Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теоретические основы электротехники специальные методы расчета электромагнитных полей. Учебное пособие
.pdf
При этом учтем, что интегрирование идет при постоянном радиусе,
B
B
т. е напряженность магнитного поля является величиной постоянной
и ее можно вынести за знак интеграла. Тогда получим
00
ÚÚ
===◊ =
00 0
ÚÚ
= ◊ =
0
cos 0 2 .Hd H d B r I
cos( )Hd Hd H d
(3.33)
Выражение (3.33) позволяет найти вектор индукции в окружающем
провод пространстве в виде
I
.
= (3.34)
e
0
2
r
Подставим выражение (2.34) в формулу (3.32). Тогда будем иметь
r
2
Idr I
Ф (ln ln )
ds r r
= ◊ ==-=
ÚÚ
Sr
0021
22
r
1
r
I
2
ln .
= (3.35)
0
2
r
1
Полученную формулу (3.35) будем использовать для расчета магнитного потока, пронизывающего площадь второй линии для расчетных моделей рис. 3.10 и 3.11. Рассмотрим расчет поля по расчетной
модели рис. 3.10 методом наложения отдельно от проводников
I
с током
и током
I
1
¢
. Формально расчет потока для тока I не будет
1
отличаться от ранее рассмотренного случая и можно воспользоваться
формулой (3.35) с соответствующей заменой магнитной проницаемости и радиусов. Тогда поток через рамку, образованную второй линией
в среде с магнитной проницаемостью
от тока
1
(см. рис. 3.10), бу-
I
1
дет иметь вид
Ir
=
31
12
2
(3.36)
r
1
Ф ln .
11
Для определения второй составляющей магнитного потока
I
¢
ходимо сначала найти величину фиктивного тока
, которая будет
1
Ф
необ-
2
равна
-
21
=
Ток
I
в соответствии с принятыми допущениями, будет иметь
¢
1
¢
11
направление, противоположное току
.II
(3.37)
+
21
. Магнитный поток
I
1
опреде-
Ф
2
лится в следующем виде:
r
¢
I
3
Ф ln .
21
Если учесть направление токов, то суммарный магнитный поток
1
=
2
(3.38)
r
4
Ф
в
пронизывающий верхнюю часть линии найдется как разность магнитных потоков
и
Ф
1
:
Ф
2
¢
Ir I
=-= - (3.39)
ФФФ ln ln .
в 121 1
12 1
22
rr
14
r
3
,
Найдем магнитный поток
Ф
, пронизывающий нижнюю часть второй
н
двухпроводной линии. Эту часть общего магнитного потока будем искать, используя расчетную модель, показанную на рис. 3.11, предварительно определив величину тока
Тогда магнитный поток
11
Ф , пронизывающий нижнюю часть второй
н
по соотношению
I ¢¢
1
2
=¢¢
1
+
21
.II
(3.40)
двухпроводной линии, определится в виде
II
¢¢
Ф ln ln .
н 1
111
==
22
Направление магнитного потока
магнитного потока
. Определим полный магнитный поток, который
Ф
в
rr
55
rr
6216
2
(3.41)
+
совпадает с направлением
Ф
н
пронизывает вторую линию:
32
¢
Ir I
=+= - +
ФФ Ф ln ln
вн11
12 1
22
rr
14
r
3
2
Ir
11
+
2
+
216
r
5
(3.42)
ln .
Найдем потокосцепление двухпроводной линии, учитывая, что количество витков линии
= 1. Тогда взаимная индуктивность двух
W
л
двухпроводных линий, находящихся в различных средах, определится
как
=== - +
M
12 1 1
Ф
12 2 2 1 1
II r r
11 1 21 4
11
+
2
r
ln ln
22
2
ln .
+
216
-
3
+
r
5
r
r
Подставим геометрические размеры, упростим полученное выражение и найдем взаимную индуктивность двух двухпроводных линий
на единицу длины:
ϸ
ÔÔ
M
12
11 21
=- +
0
Ì ˝
2
ÔÔ
Ó ˛
22
+-
hd
hh d h d
()
22 22
++ +
13 3 2
+
21
()
hh d
32
ln
22
++
ϸ
2
ÔÔ
11 2
+
Ì ˝
2
ÔÔ
Ó ˛
ln .
+
21
22
hd
+
22
-+
()
hh d
23
(3.43)
33
4. СТАЦИОНАРНОЕ ПОЛЕ ТОКОВ
В ПРОВОДЯЩЕЙ СРЕДЕ
Согласно современным представлениям атомы всех тел построены
из электрически заряженных частиц, так называемых электронов,
имеющих малый атомный вес и заряженных отрицательным зарядом,
и более тяжелых частиц – атомных ядер, имеющих положительный
заряд.
Твердые тела (к которым относится и проводящая среда) электрически нейтральны, потому что отрицательный заряд электронов равен
положительному заряду входящих
в этих телах всегда имеются электроны, весьма слабо связанные с
атомным ядром, или свободные электроны.
