Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теоретические основы электротехники специальные методы расчета электромагнитных полей. Учебное пособие
.pdf
E
Е
Рис. 4.7. Квазилинейный проводник
Преобразуем выражение (4.19). Ток di, пронизывающий пло-
ds
щадку
, определится в виде
Если
– удельное сопротивление проводящей среды, то сопротив-
.di ds= (4.20)
ление квазилинейного проводника найдем как
dl
R
.
= (4.21)
ds
Тогда напряжение, приложенное к трубке длиной
dl
du ds dl
ds
.
Приравняв выражения (4.18) и (4.22), получим
Сократив
dl в выражении (4.23), получим формулу закона Ома в
(4.23)
=
.dl Edl
дифференциальной форме:
,
или в более привычной форме
dl
(см. рис. 4.7):
(4.22)
.
= (4.24)
41
Если исследуемая среда будет активной
Е
Е
Е
(0)Е π
чае закон Ома запишется в обобщенной форме:
стор
, то в этом слу-
ЕЕ
=+
q
.
(4.25)
стор
4.7. ИНТЕГРАЛЬНАЯ ФОРМА
ОБОБЩЕННОГО ЗАКОНА ОМА
В стационарном поле тока со сторонней напряженностью выберем
некоторый путь ℓ (рис. 4.8) от точки 1 к точке 2 и проинтегрируем левые и правые части уравнения (4.25):
2
dl
=
.
(4.26)
q
Е
Е
q
1
стор
dl
2
Рис. 4.8. Путь ℓ в стационарном
поле тока
Ú
1( )
22
=+
ÚÚ
1( ) 1( )
Проанализируем выражение (4.26).
Первое слагаемое в правой части этого
dl Е dl
стор
уравнения есть ЭДС на участке 1–2 по пути ℓ, а второе слагаемое равно
напряжению между точками 1 и 2 и не зависит от пути интегрирования. Таким образом, имеем
2
Ú
1( )
=+
12 12
.dl U
(4.27)
Рассмотрим, как можно использовать этот закон для случая квазилинейного проводника. Под квазилинейным проводником понимают
такой, для которого с большой степенью точности можно считать, что
векторы
,
Е , направлены вдоль его оси. На практике такими
q
стор
можно считать провода с очень маленьким сечением.
42
Запишем для проводника (рис. 4.9) обобщенный закон Ома и пре-
Е
образуем его левую часть:
22 2 2
dl dl i i dR iR
ÚÚ Ú Ú
1( ) 1( ) 1( ) 1( )
====
ds dl
ds ds
.
(4.28)
12
E
стор
E
q
i
ds
1
Рис. 4.9. Квазилинейный проводник
ℓ
2
Учитывая полученное выражение и правую часть (4.27), будем
иметь
◊ =+
12 12 12
.iR U
(4.29)
Выражение (4.29) можно использовать и для расчета электрической
цепи с сосредоточенными параметрами, например (рис. 4.10).
Рис. 4.10. Электрическая цепь с сосредоточен-
ными параметрами
Электрический ток, протекающий по участкам цепи рис. 4.10, может быть найден по уравнению (4.29), которое в технической литературе носит название обобщенного закона Ома:
UE
12 12
i
12
R
.
(4.30)
12
43
4.8. ВТОРОЙ ЗАКОН КИРХГОФА
Е
Е
В ИНТЕГРАЛЬНОЙ ФОРМЕ
Если в активной проводящей среде выбрать замкнутый контур
(рис. 4.11) и проинтегрировать выражение (4.25) по этому контуру, то
получим
E
стор
dl
E
q
н.о.
Рис. 4.11. Замкнутый контур
в проводящей среде
уравнения (4.31) обозначает циркуляцию кулоновской составляющей вектора
и, следовательно, равно нулю, поэтому
получим
dl
=+
ÚÚ Ú
ll l
Второе слагаемое в правой части
Е поля по замкнутому контуру
dl Е dl
стор
q
(4.31)
.
Выражение (4.32) – это математическая запись второго закона
Кирхгофа.
Выберем в поле тока в проводящей среде замкнутый контур, состоящий из нескольких участков в виде квазилинейных проводников
(рис. 4.12), и запишем для него уравнение (4.32).
1
dl
Рис. 4.12. Контур из квазилинейных
dl
=
ÚÚ
ll
E
стор1
1
dl
н.о.
