Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теоретические основы электротехники специальные методы расчета электромагнитных полей. Учебное пособие
.pdf
I
r
h
y
x
1
1
1
h
1
M
H
H
n
H
1H
H
H
1n
1
1
2
h
1
r
I
1
Рис. 3.4. Расчетная модель провода током I на границе
в двухслойной среде
Касательную компоненту вектора напряженности магнитного поля
в нижней полуплоскости расчетной модели от тока
шем как
I
He
1
cos .
= (3.7)
1
2
r
r
Суммарная составляющая вектора напряженности магнитного поля
в среде с диэлектрической проницаемостью
HHH e e
=- -
1
I
cos cos ,
=
1
2
r
найдется в виде
1
I
1
rr
r
2
(рис. 3.4) запи-
I
1
M
или
HII e
()cos.
=- (3.8)
1
1
1
2
r
r
Найдем величину касательной составляющей вектора напряженно-
сти магнитного поля в среде с магнитной проницаемостью
2
часть расчетной модели на рис. 3.4).
I
He
2
cos .
=
2
2
(3.9)
r
21
(правая
Так как на границе раздела сред (рис. 3.4) отсутствует настил тока,
B
B
касательная компонента вектора напряженности магнитного поля при
переходе через границу раздела сред должна быть непрерывной, т. е.
12
.HH
= (3.10)
Тогда с учетом выражений (3.8), (3.9) соотношение (3.10) будет иметь
вид
().III-=
12
(3.11)
Определим нормальную компоненту вектора индукции магнитного
поля в двухслойной среде на границе раздела сред, которая, как известно, должна быть непрерывной:
BB= (3.12)
12
nn
.
Обратимся вновь к расчетной модели рис. 3.4. В среде с магнитной
проницаемостью
(левая часть расчетной модели (рис. 3.4)) нор-
1
мальная компонента вектора индукции будет иметь вид
sin .
r
I
1
e
r
Для среды с
I
sin sin .
=+ (3.13)
n
1
11
22
получим (правая часть расчетной модели)
2
n
2
ee
rr
rr
I
2
= (3.14)
2
2
Выполним граничное условие (3.12) с учетом (3.13) и (3.14) и после
несложных преобразований получим
11122
(3.15)
.II I +=
Объединим (3.11) и (3.15) в систему
III
-=
Ï
12
Ô
Ì
II I
Ô
11122
Ó
,
+=
22
(3.16)
.
В результате решения системы (3.16) получим величины расчетных
и
токов
I
:
I
1
2
-
21
=
1
=
2
,II
(3.17)
+
21
2
1
.II
(3.18)
+
21
В качестве примера рассмотрим расчет магнитного поля в двухслойной среде. Рассчитаем коэффициент взаимоиндукции провода и одновитковой квадратной рамки, находящихся над плоской границей двух
сред (рис. 3.5).
а
I
h
1
Рис. 3.5. Провод и рамка в двухслойной среде
h
Для расчета поля создадим расчетную модель. Так как провод и
рамка находятся в одной среде, то ограничимся зеркальным отображением верхнего пространства (рис. 3.6). Решение будем проводить в цилиндрической системе координат, ось Z которой будет совпадать
с осью провода.
В общем случае коэффициент взаимоиндукции определяется известной формулой
M
= , (3.19)
I
где под
понимается потокосцепление провода с рамкой, которое
отыскивается в виде
Ф .W = (3.20)
23
а
А
A
A
r
1
I
1
h
1
h
r
2
r
r
3
4
h
1
I
1
b
Рис. 3.6. Расчетная модель провода с рамкой
В формуле (3.20) Ф – магнитный поток; W – число витков рамки.
Величину магнитного потока, пронизывающего площадь рамки, найдем как
Векторный потенциал
А
Ф .
определим из соотношения
rot
Распишем выражение
rot
1
⎛⎞
⎜⎟⎜⎟
rz zr
⎝⎠⎝⎠
в цилиндрической системе координат:
A
AAA
zrz
rA
11
⎛⎞
⎜⎟
rr r
⎝⎠
Учитывая, что векторный потенциал
d
= ◊
Ú
rot .BА=
(3.21)
(3.22)
⎛⎞
ee
r
A
r
(3.23)
.
e
z
в выбранной системе
A
координат имеет одну Z-ю составляющую и зависит только от коорди-
r
наты
, выражение (3.23) превращается в формулу
A
∂
=-
24
z
(3.24)
r
∂
Ae
rot ,
которая позволяет с учетом (3.22) получить соотношение для опреде-
A
A
ʈ
˯
ления векторного потенциала
ABdr=-
z
(3.25)
.
Ú
r
Величину индукции магнитного поля от уединенного проводника
с током в некоторой среде с магнитной проницаемостью
найдем
по закону полного тока
I
B Н de
Ú
==
2
r
(3.26)
,
а затем определим величину векторного магнитного потенциала с учетом (3.25), (3.26)
II
==+
dr r C
Ú
22
r
ln .
(3.27)
Векторный потенциал в произвольной точке верхнего пространства
расчетной модели (рис. 3.7) найдется как сумма векторных потенциалов от провода с током
М
I и от его зеркального отображения:
II
121
=+ +
ln ln ,
Á˜
22()
()
rrCe
121
+
21
(3.28)
z
М
r
1
I
r
1
Рис. 3.7. Векторный потенциал точки М
h
1
h
I
1
верхней области расчетной модели
2
25
при этом
странства. Найдем величину потокосцепления проводников с током
и рамкой в расчетной модели (рис. 3.8).
