Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теоретические основы электротехники. Переходные процессы в линейных электрических цепях. Учебное пособие
.pdf
Так как в нашем случае ток в индуктивности в докоммутационном
E
R
EAR
RtL
R
L
RtL
RtL
L
режиме уже найден (см. п. 1), получим
(0 ) (0 )
ii
,
LL
или
.
Зависимые начальные условия в данной задаче определять нет
необходимости, так как постоянная интегрирования уже найдена.
7. Окончательное решение для тока:
E
()
.
it e
R
8. Определения напряжения на индуктивности:
tt
L
dt dt L R
() ()
dt dit RE
()
Ut L L e Ee
.
R
L
9. Окончательно для тока и напряжения на индуктивности имеем
E
()
;
it e
R
()
Ut Ee
.
Графики переходного процесса изображены на рис. 1.12.
Рассмотрим изменение энергии в режиме переходного процесса в
электрической цепи (см. рис. 1.9). Энергия магнитного поля, запасенная катушкой индуктивности в докоммутационном режиме, равна
2
W . (1.32)
LI
M
2
21
E
M
Рис. 1.12. Графики изменения тока и напряжения
на индуктивности в режиме переходного процесса
Энергия, выделившаяся в активном сопротивлении и рассеянная в
окружающем пространстве в виде тепла, будет
WitRdt e dt edt
2
()
R
00 0
tt
LL
R
ELi
R
2
RR
2
22
2
. (1.33)
2
Как следует из анализа соотношений (1.32) и (1.33), энергия магнитного поля в индуктивности и энергия, рассеянная в сопротивлении,
абсолютно одинаковы, что еще раз говорит о незыблемости закона сохранения энергии. Таким образом,
WW
1.3.2. ВКЛЮЧЕНИЕ ЦЕПИ R-L НА СИНУСОИДАЛЬНОЕ НАПРЯЖЕНИЕ
. (1.34)
R
Рассмотрим электрическую цепь, представленную на рис. 1.13.
Пусть известны параметры этой цепи (L, R), а также приложенное к
() sin( )
ней напряжение
ut U t. Рассчитаем ток в цепи и напря-
m
жение на индуктивности после замыкания ключа классическим методом. При этом будем придерживаться изложенного в разделе 1.2.3 порядка расчета переходных процессов.
1. Докоммутационный установившийся режим (ключ разомкнут,
t < 0), рис. 1.14.
22
L
Рис. 1.13. Включение цепи R-L на сину-
соидальное напряжение
Рис. 1.14. Электрическая цепь в докомму-
тационном режиме
Из рис. 1.14 очевидно, что ток при t < 0
0i
,
или
(0 ) (0 ) 0.
ii
(1.35)
2. Принужденный установившийся режим ()t . В цепи суще-
ствует установившийся синусоидальный режим (рис. 1.15).
Рис. 1.15. Установившийся принужденный режим
в электрической цепи
23
it t
L
X
R
L
Z
R
RtL
R
L
Z
пр
, (1.36)
Z
U
() sin( )
гдe
arctg ,
22
RX.
3. Корень характеристического уравнения. Корень характеристиче-
ского уравнения получим из уравнения
() 0,Zp
или
RpL p
0,
.
L
4. Свободная составляющая переходного процесса. По виду корня
делаем заключение об апериодическом характере переходного процесса и записываем решение для свободной составляющей переходного
тока в виде
()
it Ae
св
. (1.37)
5. Переходной ток в цепи:
t
U
it i t i t t Ae
() () () sin( ) .
(1.38)
пр св
m
Z
6. Начальные условия.
Независимые начальные условия
В соответствии с первым законом коммутации
(0 ) (0 ) (0 ) 0
iii
.
LL
Запишем уравнение (1.38) при t = 0+ :
U
iA
(0 ) sin( ) ,
m
откуда следует, что
24
U
R
L
A
m
sin( ) .
Z
7. Получив постоянное интегрирование А, запишем окончательный
ответ:
t
UU
it t e
() sin( ) sin( )
mm
. (1.39)
ZZ
На рис. 1.16 представлена графическая зависимость переходного
тока в цепи при
.
6
Рис. 1.16. Переходной ток в цепи с индуктивностью
при синусоидальном источнике питания
Анализ кривой, представленной на рис. 1.16, показывает, что существует наибольшее значение переходного тока примерно через половину периода принужденной составляющей. Эту величину тока часто
называют ударным током. Величина ударного тока сильно зависит от
параметров электрической цепи, которые определяют начальную фазу
принужденного тока. Так, если
, то выражение (1.39) будет
2
иметь вид
25
R
t
L
Z
UU
mm
() sin sin
it t e
ZZ
22
, (1.40)
и через половину периода мы получим ударную величину переходного
тока, практически равную двойному амплитудному значению принуж-
2
U
денной составляющей, т. е.
()
it
m
(рис. 1.17).
Рис. 1.17. Переходной процесс в цепи R-L при
2
Если ключ замыкается в момент времени, когда принужденная составляющая проходит через ноль, то 0
в цепи отсутствует переходной процесс (
Рис. 1.17. Переходной ток при включении
цепи R-L при
, и, как следует из (1.39),
(0)it) (рис. 1.18).
