Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теоретические основы электротехники специальные методы расчета электромагнитных полей. Учебное пособие
.pdf
тивления такого заземлителя весьма затруднительным. Для упрощения
R
задачи делают не отвечающее действительности предположение, что
ток, стекающий с электрода, равномерно распределен
по его длине. Однако при этом необходимо учесть, что и потенциал
по длине стержня распределяется неравномерно. Приблизительный учет
этого явления осуществляется с помощью метода средних потенциалов. В целом задача
решается при
y
следующих допущениях: считаем,
что весь ток, стекающий с поверхности стержня, равномерно распределен на его бесконечно тонкой оси;
потенциал поверхности стержня
отыскивается от оси стержня и от ее
зеркального отображения на поверх-
l
dy
r
1
= 0
h
ности стержня, а затем находится
его среднеинтегральное значение по
длине. На рис. 5.4 изображен заземляющий
ной
погруженный в грунт прово-
,
димостью
электрод радиусом
на глубину h от
з
, дли-
0
поверхности земли.
Рассмотрим расчет такого зазем-
l
y
2
Рис. 5.4. Заземляющий электрод,
погруженный в грунт на глубину h
r
dy
1
y
1
x
лителя методом зеркальных отображений (рис. 5.4). Среднее значение
потенциала поверхности электрода от тока, сосредоточенного на его
оси, будет иметь вид
yy
ср
2
I
∫∫
2
l
з
l
⎛⎞
Il
⎜⎟
arsh 1 .
⎜⎟
lr l l
з 0
⎝⎠
12
22
()
ryy
012
2
rr
⎛⎞
00
⎜⎟
⎝⎠
(5.15)
Потенциал в произвольной точке М поверхности электрода, обу-
словленный его зеркальным отображением, найдем как
51
y
ʈ
˯
ʈ
˯
I
22
lh
==
¢
4
I
=-
ʈ
arsh arsh .
Á˜
4
lr r
˯
з 00
+
Ú
2
lh
+
l
з
22 2
lhy lhy
+- +-
∂
1
22
ryy
()
+-
012
22
(5.16)
Найдем среднее значение потенциала поверхности нижнего элек-
трода от его зеркального отображения
+- +-
22 2
l
I
=-=¢
ср
4
ʈ
Ú
Á˜
0
lr r
˯
з 00
lhy lhy
arsh arsh
22
=+ -++-
4
(2 2 )arsh (2 2 )
lh r lh
Í ˙
lr
з 0
Î ˚
ʈ
Ih
-++
4
22.
h Arsh r h
Á˜
lr
˯
з 0
È ˘
Ilh
+
22
2
22
0
2
()
0
2
Результирующее значение потенциала поверхности заземлителя,
обусловленное электродом и его зеркальным отображением, имеет вид
Ï
È ˘
Ô
Il
Í ˙
Ì
=-+++
2
()аrsh 1
lh
++ - + -Á˜
аrsh 1
Í ˙
lr ll
Ô
з 0
Î ˚
Ó
22
lh
+
Á˜
Á˜
--+
h
r
0
2
h
аrsh 1 .
rh
0
2
rr
ʈ
00
Á˜
˯
2
r
0
(2 2 )
lh
+
¸
2
Ô
r
ʈ
0
Á˜
˯
˝
2
Ô
˛
2
(5.17)
Сопротивление одиночного цилиндрического заземлителя получится, если выражение (5.17) разделить на ток. Однако, как показывает
практика, в случае одиночного заземлителя при больших токах, стекающих с заземлителя, не удается получить сопротивление заземляющего
52
устройства, обеспечивающего эффективную защиту обслуживающего
R
R
персонала, поэтому в настоящее время широкое распространение получили так называемые многоэлементные контуры заземления. В таких многоэлементных контурах заземляющие электроды (элементы)
соединены параллельно заземляющей полосой. При этом считают, что
с каждого электрода независимо от конфигурации самого заземляющего устройства с каждого электрода в землю стекает
одинаковый ток.
Тогда сопротивление всего устройства определяется формулой
0
Rn= (5.18)
з
.
