Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теоретические основы электротехники специальные методы расчета электромагнитных полей. Учебное пособие
.pdf
2,n
=
– величина угла проводящего угла в радианах.
где
h
h
2
h
h
1
1
1
h
h
2
h
2
1
Рис. 2.7. Расчетная модель заряда , распо-
ложенного внутри прямого проводящего угла
Например, для угла 45°
щее количество зарядов будет равно восьми
(рис. 2.9).
Метод зеркальных отображений можно
успешно использовать и в системе «диэлек-
(/4 , рис. 2.8) об-
h
2
h
1
трик – диэлектрик» с плоской границей раздела
сред (рис. 2.10). Поскольку в целом рассматриваемая среда неоднородна, на границе раздела
областей непременно появится индуцированный связанный заряд, который необходимо
Рис. 2.8. Проводя-
щий угол 45°
учесть при расчете поля.
В рассматриваемой системе электростатическое поле существует
в двух средах: в среде с диэлектрической проницаемостью
с диэлектрической проницаемостью
должно быть две: одна для среды с
, поэтому и расчетных моделей
2
и вторая для среды с
1
и в среде
1
2
(рис. 2.11), в каждой из которых размещены зеркально относительно
и
границы дополнительные фиктивные заряды
q
1
.
q
2
11
h
h
1
1
h
2
h
1
Рис. 2.9. Расчетная модель
для проводящего угла 45°
h
2
h
1
h
1
h
2
h
2
Рис. 2.10. Заряд q над плоской границей
раздела двух диэлектриков
h
1
h
1
M
h
1
Рис. 2.11. Расчетные модели заряда q над плоской границей раздела
двух диэлектриков
12
h
1
M
Подберем заряды
E
E
и
q
1
таким образом, чтобы граничные усло-
q
2
вия в расчетной модели оказались такими же, как и в исходной задаче,
тогда согласно теореме единственности решение поля расчетной модели будет решением исходной системы.
Рассмотрим расчет электростатического поля в среде с
расчет-
1
ной модели рис. 2.11. Касательная компонента вектора напряженности
в точке М на границе раздела сред от заряда
имеет вид
q
E
q
=
2
4
r
1
(2.5)
cos .
Касательная составляющая вектора напряженности в точке М
от заряда
q
1
q
1
2
4
r
1
1
=
E
q
. (2.6)
cos
Полная касательная составляющая вектора напряженности элек-
трического поля от зарядов
EE e e
=+ = + =
()
11
qq
q
=
в среде с
q
1
q
cos cos
22
44
rr
11
qq
+
cos
1
1
2
4
r
1
q
1
.
e
(2.7)
и
Касательная составляющая вектора напряженности электрического
поля от заряда
в среде с
q
2
в точке М
2
q
2
2
r
2
cos .
=
q
2
4
(2.8)
e
Как известно, при переходе границы раздела двух диэлектриков с
различными диэлектрическими проницаемостями остается непрерывной касательная компонента вектора напряженности электрического
поля, т. е.
= (2.9)
() ( )
12
13
.EE
Выполнив условие (2.9), получим первое уравнение, связывающее
заряды q,
и
q
1
.
q
2
qq q
+
12
12
.
=
(2.10)
Выполним второе граничное условие для вектора электрического
смещения на границе диэлектрик – диэлектрик. На этой границе при
отсутствии поверхностной плотности связанных зарядов (их наличие
мы учли дополнительными зарядами) должны быть равны нормальные
компоненты вектора электрического смещения:
DD
= . (2.11)
() ( )nn
12
Определим нормальную составляющую вектора электрического
смещения в среде с
:
1
D
()
n
q
=-
1
sin sin .
22
rr
44
q
1
(2.12)
Нормальная составляющая вектора электрического смещения
в среде с
имеет вид
2
D
()
n
q
2
sin .
=
2
4
2
r
(2.13)
Выполнив граничное условие (2.11), получим
12
(2.14)
.qq q-=
Объединим уравнения (2.10) и (2.14) в систему:
qq q
+
Ï
12
Ô
12
Ì
Ô
qq q
-=
12
Ó
,
=
(2.15)
.
