Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теоретические основы электротехники. Курс лекций
.pdf
ЛЕКЦИЯ 5. ЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА.
ОСНОВЫ СИМВОЛИЧЕСКОГО МЕТОДА. ЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ…
MN Me Ne MNe
Ч= Ч = ЧЧ
jj j
a
j
MMe
=
2
.
+ab ab()
;
5.3. Активные и пассивные элементы
цепи синусоидального тока
Электрическая цепь синусоидального тока содержит источники
энергии, резистивные, индуктивные и емкостные элементы, а также
коммутационную и измерительную аппаратуру. Рассмотрим только
основные элементы этой цепи.
К промышленными источниками синусоидального тока относятся
электромеханические генераторы (турбо или гидрогенераторы), в которых механическая энергия преобразуется в электрическую. Здесь
лучше ограничиться только принципом работы генератора (рис. 5.4).
Предположим, что между полюсами постоянного магнита с постоянной угловой скоростью w вращается рамка. Магнитный поток,
пронизывающий рамку с определенным числом витков W, будет изменяться по закону Ф = ФМ · cos a, где ФМ — максимальное значение или амплитуда магнитного потока;
a — переменный угол поворота рамки в поле постоянного магнита.
N
w
S
Рис. 5.4. Принцип работы
источника синусоидальной ЭДС
51
a
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ
Величина может быть представлена в виде a = wt + y, где y — угол,
определяющий положение рамки в момент t = 0, или начальная фаза;
t — текущее значение времени.
По закону электромагнитной индукции в рамке должна возни-
кать ЭДС
Ч+
Ф
cos( )
M
M
wy
dt
=
dt
eW
=ЧЧ +=Ч +
dФ
=- Ч =- Ч
Ф
dt
sin( ) sin(
WtE t
M
[]
W
wy wy)),
где EM = ФМ · W — амплитуда возникающей ЭДС.
Примечание. В реальных конструкциях, как правило, вращает-
ся со скоростью w постоянное магнитное поле, а рамка или катушка остаются неподвижными, но физические процессы протекают
аналогично.
Элементы цепи синусоидального тока могут обладать одновременно свойствами резистора, индуктивности и емкости, однако эти же
элементы проявляют в выраженной форме, как правило, одно или
два из перечисленных свойств. Так, промышленный реостат проявляет преимущественно свойства резистора, реальная катушка — свойства резистора и индуктивного элемента, а конденсатор — в основном свойства емкости. Остальные параметры настолько ничтожны,
что ими можно пренебречь на промышленной стандартной частоте.
В дальнейшем рассмотрим свойства идеализированных элементов.
Резистивный элемент (резистор, активное сопротивление) — идеализированный элемент, учитывающий выделение только теплоты
при протекании тока. За активное сопротивление цепи синусоидального тока принимают значение резистора при протекании постоянного тока. Допущение основано на пренебрежении поверхностным
эффектом при рабочих частотах 50–500 Гц. Поэтому сохраняется величина и графическое изображение резистора (рис. 5.5, а).
Пусть i(t) = IM · sin w t, тогда по закону Ома
u(t) = i(t) · R = IM · R · sin w t = UM · sin w t,
где UM = IM · R — амплитуда напряжения на резисторе.
52
ЛЕКЦИЯ 5. ЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА.
ОСНОВЫ СИМВОЛИЧЕСКОГО МЕТОДА. ЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ…
а
i
R
в
+j
u
·
·
I
U
б
u, i
u
i
p
2
p
3
p
2
wt, рад
2p
Рис. 5.5. Резистор (активное сопротивление):
а — условное обозначение; б — волновая диаграмма тока и напряжения;
в — векторная диаграмма
Волновая диаграмма этих величин напряжения и тока показана
на рис. 5.5, б. Если перейти к символической форме представления
этих величин, то можно записать для комплексов амплитуд
i(t) = IM · sin w t I
u(t) = UM · sin w t U
·
= IM = IMe
M
·
= UM = UMej0.
M
j0
Аналогично можно представить символическую форму записи для
комплексов действующих значений тока I· и напряжения U·, и соответствующие векторы показаны на рис. 5.5, в.
Главный вывод, который следует из рассмотренного материала,
можно сформулировать в виде тезиса. В идеальном элементе (резисторе) начальная фаза напряжения и тока совпадают; кривые тока
и напряжения повторяют друг друга по форме.
Для цепей синусоидального тока вводят понятие «угол сдвига
фаз j, который определяют по формуле
j = yu – yi,
где yu– начальная фаза напряжения,
yi — начальная фаза тока.
53
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ
В соответствии с формулой угол j для резистора всегда равен нулю.