В формуле (5.18) n – число элементов в контуре. Однако при этом не
учитывается распределение тока по периметру контура заземления,
которое существенно влияет на величину его сопротивления. Величина этого влияния учитывается введением коэффициента использования
. Тогда сопротивление заземляющего устройства будет опре-
делено как
0
Rn=
з
.
(5.19)
Величины этого коэффициента приводятся в справочной литературе и
зависят от отношения расстояния между электродами к длине электрода, что позволяет по (5.19) определить сопротивление контура, но при
этом недостаток, связанный с допущением о независимости
от кон-
фигурации контура, остается. Отметим, что при таком подходе принципиально невозможно достаточно точно рассчитать параметры, влияющие на электробезопасность, такие как напряжение прикосновения
или шаговое напряжение.
Чаще всего многоэлементное заземляющее устройство представляет собой некоторое количество цилиндрических заземляющих электродов, погруженных в грунт на некоторую глубину. Для расчета
таких систем, состоящих из цилиндрических отрезков конечной длины,
англичанином Хоу был предложен более точный метод, базирующийся
на методе средних потенциалов. Такой подход позволяет записать систему уравнений Максвелла для контура заземления произвольной
конфигурации, состоящего из
элементов:
n
53
=+ ++ +
II I I
1111212 1 1
kk nn
,
¸
Ô
=+ ++ +
II I I
2121222 2 2
---------------------=+++ +
II I I
11 21
kkk kkknkn
----------------------
=+ ++ +
II I I
11 2 2
nn n knknnn
kk nn
,
Ô
Ô
Ô
˝
,
Ô
Ô
Ô
Ô
.
˛
(5.20)
Система (5.20) существенно упрощается, если использовать ранее
принятое предположение о равенстве токов, стекающих с каждого
электрода, тогда система принимает вид
II
IR
== ++ =
1 зк 11 12 1 1
IR
== ++ =
2 зк 21 22 2 2
зз
(),
nn
II
зз
(),
nn
nk
nk
n
Â
1
Â
----------------------
II
IR
== ++ =
зк 12
nnnnnnk
зз
().
nn
n
Â
1
¸
Ô
Ô
Ô
n
Ô
Ô
(5.21)
˝
1
Ô
Ô
Ô
Ô
Ô
˛
Система (5.21) позволяет определить сопротивление контура по
любому из равенств:
nn n
11 1
R
к 12
== =
ÂÂ Â
kk nk
nn n
11 1
1
. (5.22)
n
Последнее возможно при равенстве сумм в выражении (5.21) и хотя оно точно не соблюдается, различие их незначительно и дает удовлетворительные для практики результаты. Практически задача расчета сопротивления контура заземления сводится к достаточно точному
определению потенциальных коэффициентов в выражении (5.21).
Однако и при таком подходе невозможно рассчитать дифференциаль-
54
ные параметры контура
(, )UU , так как неизвестно распределение
шпр
тока вдоль его периметра.
Решение задачи расчета сопротивления такого заземляющего
устройства в предположении, что второй электрод есть сфера бесконечного радиуса с центром внутри с заземляющим устройством, требует решения уравнений Лапласа для трехмерного пространства, или
решения трехмерной задачи Дирихле. Точное аналитическое решение
этой задачи,
даже в случае, когда поверхность контура может быть
описана аналитически, представляет значительные математические
трудности и в большинстве случаев практически неосуществимо.
Однако можно найти и другой путь решения этой задачи.
В [7] было показано, что распределение заряда на поверхности
проводящего заряженного цилиндра произвольно выпуклой конфигурации, погруженного в однородную проводящую среду, и на
плоской
проводящей нити, повторяющей конфигурацию цилиндра, одинаково. Если допустить, что при достаточной густоте заземляющих электродов поверхность контура заземления практически эквипотенциальна, то, используя аналогию электростатического поля и поля токов
в проводящей среде, можно свести решаемую задачу поиска распределения тока по периметру контура заземления к распределению
заряда на
проводящей нити, повторяющей конфигурацию контура
заземления, и таким образом найти распределение тока по периметру
контура.