В результате решения системы (2.15) получим формулы для определения дополнительных зарядов расчетной модели (см. рис. 2.11):
14
R
E
-
12
=
1
2
=
,qq
(2.16)
+
12
2
2
.qq
(2.17)
+
12
Метод зеркальных отображений широко используется для определения параметров линий электропередач (емкость проводов относительно земли), расчета сопротивлений заземляющих устройств. Рассмотрим в качестве примера расчет емкости относительно земли
одного из проводов двухпроводной линии электропередач, а также
емкость линии на единицу ее длины. Пусть провода линии диаметром
2
подвешены над землей на высоте h (рис. 2.12, а).
0
r
h
1
r
4
М
h
r
2
r
3
h
а б
Рис. 2.12. Двухпроводная линия над землей (а)
и ее расчетная модель (б)
Расчет емкости провода линии целесообразно вести методом наложения для потенциала, так как потенциал произвольной точки пространства определится как арифметическая сумма потенциалов от
каждого заряда проводов линии.
Напряженность электростатического поля в произвольной точке
пространства от заряда
определится в виде
=
e
15
r
r
0
2
.
(2.18)
Потенциал в этой же точке найдется как
E
=- =- =
=- + = + (2.19)
22
dr dr
ÚÚ
rr
ln ln .
rC C
00
2
0
r
1
r
Пусть точка М – исследуемая точка верхней полуплоскости расчетной модели, тогда ее потенциал от всех зарядов расчетной модели
(рис. 2.12, б) будет равен
4
== -+-+
Â
ММ
к=1
к
2
1111
ʈ
ln ln ln ln .
Á˜
rr rr
˯
01 2 3 4
C
(2.20)
После несложных преобразований выражения (2.20) получим
rr
24
=+
М
ln .
2
013
rr
C
(2.21)
Примем потенциал земли (а значит, и границы раздела сред) за нулевой. Если поместить выбранную произвольную точку М на границу
раздела сред, то из полученного уравнения можно определить неизвестную постоянную интегрирования С:
0ln1.
=+
2
0
C
(2.22)
Как следует из соотношения (2.22), постоянная интегрирования будет равна нулю и потенциал любой точки верхнего полупространства
системы зарядов (рис. 2.12, б) определится соотношением
rr
М
2
=
24
ln .
013
(2.23)
rr
Отметим, что в числителе натурального логарифма выражения (2.23)
записаны радиусы от отрицательных зарядов, а в знаменателе – от положительных, что позволяет достаточно легко определять потенциал
16
точки пространства от любого количества и знака линейных зарядов,
размещенных над проводящей средой. Найдем потенциал левого провода линии, для чего поместим точку М на поверхность левого провода
и, предполагая заряд
сосредоточенным в центре провода, вычислим
соответствующие радиусы и подставим в формулу (2.23). Тогда потенциал левого провода будет иметь вид
2
пр
=
ln .
2
0
hd
22
+
4
rhd
0
(2.24)
Учитывая, что потенциал земли принят за нуль, можно определить емкость левого провода на единицу длины линии относительно земли
2
С
опр
==
пр
0
2
ln
hd
22
4
rhd
0
+
.
(2.25)
Аналогично можно найти собственную емкость двухпроводной линии
с учетом влияния земли. Поместим исследуемую точку М вначале на
поверхность левого провода, а затем на поверхность правого и найдем
напряжение между проводами:
22
4
2
U
=-=
л
ln ln
222
00
dh
22
4
rhd
0
+
rhd
0
dh
+
È ˘
22
==
2
Í ˙
ln ln .
Í ˙
00
Î ˚
dh dh
22 22
44
rhd rhd
00
2
(2.26)
++
Собственная емкость двухпроводной линии на единицу длины с
учетом влияния земли будет равна
С
0л
==
U
0
2
ln
hd
22
4
rhd
0
+
.
