Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теоретические основы электротехники. Переходные процессы в линейных электрических цепях. Учебное пособие
.pdf
В качестве примера рассмотрим определение переходной проводимо-
L
L
L
A
L
L
сти и переходной функции по напряжению при включении цепи R-L
(рис. 3.4) на скачкообразную форму приложенного напряжения (рис. 3.5).
Пример 4
Дано:
R = 1 Ом
L = 0,1 Гн
() ?gt
() ?Yt
Рис. 3.4. Включение цепи R-L
на
E = 1 B
Решение
1. Определение g(t) и Y(t):
ti
1) 0 0;
ti
;
2)
R
p
;
3)
L
E
R
10 c
1A
1
L
iii
4) (0 ) (0 ) (0) 0;
5)
() ();
it i i t
LLL
6)
(0) 1 ,
iA
() 1
it e
, ( ) ( )
LL
пр св
?A
01
10
t
,
ut Lit e
,
t
Окончательные ответы:
10
t
() 1 ;
gt e
()
61
Yt e .
t
Рис. 3.5. Скачкообразная (ступенчатая) форма
приложенного напряжения
2. Запишем определение тока для различных интервалов времени
см. (рис. 3.5):
1)
0,tT0() ()it U gt
1
;
2)
3)
4)
5)
12
23
34
tT ,
44
,TtT
() () ( )it U gt Ugt T
,TtT
() () ( ) ( )it U gt Ugt T U gt T
,TtT
() () ( ) ( ) ( )it U gt Ugt T U gt T U gt T
() () ( ) ( ) ( )it U gt Ugt T U gt T U gt T
4
0112233
;
011
; (3.4)
01122
;
0112233
()Ugt T.
3.2. ВЫВОД ФОРМУЛЫ ИНТЕГРАЛА ДЮАМЕЛЯ
Заменим непрерывно меняющееся напряжение (рис. 3.6) ступенчатой функцией с элементарными прямоугольными скачками. Тогда
процесс изменения напряжения представляется как включение цепи
при t = 0 на постоянное напряжение U(0) и последовательное включение элементарных постоянных напряжений Δu со знаком плюс для
возрастающего напряжения и знаком минус – для уменьшающегося,
смещенных во времени на интервалы
в некоторый момент времени
u
. Производная от напряжения
()
u
.
62
Рис. 3.6. Непрерывно меняющееся напряжение
Тогда элементарный скачок напряжения
, (3.5)
()uu
а ток
. (3.6)
() ( ) ( )it u gt
Суммируя токи от всех элементарных скачков на интервале от t = 0
до момента t и учитывая первоначальный скачок напряжения
лучим
U
, по-
0
() () ( ) ( )it U gt U gt
0
Если прейти в (3.7) к пределу при
() () () ( ) ;
it U gt u gt d
ut UYt u Y t d
0
() () ( ) ( )
0
0
, то будем иметь
t
0
t
0
Выражения (3.8) – формулы интеграла Дюамеля.
63
. (3.7)
(3.8)
3.3. ПОРЯДОК РАСЧЕТА ПЕРЕХОДНОГО
ПРОЦЕССА В ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЦЕПИ
С ПОМОЩЬЮ ИНТЕГРАЛА ДЮАМЕЛЯ
1. Выберем форму записи интеграла Дюамеля.
2. Если электрическая цепь с ненулевыми начальными условиями,
то приведем ее к нулевым начальным условиям.
3. Определим переходную проводимость g(t) или переходную
функцию по напряжению Y(t) для заданной ветви электрической цепи,
для чего:
а) считаем ЭДС, действующую в цепи, постоянной и равной 1 В;
рассчитываем переходной процесс любым методом, определяя
б)
g(t) или Y(t).
4. Заменим в g(t) или в Y(t) время t на (t – τ) и составим формулу
интеграла Дюамеля.
5. Проинтегрировав полученные выражения, получаем окончатель-
ное выражение для тока или напряжения.
Рассмотрим пример включения пассивного двухполюсника
(рис. 3.1, а) на непрерывно
меняющееся напряжение сложной фор-
мы (рис. 3.7).
Рис. 3.7. Напряжение на входе двухполюсника
Пусть g(t) уже известно. Найдем ток в произвольной ветви нашего
двухполюсника для всех интервалов времени изменения напряжения.
Для упрощения и формализации процесса записи формул будем учитывать следующее:
а) так как переходный процесс теоретически длится бесконечное
время, «отголоски» тока от предыдущего интервала будут присутствовать во всех последующих интервалах изменения
64
напряжения;
б) при переходе рабочей точки из одного временного интервала в
другой верхний предел интеграла (текущий t) будет заменяться на
время конца интервала, так как изменяющееся напряжение предыдущего интервала будет включено уже полностью;
в) подынтегральное выражение по своей форме не изменяется, учитывается только индекс меняющегося напряжения;
г) если в
рассматриваемом интервале времени существует скачок
напряжения, в запаздывающей переходной проводимости фиксируется
момент времени, соответствующий этому скачку (см. формулы (3.4));
д) верхний предел последнего по счету интеграла (начиная с перво-
го) всегда t.
Выражения для тока при изменении напряжения (см. рис. 3.7) для
различных интервалов времени:
0 t Т
1)
2)
ttt
12
1
t
() () ( ) ( )
it U gt u gt
() () ( ) ( ) ( )
it U gt u gt ugt T
01 11
01
t
1
0
;
0
t
() ( )
ugt
;
2
t
1
3)
ttt
23
t
1
() () ( ) ( ) ( )
it U gt u gt ugt T
01 11
t
2
() ( ) () ( )
ugt ugt
23
tt
12
0
t
65
;
ttt
4)
34
t
1
() () ( ) ( ) ( )
it U gt u gt ugt T
01 11
0
t
2
() ( ) () ( ) ( ) () ( )
ugt ugt ugtT ugt
23224
tt t
12 3
tt
5)
4
() () ( ) ( ) ( )
it U gt u gt ugt T
t
2
() ( ) () ( ) ( )
ugt ugt ugtT
2322
tt
12
t
3
t
1
01 11
0
t
3
t
t
4
() ( ) () ( ) .
ugt ugt
45
tt
34
t
ВЫВОДЫ
1. Интеграл Дюамеля применяется для расчета переходных процессов в электрических цепях только при нулевых начальных условиях.