св
0
0
26
ВЫВОДЫ
Е
R
R
R
1. Характер переходного процесса определяется корнями характеристического уравнения, которые зависят от параметров электрической цепи.
2. Энергия, выделяющаяся в режиме переходного процесса, расходуется в виде тепла в активных сопротивлениях цепи.
3. Наиболее опасен переходной процесс при питании цепи синусоидальным током в связи с появлением ударного тока, существенно
превышающего рабочий (
номинальный) ток энергоустановки.
4. В цепях синусоидального тока возможен режим, при котором
переходной процесс будет отсутствовать.
Пример 1
Рассмотрим электрическую цепь первого порядка
Задача 1
Дано:
= 150 В;
Рис. 1.19. Исходная электрическая
цепь
R = 100 Oм,
1 2
= 60 Ом L = 0,1 Гн.
4
Определить ток
переходного процесса.
= 40 Ом;
3
()it в режиме
3
Решение
Проведем предварительный анализ цепи. Электрическая цепь со-
держит один реактивный элемент, значит, дифференциальное уравнение, составленное для тока
()it, будет первого порядка, следователь-
3
но, и электрическая цепь будет первого порядка. В решении классическим методом будет присутствовать один корень характеристического
уравнения и одна постоянная интегрирования.
1. Докоммутационный установившийся режим, t < 0:
а) найдем величину, которая относится к независимым начальным
условиям (в данном случае – это ток в индуктивности);
б) найдем входное
RR
вх 1
сопротивление цепи (рис. 1.20):
RR
Ом,
23
RR
23
100 40
100 128,57
140
27
вх
L
150
128,57
1,167
E
iR
1
А,
R
ii
3
2
L
RR
23
Рис. 1.20. Электрическая цепь до коммутации
100
1,167 0,834
140
(ключ замкнут)
A, (0 ) 0,834 A
i
.
2. Установившийся принужденный режим, t (рис. 1.21).
(t)
i
1пр
R
1
E
i
(t)
2пр
Рис. 1.21. Установившийся режим
в электрической цепи
i
(t)
3пр
R
2
R
4
R
3
В установившемся режиме работы цепи ток от времени уже не изменяется, поэтому индуктивность представляет собой просто провод,
или, как говорят электротехники, «закоротку». Конечно, ключ уже совершил предписанное ему действие – разомкнулся. Тогда
i
1пр
R
1
E
()
RR R
23 4
RRR
234
28
150
100 50
1A,
R
L
L
ii
4пр 1пр
2
RRR
234
100
10,5A
.
200
3. Корни характеристического уравнения. Характеристическое
уравнение получим в виде формулы входного сопротивления относительно зажимов источника, т. е. Z(р) = 0.
RR pLR
()
Z р R
() 0
34 2
RR pLR
()
34 2
1
.
Откуда следует:
RR R R R R
p
()()
12 3 4 1 2
( ) 200 0,1 c
RRL
12
100 100 100 200 1
4. Свободная составляющая переходного процесса
3
1,5 10
t
1,5 10
3
t
, А.
5. Ток
() ,
itAe
3св
()it в режиме переходного процесса
1
() () () 0,5
it i t i t Аe
33пр 3св
А.
6. Найдем постоянную интегрирования А.
Независимые начальные условия (первый закон коммутации)
(0 ) (0 ) 0,834 A.
ii
Так как в послекоммутационном режиме ток
it, то значение тока 3()0i
ку ()
Запишем
()it в момент времени t = 0+ :
1
(0 ) (0 ) (0 ) 0,5 .ii i А
33пр 3св
Подставим в полученное выражение значение тока
L
()it будет равен то-
3
известно и будет равно
(0) 0,834A.i
3
i при t = 0+ .
3
0,834 0, 5 ,А
1500
.
29
откуда следует, что
0,334А
.
Таким образом, окончательный ответ имеет вид
3
1,5 10
() 0,5
it Аe
, A.
3
t
1.4. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ
В ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ ВТОРОГО ПОРЯДКА
1.4.1. РАЗРЯД КОНДЕНСАТОРА НА ЦЕПОЧКУ R-L
Рассмотрим электрическую цепь (рис. 1.22), состоящую из заряженного до напряжения
U конденсатора и последовательного соединения
0
активного сопротивления и катушки индуктивности. Переходный процесс возникает в электрической цепи вследствие замыкания ключа.
Рис. 1.22. Электрическая цепь
второго порядка
В электрической цепи (см. рис. 1.22) известны параметры цепи и
напряжение
U . Анализ переходного процесса в цепи будем вести в
0
соответствии с принятым ранее порядком расчета. Найдем ток в электрической цепи после замыкания ключа. Известно, что характер переходного процесса зависит от вида корней характеристического уравнения. Составим характеристическое уравнение для электрической цепи
(рис. 1.22) в виде входного сопротивления цепи относительно
зажимов
ключа. Тогда получим
() 0Zp,
вх
30
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]