E
стор3
3
проводников
44
стор
(4.32)
.
dl
2
2
E
стор2
dl
3
Запишем на участке 1–2 контура напряжение в виде
R
R
R
Е
Е
2
=±
Ú
1
(4.33)
.dl i R
12 12
где
– сопротивление квазилинейного проводника на пути 1–2.
12
Тогда обходя контур в направлении стрелки (рис. 4.12) и учитывая,
что если
dl и совпадают по направлению, то их скалярное произве-
дение положительно, если они направлены противоположно – то отрицательно, получим
112 2 23 3 31 1 2 3
.iR i R iR E E E+-=-+- (4.34)
Если ввести графическое обозначение сопротивлений и ЭДС, то
уравнению (4.34) будет соответствовать электрическая цепь с сосредоточенными параметрами, в которой
сопротивлениям ветвей, точки 1, 2, 3 – узлам электрической цепи,
,Е
– источники энергии.
2
3
12
,R
,
23
соответствуют
31
1
2
I
1
R
12
E
1
Н.О.
2
R
23
E
2
1
E
R
I
31
3
3
3
,
Рис. 4.13. Контур цепи с сосредото-
ченными параметрами
Для контура рис. 4.13 второй закон Кирхгофа может быть сформулирован следующим образом:
в замкнутом контуре алгебраическая сум-
ма напряжений на элементах контура равна алгебраической сумме ЭДС.
45
5. МЕТОД ЗЕРКАЛЬНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ
R
ПРИ РАСЧЕТЕ ПОЛЕЙ ТОКОВ
В ПРОВОДЯЩЕЙ СРЕДЕ
5.1. ТЕОРИЯ РАСЧЕТА ЗАЗЕМЛЯЮЩИХ УСТРОЙСТВ
Как известно, заземляющее устройство, являющееся неотъемлемой
частью любой электроустановки, должно обеспечивать надежную защиту персонала от поражения электрическим током. Одной из важных
характеристик заземляющего устройства является величина сопротивления растеканию электрического тока в земле. Эта величина строго
регламентируется правилами устройства электроустановок (ПУЭ).
Однако как подтвердила практика, для обеспечения полной безопасности
работающего и обслуживающего персонала необходимо вводить
дополнительные требования к заземляющим устройствам, основанные
на расчете электрического поля в проводящей среде. В качестве таких
характеристик могли быть оговоренные величины шагового
напряжения и напряжения прикосновения
()U .
пр
Расчет параметров заземляющего устройства ведется, как правило,
в предположении, что само устройство находится в однородном грунте, а второй электрод есть сфера бесконечного радиуса, в центре которой и находится заземляющее устройство. Решение такой задачи требует решения уравнения Лапласа для трехмерного пространства или,
другими словами, трехмерной задачи Дирихле. Точное
аналитическое
решение этой задачи практически неосуществимо и может быть выполнено только для одиночных заземлителей простейших конфигураций с учетом принятых допущений. Рассмотрим расчет одиночных
заземлителей простейших конфигураций
()U
ш
5.2. РАСЧЕТ ПОЛЯ СФЕРИЧЕСКОГО ЗАЗЕМЛИТЕЛЯ
Пусть сферический заземлитель радиусом
ный грунт проводимостью
на глубину d (рис. 5.1).
помещен в однород-
0
Расчет будем вести методом зеркальных изображений. Пользуясь
аналогией электростатического поля и поля тока в проводящей среде,
изобразим расчетную модель заземлителя (рис. 5.2).
46
Рис. 5.1. Простейший сферический
заземлитель
I
0
d
2R
0
I
d
d
Рис. 5.2. Расчетная модель заземляющего
устройства
Для расчета сопротивления заземляющего устройства применим
метод наложения. Будем считать, что проводящая сфера, представляющая собой заземляющее устройство, находится в однородной изотропной среде бесконечного радиуса, имеющей проводимость
тим нижний (на расчетной модели) заземлитель сферической
поверхностью произвольного радиуса
с центром сферического заземлителя (рис. 5.2). Плотность тока в произвольной точке
М на поверхности сферы произвольного радиуса r
=
М
x
r
I
I
4
1
r, центр которой совпадает
е
.
