Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теоретические основы электротехники специальные методы расчета электромагнитных полей. Учебное пособие
.pdf
Министерство науки и высшего образования Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования
НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
Ю. В. ПЕТРЕНКО
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ
СПЕЦИАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПОЛЕЙ
Утверждено
Редакционно-издательским советом университета
в качестве учебного пособия
НОВОСИБИРСК
2025
УДК 621.3.011(075.8)
П303
Рецензенты:
канд. техн. наук, исполнительный директор
АО «ПФК Обновление» В. В. Гречкин
д-р техн. наук, профессор З. С. Темлякова
Работа подготовлена на кафедре теоретических основ электротехники
для студентов дневного и заочного отделений электротехнических
специальностей
Петренко Ю. В.
П303 Теоретические основы электротехники: специальные методы
расчета электромагнитных
полей: учебноe пособие / Ю. В. Пет-
ренко. – Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2025. – 67 с.
ISBN 978-5-7782-5433-6
В учебном пособии представлен теоретический материал, связанный с анализом стационарного электрического и магнитного поля, поля
токов в проводящих средах, в том числе вблизи плоских границ с различными характеристиками, а также рассмотрены некоторые нестандартные способы решения ряда практических задач теории поля.
Пособие будет полезно студентам электротехнических специальностей, а
также аспирантам и инженерно-техническим работникам
УДК 621.3.011(075.8)
ISBN 978-5-7782-5433-6 © Петренко Ю. В., 2025
© Новосибирский государственный
технический университет, 2025
ВВЕДЕНИЕ
Курс «Теоретические основы электротехники» (ТОЭ) является одной из основных базовых дисциплин, необходимых для подготовки
специалистов технических направлений. Качественное изучение фундаментальных вопросов теории, которые включает в себя курс ТОЭ,
навыков, получаемых при решении задач, является необходимым
условием для успешного освоения основных дисциплин инженерных
специальностей электротехнического вуза.
Предлагаемое пособие входит в
ных и разрабатываемых в настоящее время преподавателями кафедры
ТОЭ. Основная цель этих пособий – помощь студентам в углублении
знаний в области теории электромагнитных явлений в электротехнических устройствах и приобретения навыков самостоятельной работы.
Настоящее учебное пособие содержит довольно большой материал
по теории электричества и магнетизма, магнитному полю,
скому полю, полю токов в проводящих средах. Пособие позволяет студентам самостоятельно овладеть теоретическим материалом, а также
методами расчета и анализа электромагнитных полей, необходимых
для определения параметров электротехнических устройств.
комплект учебных пособий, издан-
электриче-
В
1. МЕТОД НАЛОЖЕНИЯ В МАГНИТОСТАТИКЕ
ЗАКОН БИО–САВАРА–ЛАПЛАСА
Известно, что в электростатическом поле любое заряженное тело
можно представить как совокупность точечных зарядов и найти
напряженность этого поля отдельно от каждого заряда. Результирующую напряженность определяют как векторную сумму напряженностей от каждого заряда. Подобный подход желательно распространить
и на стационарное магнитное поле хотя бы для
с током. Помочь в этом может закон Био–Савара–Лапласа, который
позволяет при наличии линейных проводников с током производить
расчет непосредственно вектора магнитной индукции
женности магнитного поля
Известно, что для определения векторного потенциала в произвольной точке пространства используют уравнение
.
H
линейных проводников
либо напря-
,
Возьмем операцию rot от выражения (1.1)
В связи с тем что операция rot берется по точке наблюдения, ее
можно внести под знак интеграла:
∫
4
V
ʈ
B
=
B
=
id
rot .
Á˜
4
˯
id
rot .
Ú
4
4
.
(1.1)
r
Ú
ʈ
Á˜
˯
(1.2)
r
(1.3)
r
dv
А
È ˘
x
dr
¥
ʈ
d
Если расписать
уравнение закона Био–Савара–Лапласа
Закон Био–Савара–Лапласа, записанный для вектора индукции или
напряженности магнитного поля, удобно применять для замкнутых
контуров, которые достаточно просто описываются аналитически в той
или иной системе координат. Этот закон в сочетании с методом наложения применяется также для бесконечно длинных проводников или
для контуров в виде окружности. Аналитически точное
чается только для некоторых частных случаев (например, для определения напряженности на оси витка или на линии, проходящей через
середину линейного проводника). В других случаях решение получается в виде бесконечных рядов либо в специальных функциях. В качестве примера рассмотрим задачу определения напряженности магнитного поля на оси
Проведем через центр витка ось z и выберем на ней произвольную
точку
по которому протекает ток
в точке m на оси витка определится в виде
пути, соединяющего точку m и элемент
с координатой .z На окружности витка выберем элемент d,
m
rot
Á˜
r
˯
кругового витка, обтекаемого током (см. рисунок).
Î ˚
=
=
B
=
H
i
и подставить в (1.3), то получим
3
r
È ˘
¥
dr
i
Î ˚
Ú
4
È ˘
dr
i
Î ˚
Ú
4
. Напряженность магнитного поля
(1.4)
,
3
r
¥
.
(1.5)
3
r
решение полу-
– единичный вектор по
(r
)d
dH
[]
id r
¥
dH
Из геометрических соображений (см. рисунок) можно заключить,
что в точке m на оси, проходящей через центр витка,
ненты вектора напряженности магнитного поля взаимно уничтожаются,
=
4
5
.
