЙ МЕТОД РАСЧЕТА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ
В ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ С ДВУМЯ НАКОПИТЕЛЯМИ ЭНЕРГИИ
14.3. Особенности расчета переходного процесса
для периодического затухающего процесса
В этом случае корни характеристического уравнения комплексно-
сопряженные p
= –d ± jwў, а свободная составляющая
1,2
X
своб
(t) = A · e
–dt
· sin(wўt + b).
Тогда общее решение напряжения на конденсаторе
uC(t) = u
C уст
+ u
C своб
= E + A · e
–dt
sin(wўt + b).
Для процесса постоянных интегрирования рекомендуется вычислить первую производную и решить совместно оба уравнения для начального момента времени, что и показано ниже
du
C
Ae t Ae t
=-Ч
dt
() sin( ) cos( ).dwbwwb
tt
--
dd
ў
++Ч
ўў
+
При t = 0+ = 0.
uEA U
() sin ;
0
м
п
н
п
о
=+Ч =
C
du
C
=- +Чў=
=
t
0
dt
AA
b
0
()sin cos .
db wb
0
Из решения следует, что в данном случае
b
=
ў
w
arctg a ,
db
-
UE
0
=
sin
.A
При рассмотрении затухающих процессов рекомендуется использовать числовые параметры цепи, так как анализ в общем виде затруднен, что следует, в том числе и из результатов приведенного расчета.
Если значения wў, d, U0 неизвестны, то получить какие-то зависимости для дальнейшего анализа не представляется возможным.
167
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ
При построении графиков возникает ряд проблем. За длитель-
ность переходного процесса принимается в первом приближении
величина
t
»Ч().35
п.п
…
1
d
Качественные графики для периодического затухающего процес-
са приведены на рис. 14.3.
uC(t), i(t)
u
(t)
C
E
i(t)
d
ў
T
Рис. 14.3. Графики зависимостей uC(t) и i(t)
Важную роль в переходных процессах такого типа играет, например d, который определяет степень затухания периодической функции. В литературе вводят также понятие «декремент колебания» (затухания), который оценивают по формуле
d
-
t
Xt
D=
своб
XtT
своб
()
=
ў
()
+
Ae t T
Ae t
ў
()
d
-+
tT
ў
sin( )
sin ( )
+
wb
+ў+
w
[]
1
==
ў
d
-
bb
T
e
ў
d
T
e
.
В некоторых случаях используют логарифмический декремент
колебания (затухания) ln D = dTў.
168
ЛЕКЦИЯ 14. КЛАССИЧЕСКИЙ МЕТОД РАСЧЕТА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ
В ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ С ДВУМЯ НАКОПИТЕЛЯМИ ЭНЕРГИИ
Определенные сложности в получении искомых зависимостей периодическом затухающем характере вынуждают использовать следующий прием: расчет переходного процесса проводят, предполагая,
что корни характеристического уравнения вещественные, а переход
к истинным корням выполняют после всех необходимых расчетов
и преобразований, используя известные формулы Эйлера. В частности, для цепи с двумя накопителями энергии переход от одной
формы корней к другой можно выполнить по следующим формулам:
где
b
=ўarctg .
ee
pt p t
12
pe pe
Ч-Ч
12
pp
-
12
pt p t
12
pe pe
Ч-Ч
21
pp
-
12
w
d
pt p t
12
-
pp
-
12
t
-d
e
=
ў
w
w
0
=-ўЧЧў-
w
w
0
=-ўЧЧў+
w
ў
t
wsin ;
Ч
-
d
t
sin( );
et
-
et
wb
d
t
wb
sin( ),
14.4. Случай равных вещественных корней
и решение переходного процесса
При равных корнях p1 = p2 = –d весь расчет проводят как для обычного апериодического режима, а после получения искомых параметров токов и напряжений переходят к реальным корням, используя
свойства предела, когда p1 ® p2. Однако, как уже отмечалось, этот
случай встречается на практике крайне редко
pt p t
12
ee
lim ,
®
pp
12
pe pe
lim ( ) ,
pp
®
12
-
pp
-
12
pt pt
12
-
12
pp
-
12
-
d
t
te
=Ч
1
te
=-d
d
t
-
169
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ
pt pt
12
pe pe
lim ( ) .
pp
®
pp
12
-
12
1
=- +d
-
21
te
d
t
-
Контрольные вопросы:
1. Пояснить особенности решения характеристического уравне-
ния применительно к характеру переходных процессов.
2. Методика определения постоянных интегрирования в зависи-
мости от характера переходных процессов.
3. Понятие о декременте колебания (затухания) и его параметрах.
170
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]