Если в проводящей среде создать кулоновское поле, то под воздействием сил этого поля свободные электроны начнут упорядоченно перемещаться, создавая в проводящем теле ток проводимости. Если по
каким-
либо причинам кулоновское поле исчезнет, электроны начнут
перемещаться хаотически и в среднем никакого тока создать не могут.
При наличии внешнего поля сечение проводника на каком-либо его
участке за время
t в определенном направлении пронизывается неко-
торым количеством заряда.
Направленное движение электрических зарядов называется электрическим током. Количественно ток, или силу тока, определяют в виде предела отношения заряда Δ
щадку
S, к величине этого времени, когда Δt → 0.
в эти тела атомных ядер. Однако
q, прошедшего за время Δt через пло-
i
t
Æ
(4.1)
t
0
q
lim ,
=
или
dq
.
= (4.2)
i
dt
Ток измеряется в амперах [A], и эта величина скалярная. Если ток не
изменяется во времени, он называется постоянным. Поля, созданные
такими токами, называются стационарными.
34
4.1. ЭЛЕКТРОДВИЖУЩАЯ СИЛА (ЭДС)
_
Под воздействием кулоновского поля электрический ток не может
протекать бесконечно долго. Это связано с тем, что при перемещении
зарядов теряется часть энергии, которая рассеивается в пространстве в
виде джоулевого тепла и в точности равна убыли энергии кулоновского поля. Так как при изменении энергии поля изменяются напряженности кулоновских полей, а
следовательно, и силы, действующие на заряды, то ток не может быть неизменным во времени (например разряд
конденсатора). В связи с этим для поддержания стационарного режима
требуются какие-то другие силы, но не кулоновского происхождения.
Эти силы принято называть сторонними (обозначаются «стор.») Сторонние силы, как и кулоновские, характеризуют с
помощью вектора
сторонней напряженности поля:
стор 0cтор
.FqE=
(4.3)
Примером сторонних сил могут служить силы химического, теплового
и другого происхождения. Выберем в стороннем поле некоторый
путь
L (рис. 4.1) и определим работу сил поля на пути от точки А
к точке
В:
B
AqEdl
=
() 0 стор
Ú
A
__
(4.4)
.
E
стор
А
dl
В
Рис. 4.1. Расчет электродвижущей
силы поля токов
Интеграл в последнем выражении (4.4) и определяет ЭДС на участ-
ке между точками
А и В по пути L, т. е.
B
eEdl=
стор
Ú
A
.
35
4.2. ЭДС ЗАМКНУТОГО КОНТУРА
E
E
_
Е
Е
Е
E
Е
L
Р
ур
Пусть в исследуемом объеме проводящей среды существует куло-
новская и сторонняя напряженность поля.
EE (4.5)
стор
.
q
Выберем в рассматриваемом поле
Eq
E
стор
dl
некоторый замкнутый контур
и составим циркуляцию вектора напря-
женности электрического поля
L (рис. 4.2)
по
этому контуру.
_
ис. 4.2. Расчет ЭДС замкнутого
а
конт
()
Ú
=+
ÚÚ
Е dl
+=
стор
стор
q
dl Е dl
.
(4.6)
q
Рассмотрим выражение (4.6). Так как в кулоновском поле циркуляция вектора напряженности по замкнутому контура равна нулю, то
второй интеграл выражения (4.6) будет равен нулю, т. е.
Edl
Ú
0.
=
q
(4.7)
Тогда из (4.6) следует, что ЭДС замкнутого контура определится выражением
.Edl
стор
dl е
(4.8)
==
ÚÚ
Таким образом, в стационарном поле тока при наличии в нем сторонних источников циркуляция вектора
по замкнутому контуру равна
ЭДС этого контура. Итак, ЭДС замкнутого контура в стационарном
поле токов имеет вид
.
стор
dl е
36
∫
4.3. ВЕКТОР ПЛОТНОСТИ ТОКА
Одним из важнейших понятий, используемых при исследовании
поля токов в проводящей среде, является понятие о векторе плотности
тока. Рассмотрим некоторую проводящую среду, занятую стационарным полем тока. Если в стационарном поле тока выбрать площадку
ds,
то ток, пронизывающий эту площадку, будет зависеть от ее ориентации в пространстве. Так, если заряженные частицы будут двигаться по
касательной к этой площадке, то ток, пронизывающий эту площадку,
будет равен нулю. Если же площадка ориентирована перпендикулярно, то она будет пронизываться максимальным током
(рис. 4.3).