I
1
и
r
1
– расстояния от провода в исследуемой точке про-
r
2
Az(r)
dl
90°
Az(r)
,I
dl
90°
1
Для определения магнитного потока воспользуемся формулой (3.21)
и распишем циркуляцию вектора
зованному сторонами рамки. Для этого поместим точку М последовательно на каждую из сторон рамки и обойдем контур рамки по часовой
стрелке. Учитывая, что векторный потенциал имеет только Z-ю со-
ставляющую, скалярное произведение
рамки (рис. 3.8) равно нулю, и величина магнитного потока через рамку определится в виде
Тогда коэффициент взаимной индукции между проводом и рамкой в
соответствии с (3.19) определится как
dl
Рис. 3.8. Магнитный поток прямоугольной рамки
Ф ln ln .
А d
= ◊ =+
М
Ú
WФ
== +
Ir r
Az(r)
по замкнутому контуру , обра-
A
аIrаIr
12 2124
22()
rr
1213
а r а r
12 212 4
ln ln .
22()
1213
dl
Az(r)
и d на торцевых сторонах
A
()
+
()
+
а
(3.29)
(3.30)
Окончательно после подстановки геометрических размеров будем
иметь
26
М
2
I
а
Ф
W
== +
()()
1
ln
22
-++
hh ab
1
22
-+
()
hh b
1
()
-
а
212
+
+
2( )
21
()()
ln .
22
+++
hh ab
1
22
++
()
hh b
1
Однако иногда возможен вариант расположения линии в областях
с различными магнитными проницаемостями. Например, на рис. 3.9
показана двухпроводная линия, расположенная в двухслойной среде
с различными магнитными проницаемостями, но так, что один проводник линии находится в среде с магнитной проницаемостью
а второй – в среде с магнитной проницаемостью
; геометрия распо-
2
,
1
ложения двух двухпроводных линий указана на рис. 3.9.
I
1
I
2
h
1
h
3
h
h
2
I
1
Рис. 3.9. Система двухпроводных
линий в двухслойной среде
3
d
I
2
Под коэффициентом взаимоиндукции двух линий электропередач
будем понимать отношение магнитного потока одной линии
пронизывающего площадь второй линии, к току первой линии
12
.М
12
=
27
(3.31)
I
1
I
,
12
1
Таким образом, для определения коэффициента взаимоиндукции
необходимо найти величину магнитного потока линии, проводники
которой находятся в разных средах, пронизывающего бесконечно
длинную рамку, образованную второй линией, проводники которой
тоже находятся в разных средах. В соответствии с методом зеркальных отображений для расчета величины магнитного потока необходимо для каждого проводника линии с
током
создать свою расчет-
I
1
ную модель. Создадим расчетную модель для верхнего проводника
линии током
с магнитной проницаемостью
(будем называть ее первой), находящегося в среде
I
1
, которую представим на рис. 3.10.
1
На этом же рисунке изобразим часть второй линии, находящейся
в этой же среде.
I
1
r
1
r
h
1
2
h
3
h
2
r
3
r
4
I
2
d
Рис. 3.10. Расчетная модель линии
для среды
1
Далее покажем расчетную модель для среды с магнитной проницаемостью
, для чего отдельно отобразим нижнюю полуплоскость
2
рис. 3.9 (рис. 3.11).
При расчетах будем полагать, что магнитная проницаемость
первой среды больше, чем у второй, т. е.
>
. Поскольку при оп-
12
ределении магнитного потока системы линейных проводников с током
28
r
B
B
Р
h
2
5
r
6
h
3
d
Рис. 3.11. Расчетная модель для среды
целесообразно использовать метод наложения, рассмотрим задачу
рачета магнитного потока уединенного проводника с током, сцепленного с бесконечно длинной одновитковой
рамкой произвольного расположения
(рис. 3.12). Проводник и рамка находятся
в однородной среде с магнитной проницаемостью
в плоскости перпендику-
0
лярной плоскости рисунка и имеют
бесконечную длину
де вдоль оcи Z, совпадающей с осью провода.
Решать эту задачу будем также в цилиндрической системе координат. Маг-
Ток течет в прово-
.
ис. 3.12. Бесконечно длинный проводник с током
и рамка СD в однородной
среде
нитный поток в окружающем пространстве, созданный током
I и пронизывающий площадь
можно определить по известной формуле
2
0
S
рамки CD,
Ф .
ds= ◊
Ú
S
(3.32)
Отметим, что подынтегральное выражение в формуле (3.32) представляет собой скалярное произведение двух векторов
и ds и, как следует из рис. 3.13, угол между этими векторами по мере перемещения
от точки C к точке D постоянно меняется. Это обстоятельство приводит к тому, что интегрирование выражения (3.32) в цилиндрической
29
системе координат, в которой и выполняется решение, вызывает зна-
H
H
чительные математические трудности. Для их устранения поступим
следующим образом. Воспользовавшись правилом «буравчика», проведем из точки, совпадающей с осью провода (ось Z), две силовые ли-
и
нии радиусами
r
r
1
(рис. 3.13).
2
С
r
1
0
ds
С
r
2
В
ds
В
ds
Ф
В
D
ds
В
Рис. 3.13. Расчет магнитного потока
ƒ
через рамку CD,
– направление тока
Эти силовые линии будут ограничивать пространство с потоком Ф,
которое называется силовой трубкой и в этой трубке независимо от ее
формы и длины величина потока остается постоянной. Следовательно,
С D
магнитный поток, пронизывающей площадку СD и
¢
, будет одинаковым. Это обстоятельство позволяет отыскать величину магнитного
потока, интегрируя не по площадке заданного витка СD, а по площадке
С D
¢
, где векторы B и ds совпадают по направлению. Воспользуемся
законом полного тока:
,
dI
=
Ú
или
dI
00
Ú
.
=
30
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]