Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теоретические основы электротехники. Переходные процессы в линейных электрических цепях. Учебное пособие
.pdf
Министерство образования и науки Российской Федерации
НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
Ю.В. ПЕТРЕНКО
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ
ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ
В ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ
Утверждено Редакционно-издательским советом университета
в качестве учебного пособия
НОВОСИБИРСК
2016
1
УДК 621.3.018.782.3(075.8)
П 303
Рецензенты:
А.В. Сапсалев, д-р техн. наук, профессор
Ф.Э. Лаппи, канд. техн. наук, доцент
Работа подготовлена на кафедре теоретических основ
электротехники для студентов дневного и заочного отделений
электротехнических специальностей
Петренко Ю.В.
П 303 Теоретические основы электротехники. Переходные про-
цессы в линейных электрических цепях :
учебное пособие /
Ю.В. Петренко. – Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2016. – 84 с.
ISBN 978-57782-2812-2
В пособии рассматриваются методы расчета переходных процессов в линейных электрических цепях постоянного и переменного тока. Для лучшего понимания теоретического курса приводятся варианты решения практических задач с подробными пояснениями.
Структура и содержание пособия соответствуют программе курса
«Теоретически основы электротехники» для студентов электротехнических специальностей.
Предназначено для самостоятельной работы
ческих специальностей всех форм обучения.
студентов энергети-
УДК 621.3.018.782.3(075.8)
ISBN 978-5-7782-2812-2 Петренко Ю.В., 2016
Новосибирский государственный
технический университет, 2016
2
ВВЕДЕНИЕ
Настоящее пособие является продолжением курса теоретических
основ электротехники [5] и посвящено изучению методов расчета переходных процессов в линейных электрических цепях постоянного и
переменного тока.
Курс соответствует требованиям Государственного образовательного стандарта для специальностей вузов по направлению электроэнергетика.
Так же как и первая часть, настоящее пособие состоит
из разделов,
разделенных по темам, соответствующих программе курса. Рассмотрены типы переходных процессов, различающихся источниками питания
и видом дифференциального уравнения.
Каждая из тем рассмотрена достаточно подробно теоретически, а
также содержит практические задачи, позволяющие наиболее полно
освоить необходимую тему и помочь при подготовке к сдаче экзамена.
Пособие предназначено для самостоятельной работы
студентов, а
также может быть полезно аспирантам и магистрантам при освоении
курса теоретических основ электротехники.
3
1. КЛАССИЧЕСКИЙ МЕТОД РАСЧЕТА
ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ
Определение
Переходным процессом в электрической цепи называется электрический процесс, соответствующий переходу цепи из одного установившегося состояния или режима в другое установившееся состояние
или режим
Переходный процесс возникает в электрической цепи при изменении амплитуды, частоты, формы источника питания или при изменении конфигурации электрической цепи, которое производят с помощью ключей. Считается, что замыкание или размыкание ключа происходит мгновенно. Мгновенное изменение конфигурации электрической цепи называется коммутацией.
Мгновенное изменение конфигурации электрической цепи не
жет привести к мгновенному возникновению нового установившегося
режима, так как в этом случае напряжение на индуктивном элементе и
ток в емкости будут бесконечно большими, и в цепи не будет выполняться второй закон Кирхгофа, т. е.
мо-
()
di t
UL iC
Lc
dt dt
,.
du
c
(1.1)
С энергетической точки зрения не может измениться скачком энергия в емкостях и индуктивностях, в противном случае было бы необходимо иметь бесконечные по мощности источники энергии.
Изменением энергии в активных сопротивлениях пренебрегают и
считают, что переходный процесс в резистивной электрической цепи
протекает мгновенно. На схеме электрической цепи изменение ее
кон-
фигурации обозначается ключами.
4
ключ замыкается
ключ размыкается
Для расчета переходного процесса необходимо знать токи и
напряжения непосредственно перед замыканием (размыканием) ключа.
Поэтому вводятся понятия до- и послекоммутационного времени. При
этом рассматривают два практически одинаковых момента времени:
t (0–) – момент времени непосредственно перед коммутацией;
t (0+) – момент времени непосредственно после коммутации.
Если рассмотреть ось времени (рис. 1.1), считая, что коммутация
происходит
при t = 0, то указанные моменты времени показаны вертикальными отрезками вблизи оси ординат. Отрицательное время соответствует докоммутационному режиму работы электрической цепи, а
положительное время – послекоммутационному режиму.
Докоммутационное
время, t < 0
t = 0– t = 0+
Рис. 1.1. Временная ось
Послекоммутационное
время, t > 0
t
Переходные процессы в электрических цепях описываются неоднородными дифференциальными уравнениями. Сложность расчета
заключается в определении постоянных интегрирования в решении
дифференциальных уравнений.
Рассмотрим некоторую электрическую цепь (рис. 1.2).
Составим для этой электрической цепи уравнение для мгновенных
значений по второму закону Кирхгофа:
() 1
di t
() () .
itR L itdt u
dt C
(1.2)
Продифференцируем (1.2) по времени
() () ()LCi t i t RC i t Cu
. (1.3)
5
R
L
C
u
Рис. 1.2. Переходной процесс в последовательной
электрической цепи
i(t)
Уравнение (1.3) является обыкновенным дифференциальным уравнением второго порядка и может быть записано в общем виде:
n
k
()
ai ut
k
1
k
().
(1.4)
Решение дифференциального уравнения (1.4) состоит из суммы
общего решения однородного (без правой части) и частного решения
неоднородного дифференциального уравнения. Например, для тока
() () ()it it it
. (1.5)
общ част
При теоретическом исследовании переходных процессов в электрических цепях общее решение уравнения (1.5) называется свободным, а частное – принужденным.