5.4. РАСЧЕТ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ТОКА
ПО ПЕРИМЕТРУ КОНТУРА
Как известно, электростатическое поле можно характеризовать совокупностью силовых и эквипотенциальных линий. При этом эквипотенциальные линии – это линии, соединяющие точки пространства,
имеющие одинаковый потенциал и всегда замкнутые сами на себя.
Силовые линии – это линии, касательные к каждой точке которых дают направление вектора напряженности электростатического поля.
Силовая линия всегда начинается
на положительном заряде (или заряженном теле) и заканчивается на отрицательном заряде (теле). Совокупность силовых линий и эквипотенциалей называется картиной поля
55
и является графическим изображением электростатического поля. Кар-
Е
Е
Е
D
тина поля создается по определенным правилам.
1. Силовые линии и линии равного потенциала должны пересекать-
ся под прямым углом.
D
2. Приращение потенциала
по всей картине поля должно быть
постоянным.
3. Приращение потока вектора напряженности электростатического
поля
по всей картине поля должно быть постоянным.
D
4. Криволиненые ортогональные ячейки картины поля должны
быть подобны друг другу, иначе говоря, отношение средних линий
ячеек картины поля должно быть постоянным.
При таком подходе к построению картины поля две соседние силовые линии образуют силовую трубку, в которой величина потока вектора напряженности
по длине всей силовой трубки остается по-
D
стоянной. При выполнении всех условий построения картины поля
все силовые трубки будут иметь одинаковый поток
, что дает
D
возможность определить напряженность электростатического поля
вблизи от заряженного тела, а потом, используя граничное условие на
границе диэлектрик – проводник
n а n
(5.23)
.
E==
найти плотность электрического заряда на самом заряженном теле.
Далее, учитывая аналогию величин абсолютной диэлектрической проницаемости
и электрической проводимости земли
а
, а также за-
з
ряда и тока, можно найти распределение плотности тока по периметру
контура заземления. Таким образом, для определения величины тока,
стекающего в грунт с заземляющего электрода, необходимо вблизи
контура произвольно выпуклой конфигурации построить эквипотенциальную линию и дополнить ее силовыми линиями (с соблюдением
правил построения картины поля). Ток, стекающий
с каждого из электродов, будет пропорционален количеству площадок картины поля,
приходящихся на один электрод. Построение картины поля заземляющего устройства «вручную» является весьма трудоемкой задачей
и требует определенных навыков. Для ее упрощения можно воспользоваться следующим приемом. В [7] показано, что если направляющая
цилиндра, погруженного в однородный грунт, – выпуклая кривая, то
56
направление вектора напряженности в поле этого цилиндра определяется биссектрисой угла, под которым видна эта направляющая из точки наблюдения. Последнее позволяет провести через любую точку
и, в частности через точку, лежащую вблизи направляющей, линию
равного потенциала. Построение
v
E
можно выполнить, если жесткую
модель контура заземления, укрепленную на листе
гибкой нерастяжимой нитью и,
оставляя ее в натянутом состоянии,
бумаги, охватить
Модель
контура
в плоскости листа провести острием карандаша замкнутую кривую.
Если построение происходит без
проскальзывания нити относитель-
Рис. 5.5. Построение линии равного
потенциала
но модели контура заземления, то направление движения карандаша
будет всюду нормально к биссектрисе угла, образованного
нитью, а следовательно, и вектору напряженности электрического
рис. 5.5).
поля (
Этот метод достаточно легко реализуется на базе пакета программ
MathCad. Для достижения большей точности построения картины поля
можно воспользоваться и другим программным продуктом, например,
использовать ELCUT, Multisim [2, 13].
Если расположить электроды через одинаковое количество площадок, то с каждого электрода в грунт будет стекать одинаковый ток
(рис. 5.6)
Электроды
Эквипотенциаль
Рис. 5.6. Контур с оптимальным расположением
электродов
57
Такое расположение электродов в конту-
ʈ
˯
ʈ
˯
ре можно принять за оптимальное. Однако
в реальных контурах заземления часто заземляющие электроды расположены через
равные расстояния, заземления, а сам контур
имеет прямоугольную форму (рис. 5.7).