Таким образом, под вектором
плотности тока понимается вектор, направленный в данной точке в сторону движения
заряженных частиц и по модулю равный
пределу отношения максимального тока,
пронизывающего площадку
ds, к величине этой площадки, когда ее
Рис. 4.3. Определение
плотности тока
площадь стремится к нулю:
di
max
= (4.9)
ds
.
n
0
Подобно силовым линиям в электростатическом поле, в поле токов
в проводящей среде существуют линии плотности тока (рис. 4.4). Будем считать, что
линией вектора плотности тока называется кривая,
касательная в каждой точке к которой совпадает по направлению с
вектором плотности тока.
Линия плотности
тока
Рис. 4.4. Линии вектора плотности тока
37
4.4. РАСЧЕТ ВЕЛИЧИНЫ ТОКА
ПО ЗАДАННОМУ РАСПРЕДЕЛЕНИЮ ПЛОТНОСТИ ТОКА
Выберем в поле тока некоторую поверхность. Очевидно, что уча-
сток этой поверхности
S пронизывается лишь нормальной составляю-
щей вектора плотности тока (рис. 4.5).
i
S
Рис. 4.5. Расчет плотности тока
ds
ds
n
n
0
Найдем нормальную к поверхности составляющую вектора напря-
женности электрического поля
cos .
=
n
Тогда ток, пронизывающий площадку
ds
, определим так:
cos .di ds= (4.10)
При определении тока обычно вводят в рассмотрение вектор
направленный по нормали к площадке
ds
и равный ей по модулю. То-
гда выражение (4.10) приобретет вид
Полный ток
i, пронизывающий поверхность S, с учетом (4.11) за-
.di ds=
(4.11)
пишется как
ids=
.
(4.12)
Ú
S
ds
,
Анализируя (4.12), можно утверждать, что ток
верхность
S, равен потоку вектора плотности тока через эту поверхность.
38
, пронизывающий по-
i
4.5. ПЕРВЫЙ ЗАКОН КИРХГОФА
Р
В ИНТЕГРАЛЬНОЙ ФОРМЕ
Рассмотрим в поле токов в проводящей среде некоторую замкну-
тую поверхность
Определим ток, пронизывающий эту поверхность:
s
ис. 4.6. Ток, протекающий
сквозь замкнутую поверх ность S
Так как в стационарном поле тока заряд не может скапливаться где
бы то ни было (в противном случае процесс становится нестационарным), то
S, ограничивающую объем V (рис. 4.6).
V
q
Очевидно, что ток, пронизывающий
замкнутую поверхность, определяется скоростью убывания заряда, находящегося
в объеме, ограниченном поверхностью
(рис. 4.6):
Ú
S
ds dv
=- =-
ÚÚ
SS
0.
ds=
(4.15)
ds i=
Ú
S
dq d
dt dt
.
(4.13)
(4.14)
.
S
Выражение (4.15) и есть математическая запись первого закона
Кирхгофа и интегральной форме, который гласит:
плотности тока через любую замкнутую поверхность равен нулю.
Первый закон Кирхгофа может быть сформулирован и иначе:
алгебраическая сумма токов, пронизывающих любую замкнутую поверхность, равна нулю.
Выведенный нами и полученный первый закон Кирхгофа широко
используют в электрических цепях постоянного и переменного тока.
Если место соединения нескольких проводников электрической цепи
(узел) охватить замкнутой поверхностью, то закон Кирхгофа будет
звучать следующим образом:
узле электрической цепи равна нулю.
алгебраическая сумма токов в любом
39
поток вектора
Первый закон Кирхгофа может быть записан и в дифференциаль-
Е
Е
ной форме. Если к уравнению (4.15) применить теорему Остроградского–Гаусса, то получим
div 0.
ds dv
Из ( 4.16) будем иметь
==
ÚÚ
Sv
(4.16)
Выражение (4.17) и есть математическая формула первого закона
Кирхгофа в дифференциальной форме.
4.6. ЗАКОН ОМА В ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ФОРМЕ
Пусть в исследуемом поле отсутствуют сторонние источники поля,
т. е. исследуемая среда пассивна. Тогда в поле токов присутствует
только кулоновская составляющая
Выберем в исследуемом поле элементарную трубчатую поверхность таким образом, чтобы касательная в каждой ее точке совпадала
по направлению с вектором плотности тока
В этом случае утечка тока через боковую поверхность трубки
(рис. 4.7) будет отсутствовать, поэтому любое ее сечение будет пронизываться одним и тем же током
ми равного потока. Таким образом, вектор напряженности
сти тока
направлен вдоль оси трубки. Рассмотрим поле трубки равного потока и
вычислим двумя путями напряжение, приложенное к трубке длиной
dℓ. Вначале найдем напряжение на участке dℓ в виде скалярного про-
изведения вектора:
, а также вектор скорости движения частиц (рис. 4.7) будет
div 0.dv =
di . Такие трубки называются трубка-
(4.17)
Eq=
.
.
, плотно-
.du E dl= ◊
Затем отыщем это же напряжение через ток и сопротивление квазилинейного проводника:
40
(4.18)
(4.19)
.du diR=
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]