(1.6)
2
r
dH
– компо-
a
i
Круговой виток с током i
и на оси z присутствует только вектор
ношения (1.6) необходимо учесть, что
лярны,
drd=
, а sin определяется как
sin .
dH
. При использовании соот-
z
r
и d взаимно перпендику-
a
= (1.7)
r
Тогда, учитывая сказанное выше, найдем модуль вектора
в виде
iad i ad a
dH
==
z
sin .
2
44
r
22
()
az
+
(1.8)
r
Полная напряженность магнитного поля на оси z витка с током i
при учете (1.8) определится как
22
HH dHd
== = =
zz
ÚÚ
00
22
ia d ia
223
az
4( )
+
223/2
az
2( )
+
.
dH
z
(1.9)
6
2. ЭЛЕКТРОСТАТИКА
МЕТОД ЗЕРКАЛЬНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ
В ЭЛЕКТРОСТАТИКЕ
Рассмотрим еще один класс задач, где необходимо рассчитать поле
зарядов, расположенных в диэлектрике, находящихся рядом с проводящей средой. Такие задачи решаются особым методом, который носит
название метода зеркальных отображений. Как правило, этот метод применяется при расчете электромагнитных полей и параметров системы
«заряд – проводящая среда». Особенно широко используется он, когда
граница между диэлектриком с находящимися в нем зарядами – плоская
(например, как на рис. 2.1).
Непосредственное решение этой
задачи (рис. 2.1) не представляется
возможным, так как вследствие электростатической индукции на проводящей поверхности будет наведен
заряд
ческого поля в системе «заряд – проводящая среда» методом зеркальных отображений заключается в размещении дополнительных зарядов,
величина и расположение которых определяются теоремой единственности: суть ее заключается в том, что полученные решения должны
удовлетворять основным уравнениям электростатики и граничным
условиям рассматриваемой задачи.
смотрим некоторую расчетную схему расположения зарядов, которую
получим, отобразив верхнюю полуплоскость с диэлектриком вниз, заменив проводящую среду диэлектриком с той же диэлектрической
проницаемостью, что и вверху. Затем в нижней полуплоскости, которая теперь является диэлектриком, зеркально (геометрически) относительно раздела сред поместим дополнительный заряд
расчетную модель рис. 2.2.
с неизвестным законом распределения. Расчет электростати-
Для определения
величины и знака дополнительного заряда рас-
Рис. 2.1. Заряженная сфера
над проводящей поверхностью
h
. Получим
q
1
q
7
q
E
E
r
1
М
h
0
0
h
q
Рис. 2.2. Расчетная модель заряда
над проводящей поверхностью
r
2
1
В расчетной модели рис. 2.2 найдем величину заряда
разом, чтобы выполнялись граничные условия в исходной задаче
(рис. 2.1). Ранее нами рассматривались граничные условия подобных
задач электростатики [11], в которых утверждалось, что на границе
проводящих тел отсутствует касательная компонента вектора напряженности электрического поля. В расчетной модели (рис. 2.2) напряженность электрического поля создается двумя зарядами: заданным q
и отраженным
Касательная компонента вектора напряженности электрического
поля в произвольной точке пространства М от заряда
Касательная компонента вектора напряженности электростатического поля в этой же точке М от заряда
.
q
1
q
q
01
q
1
02
8
2
r
2
r
sin .
sin .
=
q
4
=
q
2
4
(2.1)
e
q
1
(2.2)
e
таким об-
q
1
имеет вид
Результирующая напряженность от двух зарядов в точке М
qe q e
=+ = +
EE E
qq
1
sin sin .
22
44
rr
01 02
1
(2.3)
Поместим точку М на границу раздела сред. Если точка М будет находиться на границе раздела сред, то
и
и в соответствии с граничными условиями будет отсутствовать
, а также будут равны углы
rr=
12
касательная компонента вектора напряженности электростатического
поля, т. е.
qe q e
sin sin 0.
22
44
rr
01 02
1
+=
(2.4)
Из (2.4) следует, что
qq=-
1
. Таким образом, чтобы получить рас-
четную картину для исследования поля заряда над проводящей поверхностью, необходимо разместить равновеликий отрицательный
заряд симметрично границе раздела сред в диэлектрике, заменяющем
проводящую среду. Дополнительным доказательством этой возможности может служить картина поля верхней полуплоскости
расчетной модели (рис. 2.3), которая полностью совпадает с исходной (рис. 2.4).
q
0
0
–q
Рис. 2.3. Картина поля расчетной
модели
9
q
Рис. 2.4. Исходная картина поля
Определим вид расчетной модели при более
сложных конфигурациях проводящей среды,
например, при расположении линейного заряда
h
1
h
2
внутри прямоугольного угла, образованного
двумя бесконечно длинными проводящими
плоскостями (рис. 2.5).
Расчетную модель системы рис. 2.5 будем
создавать в следующем порядке. Вначале отра-
Рис. 2.5. Проводящий
угол с зарядом τ
зим зеркально заряд относительно вертикальной стенки проводящего угла. Получим модель
рис. 2.6.
h
1
h
1
h
2
0
Рис. 2.6. Расчетная модель заряда относительно
вертикальной стенки угла
Далее отразим получившуюся систему зарядов относительно гори-
зонтальной границы раздела двух сред (рис. 2.7)
В общем случае можно отметить, что общее количество зарядов
в проводящем угле можно определить по простой формуле
10
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]