Идеальный индуктивный элемент позволяет учитывать явление наведения в катушке ЭДС изменяющимся во времени магнитным потоком и явление накопления энергии в магнитном поле. Известно, что между магнитным потокосцеплением y и протекающим
по индуктивному элементу током в линейных цепях связь выражена соотношением
Li=y,
где L — индуктивность катушки, или коэффициент пропорциональности между этими параметрами.
Из курса физики известно, что индуктивность измеряется в ген-
ри (Гн) и в общем случае определяется числом витков катушки индуктивности, геометрическими и магнитными параметрами в линейных электрических цепях индуктивность считается постоянной
величиной.
Современный стандарт позволяет изображать идеальный индуктивный элемент в виде трех или четырех полуволн (рис. 5.6, а).
Пусть протекающий по этому элементу ток изменяется по закону
i(t) = IM · sin w t. Тогда по закону электромагнитной индукции мож-
но записать
Ч
dI t
euL
=- =- =-
LL
=- Ч Ч =- Ч +
IL tU t
MM
di
dt
cos sin
ww w
(sin)
L
w
M
dt
=
p
ж
зз
и
ц
,
ч
2
ш
где UL — напряжение на индуктивном элементе, численно равное ЭДС,
UM = IM · wL — амплитуда напряжения.
Волновая диаграмма напряжения на индуктивном элементе и тока
представлена на рис. 5.6, б. Параметр wL = XL носит название индуктивного сопротивления переменному току и измеряется в Омах (Ом).
Угол сдвига фаз для этого случая составит
54
jy y
=-= °
ui
p
90().
2
ЛЕКЦИЯ 5. ЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА.
ОСНОВЫ СИМВОЛИЧЕСКОГО МЕТОДА. ЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ…
а
i
L
L
i
·
U
L
j = 90°
u
·
I
в
+j
б
u
, i
L
pp
22
+
i
p
u
L
3
p
p
wt, рад
2p
Рис. 5.6. Идеальный индуктивный элемент:
а — условное обозначение; б — волновая диаграмма тока и напряжения;
в — векторная диаграмма
Следовательно, в идеальном индуктивном элементе ток отстает
p
по фазе от напряжения на постоянный угол сдвига
90().°
2
При пе-
реходе к символической форме записи будут справедливы приведенные ниже формулы и векторная диаграмма (рис. 5.6, в).
i(t) = IM · sin w t I· = Iej0 и
uL(t) = UM · sin(wt + 90°) U· = Ue
j90
.
Емкостный элемент в идеальном случае характеризуется емкостью С, которая рассматривается как величина, связывающая приложенное напряжение на конденсаторе с зарядом на его обкладках
q
C
= .
u
C
Эта величина считается постоянной в линейных цепях и измеряется в фарадах (Ф) или в уменьшенных кратных величинах: микрофарадах (мкФ), нанофарадах (нФ), пикофарадах (пФ), при этом
1мкФ = 10–6 Ф, 1нФ = 10
–9
Ф, 1пФ = 10
–12
Ф. Конденсаторы в элек-
трических цепях имеют близкие к идеальным свойства.
55
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ
Пусть, например, на идеальном емкостном элементе напряжение изменится по синусоидальному закону uC = UM · sin w t. Тогда
накапливаемый на обкладках заряд составит q = C · u
dq
i
а протекающий ток —
iC U t
=ЧЧ Ч = Ч +°= Ч +°wwwwwcos sin( ) sin( ),
M
=
или
dt
U
M
1
tIt
90 90
M
= C · UM · sin t,
C
C
1
где
wC
I
M
— сопротивление емкостного элемента,
=
X
C
U
M
=
— амплитуда тока.
1
C
w
Угол сдвига фаз для этого элемента составит
jy y
=-=-°=-=-°
ui
090
p
2
90().
Следовательно, в идеальном емкостном элементе ток опережает
напряжение на постоянный угол сдвига — 90°. Тогда при переходе
к символической форме можно записать
i(t) = IM · sin(w t + 90°) I· = Ie
j90
и
uC(t) = UM · sin w t U· = Uej0.
Условное обозначение идеального емкостного элемента приведено на рис. 5.7, а, векторная диаграмма — на рис. 5.7, в, волновая
диаграмма — на рис. 5.7, б.
56
ЛЕКЦИЯ 5. ЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА.
ОСНОВЫ СИМВОЛИЧЕСКОГО МЕТОДА. ЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ…
i
а
в
+j
j = –90°
·
U
C
u
·
I
C
б
+
ppp
22
u
, i
C
u
C
i
3
p
2
jt, рад
2p
Рис. 5.7. Идеальный емкостный элемент:
а — условное обозначение; б — волновая диаграмма тока и напряжения;
в — векторная диаграмма
Учитывая приведенные зависимости и свойства, для каждого иде-
ального элемента можно записать закон Ома в символической форме.