(5.1)
r
2
r
M
E
x
E
1
. Охва-
47
Напряженность электрического поля в этой же точке
Е
E
ʈ
˯
ʈ
˯
ʈ
˯
М
I
=
4
Потенциал электрического поля в точке
(5.2)
.
е
r
2
r
М проводящего пространства
будет иметь вид
M
dr C
=- =- = +
ÚÚ
rr
Idr I
2
4
r
4
Запишем граничное условие для потенциала. Пусть при
тогда постоянная
точки
М от одного сферического заземлителя приобретет вид
Потенциал в точке
С будет равна нулю и выражение для потенциала
I
=
M
.
(5.4)
4
r
М в проводящей среде от заземлителя и от его
(5.3)
.
r
r 0 = ,
зеркального отображения найдем методом наложения и запишем как
rr
M
44 4
rr rr
12 12
III
=+=
Потенциал заземлителя найдем, поместив точку
III
=+=
з
44242
Rd Rd
00
+
12
Á˜
.
(5.5)
◊
М на поверхность сферы:
2
dR
+
0
.
Á˜
(5.6)
Сопротивление заземляющего устройства определим как
Тогда сопротивление заземлителя определится по соотношению (5.6)
с учетом (5.7) в виде
U
R
зз з
== =
з
III
R
=
з
-
•
dR
+
2
1
Á˜
42
48
Rd
0
.
(5.7)
0
.
(5.8)
Шаговое напряжение определяется на поверхности земли на рас-
I
I
стоянии шага человека, при этом величина шага будет равна
0,7 мxD=D ª
ш
(рис. 5.3).
d
d
r
x
M
r
Рис. 5.3. Расчет шагового напряжения
Поместим точку М на поверхность земли на расстоянии х от точки
погружения заземлителя, тогда потенциал точки
2
I
22
dx
+
=
M
Шаговое напряжение на поверхности земли на расстоянии Δ
U
=-
ш
II
22 2 2
22()
dx d xx
+++D
Найдем величину шагового напряжения на расстоянии 1 м от точки
расположения заземлителя, если ток короткого замыкания равен 100 А.
Проводимость грунта (в среднем) равна
ние шага
глубину
0,7 мхD= , сферический заземлитель погружен в грунт на
1 м:d =
М будет
.
(5.9)
х
.
(5.10)
1
4
-
16 10
= ◊
◊
Ом м
, расстоя-
U
=ª
ш
21610 11,7
◊◊ ◊ +
100
-
42 2
49
5043 B.
(5.11)
Из (5.11) можно заключить, что напряжения, возникающие на поверх-
ности земли в режимах короткого замыкания электроустановок на землю, представляют очень большую опасность для обслуживающего
персонала. Определим размеры одиночного сферического заземлителя
при указанной выше проводимости грунта, глубине погружения
и с учетом требований ПУЭ. Согласно этим требованиям сопротивление
заземляющих устройств в сетях напряжением
до 600 В в любое время
года не должно превышать 4 Ом. Исходя из приведенных параметров
радиус сферического заземлителя найдем из квадратного уравнения:
ʈ
2
RR R d R
+ ◊ --=
з 0 з 0
Á˜
˯
12
20.
24
Обозначив выражение в скобке коэффициентом
2
2
RR AR
+-=
з 00
d
4
d
(5.12)
А, будем иметь
0.
(5.13)
Тогда радиус сферического заземлителя найдем в виде
2
AA Rd
-± -
R
=
0
4/
2
R
з
з
.
(5.14)
При приведенных выше размерах и проводимости грунта радиус одиночного заземляющего устройства составляет
0
, что делает
23 мR ª
изготовление такого заземлителя абсолютно нереальным.
5.3. ИССЛЕДОВАНИЕ ПОЛЯ
МНОГОЭЛЕМЕНТНОГО ЗАЗЕМЛИТЕЛЯ
Более рационально размещение цилиндрического заземлителя
в виде металлического стержня, погруженного вертикально в грунт.
Длина такого стержня может достигать 2…3 м и более, и тем не менее
погружение его в грунт на такую глубину не представляет особых проблем. Однако при погружении металлического стержня на такую глубину в проводящий грунт ток, стекающий
с его поверхности, крайне
неравномерно распределен по его длине, при этом закон распределения тока неизвестен. Последнее обстоятельство делает расчет сопро-
50
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]