Рис. 5.7. Контур зазем-
ления прямоугольной
формы
При таком расположении электродов при
расчете сопротивления контура заземления
необходимо рассчитать ток, стекающий
с каждого электрода, причем картина поля
построена с учетом симметрии контура.
будет
6. РАСЧЕТ СОПРОТИВЛЕНИЯ
ЗАЗЕМЛЯЮЩЕГО УСТРОЙСТВА
Как указывалось ранее, расчет заземляющего устройства сводится
к определению собственных и взаимных потенциальных коэффициентов
и
kk
потенциальные коэффициенты. Собственный потeнциальный коэффициент найдется с учетом выражения (5.17) и коэффициента, учитывающего величину тока, стекающего с электрода в виде
, при этом
km
– собственный, а
kk
– взаимный
km
Ï
È ˘
Ô
++ - + -
где
– общее количество криволинейных квадратов периметра кон-
m
тура заземления;
qrr
i
=-+++
kk
2
()arsh 1
lh
– количество площадок, приходящихся на один
q
i
Ì
ml r l l
Ô
з 0
Ó
Á˜
Á˜
Á˜
arsh 1 ,
h
--+
l
Í ˙
arsh 1
Í ˙
Î ˚
22
lh
+
r
0
2
h
rh
0
ʈ
00
Á˜
˯
r
(2 2 )
lh
+
2
r
ʈ
0
Á˜
˯
2
2
0
¸
Ô
˝
Ô
˛
электрод.
58
2
2
(6.1)
Взаимные потенциальные коэффициенты можно получить из (6.1)
ʈ
˯
ʈ
˯
М
путем замены
на расстояние между электродами
r
0
:
r
km
Ï
È ˘
Ô
qrr
ikmkm
Í ˙
=-+++
km
2
lh
()arsh 1
++ - + -Á˜
Ì
Í ˙
ml r l l
Ô
з
Î ˚
Ó
Á˜
Á˜
--+
arsh 1 .
h
l
arsh 1
km
lh
22
+
r
km
2
h
rh
km
r
ʈ
km
Á˜
˯
2
2
ʈ
Á˜
˯
2
r
km
lh
(2 2 )
+
¸
2
Ô
˝
Ô
˛
2
(6.2)
Сопротивление многоэлементного контура заземления после определения собственных и взаимных потенциальных коэффициентов
определятся формулой
n
Â
.
(6.3)
k
=
1
R
=
з 1
k
РАСЧЕТ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПОТЕНЦИАЛА
НА ПОВЕРХНОСТИ ЗЕМЛИ
Определение дифференциальных параметров контура заземления
(, )UU
шпр
сводится к расчету распределения потенциала на поверх-
ности земли (рис. 6.1)
Величина потенциала в произвольной точке
поверхности земли
отыскивается методом средних потенциалов и считается отдельно от
электрода и его зеркального отображения. Для k-го электрода, погру-
h
женного в грунт на глубину
, потенциал в точке М будет иметь вид
h
+
I
k
=
км
4
з
d
.
(6.4)
Ú
r
h
59
ʈ
˯
z
М
r
k
r
h
z
l
Рис. 6.1. Расчетная модель для определения
x
потенциала на поверхности земли
После вычисления выражения (6.4) получим
км
Á˜
4
з
I
k
=-
+
lh h
аrsh аrsh .
rr
kk
(6.5)
Результирующее значение потенциала в точке М, вызванное электродом и его зеркальным отображением, от всех электродов контура
определится в виде
n
км
1
=-
2
ʈ
I
Â
Á˜
˯
з
k
=
1
где n – число электродов в контуре;
с каждого электрода;
r – расстояние по поверхности земли от оси
k
lh h
+
аrsh аrsh ,
k
rr
kk
I
– значение тока, стекающего
k
(6.6)
электрода до исследуемой точки; l – длина электрода; h – глубина
погружения электрода от поверхности земли.
Отметим, что наибольшее значение шаговое напряжение и напряжение прикосновения имеют в непосредственной близости от контура
заземления. Потенциал в точке над заземляющим электродом будет
определяться соотношением
I
– точка на поверхности земли непосредственно над электродом.
где
a
a
k
2
ln ,
э
+=
h
(6.7)
h
60
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]