I
R
U
R
L
I
U
L
UIR
=Ч,
R
UIjLILe
=Ч =Ч Чww90,
L
j
C
I
U
C
UI
C
111
=Ч = -
jC
www
ж
IjCI
з
и
ц
=Ч
ч
ш
C
Тогда для ветви с последовательным соединением этих элемен-
тов можно записать
1
UU U U IRIjLI j
=++=Ч+Ч +Ч-
RLC
U
где
— комплекс полного напряжения в ветви,
1
ZRjLj
=+ -w
— комплекс полного сопротивления ветви.
C
w
ж
з
и
Следовательно, закон Ома для этой ветви примет вид
57
ц
IZ
,
=Чw
ч
C
w
ш
I
= .
-
90
j
e
.
U
Z
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ
Аналогично первый закон Кирхгофа в символической форме мож-
но представить в виде
е
in=
т. е. алгебраическая сумма комплекс-
I
=00,
i
ных значений токов всех ветвей, сходящихся в узле, равна нулю.
n
n
UE
=
Второй закон Кирхгофа имеет вид
ii
i
.
ее
== 11
i
Алгебраическая сумма комплексных напряжений в контуре равна алгебраической сумме комплексных ЭДС.
Пример построения векторной диаграммы для ветви, в которой
wL >
1
, приведен на рис. 5.8. При этом
wC
+j
·
U
= ·IjwL
L
·
U
UR = ·IR
1
·
U
= ·I(–j
C
wC
)
Рис. 5.8. Векторная диаграмма для ветви
с последовательным соединением резистора,
индуктивности катушки и емкости конденсатора
·
U
L
·
j=0
IIe
·
U
C
·
I
.
+
5.4. Понятие о треугольниках
сопротивлений и проводимостей
Рассмотрим вначале цепь с последовательным соединением
идеальных элементов: активного сопротивления и индуктивности
(рис. 5.9, а). Применяя второй закон Кирхгофа в символической
форме, можно записать
UU U IRIjLIZ
= + =Ч+Ч =Чw ,
RL
ZRjL=+w
где
— комплекс полного сопротивления цепи.
58
ЛЕКЦИЯ 5. ЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА.
ОСНОВЫ СИМВОЛИЧЕСКОГО МЕТОДА. ЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ…
Изобразим параметры R, wL, Z на комплексной плоскости
(рис. 5.9, б) и получим треугольник сопротивлений. Угол сдвига
фаз j может быть найден различными способами, в том числе через функцию arctg
X
jw==>arctg arctg
L
R
L
0.
R
Этот угол теоретически может изменяться в пределах 0° + 90°
в зависимости от соотношения wL и R. Обозначим комплекс полной проводимости этой цепи в виде
RjL
-
11
Y
G
=
где
B
=
аб в
I
U
+
ZRjL
22
RL
22
RL
R
()w
+
L
()
+ww
w
— активная проводимость цепи,
— модуль реактивной проводимости.
R
L
w
Ч
RjL
-
w
+j
=
Z
j
Y .
R
2222
RL
+
R
-
w
= jwL
jX
L
+
L
w
j
RL
w() ()
+
+j
j
Y
G
GjB==
=-
,
+
–jB < 0
Рис. 5.9. Цепь с последовательным соединением
резистора и индуктивного элемента:
а — расчетная схема; б — треугольник сопротивлений;
в — треугольник проводимостей
Треугольник проводимостей для этого случая приведен на рис. 5.9, в.
Для цепи, содержащей активное сопротивление и идеальный емкостной элемент, можно привести расчеты (рис. 5.10, а)
59
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ
11
где
ZRj
UU U IRI j
=+=Ч+Ч-
RC
1
=-
— комплекс полного сопротивления.
C
w
ж
з
и
ц
ж
IR j
=-
ч
C
ww
з
ш
и
C
ц
=Ч
ч
ш
IZ
.
Треугольники сопротивлений и проводимостей приведены
на рис. 5.10, б и рис. 5.10, в.
аб в
I
U
Рис. 5.10. Цепь с последовательным соединением резистора и конденсатора:
а — расчетная схема; б — треугольник сопротивлений;
+j +j
R
j
R
C
в — треугольник проводимостей
Z
–jwC < 0
+
1
Y
j
G
+jwC > 0
+
Не приводя длительных расчетов, покажем, что
jw=
X
C
=-
RCR
1
ж
з
и
ц
<arctg arctg а
ч
ш
0,
-
1
R
1
ж
2
R
+
з
C
w
и
j
-
2
ц
ч
ш
C
w
ж
2
R
+
з
и
,
2
1
ц
ч
C
w
ш
где
11
==
Y
Z
Rj
-
R
1
ж
2
+
R
з
w
C
и
— активная проводимость цепи,
=
G
2
ц
ч
ш
=
1
C
w
1
wwC
1
ж
2
+
R
з
C
и
— модуль реактивной проводимости цепи.
B
=
2
ц
ч
ш
60
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]