Общее решение, или свободный режим, отыскивается по послекоммутационной электрической схеме и определяется только запасом
энергии в индуктивностях и емкостях.
Частное решение, или принужденный режим, определяется по дифференциальному уравнению с правой
частью и отыскивается по послекоммутационной электрической схеме. При этом считается, что после
начала переходного процесса прошло очень много времени (t = ∞).
К этому времени переходный процесс заканчивается, режим становится установившимся и определяется источником питания.
Общее решение (свободный режим) уравнения (1.4) известно из
математики и имеет следующий вид:
n
pt
k
() ,
it Ae
cв
k
1
6
(1.6)
k
A – неизвестные постоянные интегрирование;
p
p
p
где
k
– корни харак-
k
теристического уравнения.
Так как переходные процессы должны быть затухающими, корни
характеристического уравнения должны быть обязательно отрицательными.
1.1. КОРНИ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ
Корни
находятся путем решения характеристического уравне-
k
ния, полученного для однородного дифференциального уравнения при
его алгебраизации. Однако такое же уравнение может быть получено
еще несколькими способами.
1. Из уравнения
() 0p , где ()
– главный определитель систе-
мы уравнений, составленных для послекоммутационной цепи по методу
контурных токов, при этом L заменяют на рL, а С на (1/рС). Сами же
токи при этом зависят от параметра р (т. е. i (t) заменяем на I(p)).
2. Из уравнения Z(р) = 0, где Z(р) – входное (полное)
сопротивление всей электрической цепи относительно зажимов источника при тех
же условиях, что и в п. 1.
Первый способ применяется для сложных разветвленных электрических цепей, второй – обычно для последовательно-параллельных
цепей.
Рассмотрим предложенные способы определения корней характеристического уравнения на примере электрической цепи, изображенной на рис. 1.3. Представленная на рис. 1.3 электрическая
цепь является двухконтурной цепью второго порядка, переходный процесс в которой возникает при исключении из цепи сопротивления R при помощи
ключа.
Для отыскания корней уравнения рассмотрим послекоммутацион-
ную электрическую цепь (после замыкания ключа) (рис. 1.4).
В соответствии с выбранными направлениями контурных токов за-
пишем уравнения:
()( ) ()(0) ();
IpRpLI p Up
11 1 22
Ip I pR Up
11 22 2
()(0) () ().
7
1
pC
(1.7)
Рис. 1.3. Переходный процесс
в последовательно-параллельной цепи
I(p)
I (p)
2
R
2
1
рC
U(p)
I (p)
11
I (p)
22
I (p)
1
R
1
рL
Рис. 1.4. После коммутационная электрическая схема
Общий случай отыскания корней через главный определитель си-
стемы (1.7) имеет следующий вид:
RpL
1
0
0
() 0
RpLR
1
R
2
pC
12
1
pC
. (1.8)
Из выражения (1.8) получим
()0,RpL
1
8
1
2
pC
0R
. (1.9)
В результате решения системы (1.9) получим корни характеристи-
R
R
R
R
R
R
ческого уравнения:
1
pL
1
,
p
2
1
.
C
2
Рассмотрим другой способ получения корней характеристического
уравнения. Входное сопротивление схемы, изображенной на рис. 1.4,
()
RpLR
12
() 0.
Zp
()
RpL R
12
1
pC
1
pC
(1.10)
Из (1.10) следует, что
pL
1
1
p
,
2
1
.
C
2
Проанализировав полученные результаты, нетрудно заметить, что
корни характеристического уравнения в обоих случаях имеют одно и
то же значение.
Следует отметить, что существует достаточно большое количество
электрических схем, в которых переходный процесс происходит из-за
присутствия только одного реактивного элемента. В таких цепях корни
характеристического уравнения могут определяться простыми формулами. Например, если в цепи одна индуктивность, то
R
экв
pL
, (1.11)
а в цепи с одной емкостью
1
, (1.12)
C
экв
где
p
– входное сопротивление всей цепи относительно реактивно-
экв
го элемента.
9
Таким образом, после определения корней может быть найдено
решение дифференциального уравнения, описывающего переходный
процесс в электрической цепи:
n
pt
() () () () .
it it it it Ae
пр св пр
k
k
(1.13)
k
1
Расчет кривой переходного процесса по уравнению (1.13) возможен, если определены постоянные интегрирования
A
, причем посто-
k
янные интегрирования могут быть определены, если известны значения токов и его n – 1 производной в какой-либо момент времени. Чаще
всего этим моментом времени является t = 0, а значения токов и его
n – 1 производной при t = 0 называются начальными условиями.
1.2. НАЧАЛЬНЫЕ УСЛОВИЯ
Итак, под начальными условиями понимают значения токов и
напряжений в момент времени t = 0+. При этом различают независимые и зависимые начальные условия. К независимым начальным условиям относятся величины, которые не изменяют своих значений в момент коммутации, т. е. при t = 0+.
1.2.1. НЕЗАВИСИМЫЕ НАЧАЛЬНЫЕ УСЛОВИЯ
Независимые начальные условия базируются на законах комму-
тации.
Первый закон коммутации формируется следующим образом.
Ни в одном замкнутом контуре электрической цепи
потокосцепление не может измениться скачком
Математически это можно записать так:
(1.14)
(0 ) (0 ).
Если в рассматриваемой электрической цепи присутствует только
одна линейная катушка индуктивности, то имеем
10
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]