Если независимые начальные условия не нулевые, необходимо исследуемую цепь привести к нулевым начальным условиям.
2. При записи интеграла Дюамеля удобно пользоваться следующими формальными правилами:
верхний предел последнего в записи интеграла всегда t;
подынтегральное выражение в записи интеграла по своей струк-
туре не изменяется, меняется только индекс у напряжения, соответствующий рассматриваемую интервалу времени;
скачок напряжения записывается со своим знаком («вверх» –
плюс, «вниз» – минус), при этом в переходной проводимости (или переходной функции по напряжению) фиксируется момент скачка.
66
;
3. Интеграл Дюамеля записывается отдельно для каждого интерва-
р
R
R
ла времени. Сколько различных интервалов изменения напряжения
задано, столько и формул интеграла Дюамеля должно быть в ответе.
Пример 5
Дано:
Найти ток в емкости в пе-
еходном режиме, если, ( )et
300
100te
Рис. 3.8. Исходная схема
,
R
R3 = 30 Ом, С = 100 мкФ.
3
= 10 Ом,
1
=
2
Решение
Изобразим график напряжения на входе схемы (рис. 3.8). Как вид-
но из рис. 3.9, скачок напряжения в момент времени t = 0 составит
100 ВU , и далее по экспоненциальному закону напряжение убыва-
0
ет до нуля при t, равном бесконечности.
Расчет переходного процесса методом интеграла Дюамеля распадается на два этапа: первый – расчет переходной проводимости и переходной функции по напряжению, второй – непосредственная запись
формулы интеграла для каждого интервала времени.
Рис. 3.9. Входное напряжение
I. Расчет переходной проводимости и переходной функции по
напряжению.
Найдем указанные величины классическим методом. В данном
случае переходная проводимость – это ток в емкости при включении
всей цепи (рис. 3.8) на единичную ЭДС постоянного тока (т. е. считаем
67
е(t) = Е= 1 В), а переходная функция по напряжению равна напряже-
R
нию на емкости.
Анализ работы цепи
В электрической цепи (рис. 3.8) нулевые начальные условия. Так
как в цепи один реактивный элемент, то дифференциальное уравнение
Ut и ()
для ()
c
it будет первого порядка, следовательно, решение име-
c
ет один корень характеристического уравнения с одной неизвестной
постоянной интегрирования.
1. Докоммутационный установившийся режим (t < 0)
0
U
.
c
2. Принужденный установившийся режим (t → ∞)
пр
1
30 0, 75 B
40
0.
,
UR
пр 2
c
E
RR
12
i
c
3. Корень характеристического уравнения
Корень характеристического уравнения найдем из формулы
1
,
R С
экв
где
р
– сопротивление всей цепи относительно емкости.
экв
Рис. 3.10. Схема соединения сопротивлений
Эквивалентное сопротивление относительно зажимов емкости найдем по электрической послекоммутационной схеме, приравняв нулю
величину ЭДС, но оставив ее внутреннее сопротивление (рис. 3.10).
Как видно из рис. 3.10, эквивалентное активное сопротивление относительно зажимов емкости будет равно
68
RR
А
RR
экв 3
12
RR
12
6
p
10 1
10 30
30 37,5 Ом
40
266,67 .
37.5 100 c
4. Переходной ток и напряжение на емкости:
() 0,75 ,
ut U u А e
c с c
пр св
()
it i i Ae
.
ccс
пр св 1
266,67
266,67
t
,
t
5. Определение постоянных интегрирования А и
A .
1
Запишем выражения по п 4. при t = 0+:
() 0,75 , () .
ut
cc
it A
1
6. Начальные условия
Независимые начальные условия (законы коммутации)
(0 ) (0 ) 0.
uu
С учетом независимых начальных условий получим зависимые
(0 )
i :
c
R
1
E
RR
(0 ) 0,02 A
i
c
Найдем постоянные интегрирования А и
00,75 , 0,75;АА
0,02 0 , 0,02.АА
7. Переходной
( ) 0,02 , ( ) 0,75 0,75
it e Ut e
.
cc
ток в емкости и напряжение на ней:
266,67 266,66
cc
R
2
RR
23
23
RR
23
11
tt
130
25 60
A :
1
.
69
Выражения для ()
g
() 0,02 , () 0,751 .
gt e Yt e
t и ()Yt имеют вид
266,67 266,67
tt
II. Запись интеграла Дюамеля.
1. Для тока:
t
( ) ( ) ( ) ( ) 100 0,02
it Ugt u gt e
c
0,06 10
33,33
0
t
0
4
4 300 266,67( ) 266,67
310 0,02 2
266,67 t 33,33 266,67 266,67 300
eede ee
0
ee e
t
0
266,67 300
20 18
ee
tt
218( )
tt
ttt
266,67
t
2. Для напряжения:
t
() () ( ) ( )
ut UYt u Yt
c
266,67 4 300 266,67( )
100 0, 75(1 ) 3 10 0, 75(1 )
eee
0
t
tt
0
266,67 300
750 600
.
ee
0
tt
Ответ:
() 20 18
it e e
c
( ) 750 600
ut e e
c
266,67 300
tt
266,67 300
tt
70
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]