17
3. МАГНИТНОЕ ПОЛЕ ПОСТОЯННОГО ТОКА
МЕТОД ЗЕРКАЛЬНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ
В МАГНИТОСТАТИКЕ
При исследовании магнитных полей часто встречаются задачи по
расчету полей, созданных линейными токами, протекающими вблизи
стальных масс. Для решения таких задач часто применяется метод зеркальных изображений. Пусть в воздухе над массивной проводящей
,I
средой расположен бесконечно длинный провод с током
ние которого «от нас» и перпендикулярно плоскости рис. 3.1. Необхо-
димо рассчитать поле в воздушном пространстве вне проводника с током. Прямое решение этой задачи практически неосуществимо,
поскольку не понятно, как учесть влияние проводящей среды на распределение магнитного поля в пространстве над проводящей средой.
I
направле-
x
y
∞
Рис. 3.1. Провод с током I над проводящей
Попробуем, используя аналогию электростатических и магнитных
полей, применить для решения поставленной задачи метод зеркальных
отображений. Отразим верхнюю полуплоскость вниз, зеркально от
границы раздела сред (рис. 3.2) и поместим в зеркально отраженном
пространстве некоторый фиктивный ток
проводящей среды.
Теперь, когда в расчетной модели среда однородна, принципиально
возможно рассчитать поле в пространстве, окружающем проводник
с током, однако препятствием является неизвестная величина тока
учитывающего влияние проводящей среды. Учитывая, что на границе
h
средой
18
, учитывающий влияние
I
1
,
I
1
I
r
0
0
Рис. 3.2. Расчетная модель системы рис. 3.1
h
H
h
I
1
H
n
M
H
H
n
H
H
1
1
любых сред для компонент вектора напряженности магнитного поля
должны соблюдаться определенные (граничные) условия, определим
ток
из этих граничных условий. Известно, что на границе диэлек-
I
1
трика с проводящей поверхностью в магнитном поле отсутствует касательная к границе раздела сред компонента вектора напряженности
магнитного поля [11]. Определим касательную составляющую напряженности магнитного поля в расчетной модели (рис. 3.2). Касательная
компонента вектора напряженности магнитного поля от провода с то-
,I
ком
находящимся в верхней полуплоскости, имеет вид
He
I
cos .
= (3.1)
2
r
Касательная компонента вектора напряженности магнитного поля
от провода с током
(нижняя полуплоскость расчетной модели) за-
I
1
пишется как
I
Н e
1
cos .
= (3.2)
1
2
r
Касательная компонента вектора напряженности магнитного поля в
точке М на границе раздела сред от двух проводов будет равна
I
Н ee
Â
cos cos .
=- (3.3)
22
rr
19
I
1
В соответствии с граничными условиями приравняем выражение
Р
I
(3.3) нулю:
Н ee
I
cos cos 0.
=-=
Â
22
rr
I
1
(3.4)
Преобразовав (3.4), будем иметь
(3.5)
.II=
1
Таким образом, для того чтобы рассчитать магнитное поле проводника с током, расположенного вблизи массивной проводящей среды,
необходимо создать расчетную модель, в которой в отраженной среде
будет зеркально расположен фиктивный ток той же величины и того
же направления, что и заданный ток. Теперь рассмотрим аналогичную
по форме расположения провода задачу,
однако вторая среда будет
непроводящая и будет иметь другую магнитную проницаемость (при
этом под
проницаемость
во всех формулах будем понимать абсолютную магнитную
()=
0 отн
I
.
Предположим, что в среде с магнитной
проницаемостью
параллельно границе
1
раздела двух сред размещен провод с то-
h
ис. 3.3. Провод с током
в двухслойной среде
1
2
(рис. 3.3).
ком
I
Вторая среда имеет магнитную прони-
цаемость
. Требуется рассчитать маг-
2
нитное поле в любой точке пространства,
окружающего этот провод. Создадим расчетную модель аналогично подобной задаче
электростатики, вводя фиктивные (расчет-
и
ные) токи в среды с магнитной проницаемостью
1
(рис. 3.4). Вы-
2
берем на границе раздела сред точку М и определим нормальную и касательную (тангенциальную) компоненту вектора напряженности магнитного поля. От проводника, расположенного в верхней полуплоскости
(рис. 3.4) в среде с магнитной проницаемостью
касательная состав-
,
1
ляющая напряженности магнитного поля запишется в виде
He
I
cos .
20
r
r
= (3.6)
2
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]