Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теоретические основы электротехники. Переходные процессы в линейных электрических цепях. Учебное пособие
.pdf
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Атабеков Г.И. Теоретические основы электротехники: учебник для ву-
зов. В 3ч. Ч. 1. Линенйные электрические цепи / Г.И. Атабеков. – 5 изд., исправл. – М.: Энергия, 1978.
2. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники /Л.А. Бессонов. –
М.: Высшая школа, 1984.
3. Зевеке Г.В. Основы теории цепей / Г.В. Зевеке, П.А. Ионкин, А.В. Не-
тушил, С.В.Страхов. – 5-е изд., перераб. – М.: Энергоатомиздат, 1989.
4. Матханов П.Н. Основы анализа электрических цепей. Линейные цепи /
П.Н. Матханов. – М.: Высшая школа,1990.
5. Петренко Ю.В. Теоретические основы электротехники: учеб. пособие.
Ч. 1 / Ю.В. Петренко. – Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2009.
6. Теоретические основы электротехники: учебник для вузов. В 3 т. /
К.С. Демирчан, Л.Р. Нейман, Н.В. Коровин, В.Л. Чечурин. – Т. 1. – СПб.: Питер, 2003.
7. Практический курс электротехники: метод. руководство для студентов
дистанционной формы обучения / Б.В. Литвинов, Ю.В. Петренко, В.Т. Мандрусова. – Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2003.
8. Практический курс электротехники: сборник задач для студентов оч-
ной и дистанционной форм обучения. Ч. 2. / Б.В. Литвинов, В.Т. Мандрусова,
Ю.В. Петренко, Н.А. Юрьева. – Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2003.
9. Алгоритмизированнные задания по курсу ТОЭ: метод. пособие /
В.А. Аксютин, Б.В. Литвинов, Ю.В. Петренко. – Новосибирск: Изд-во НГТУ,
2003.
10. Теоретические основы электротехники в примерах и задачах. Ч. 1. Ли-
нейные электрические цепи / В.Ю. Нейман. – Новосибирск: Изд-во НГТУ,
2008.
11. Абрамовиц М., Стиган И. Справочник по специальным функциям. –
М.: Наука, 1979.
12. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и
произведений. – М.: Наука, 1971.
71
ПРИЛОЖЕНИЕ
П1. Метод Богатырева
Метод Богатырева является комбинацией двух ранее рассмотренных методов: операторного метода расчета переходных процессов и символического
метода расчета электрических цепей в установившемся режиме. Он применяется для расчета переходных процессов на переменном токе. При этом процесс расчета осуществляется в два этапа. На первом этапе выполняется расчет
установившегося режима символическим (с
методом, как в первой части курса ТОЭ [5]. На втором – производится отыскание свободного переходного режима операторным методом. Такой подход
преследует практически одну цель – упростить математические выражения,
получающиеся при непосредственном использовании операторного метода,
так как изображение самой синусоидальной ЭДС уже достаточно сложное:
Е sin( ) ,
LtE
mm
0
а если таких ЭДС несколько, то окончательное выражение для переходного
тока или напряжение будет очень непростым.
помощью комплексных чисел)
sin cos
p
0
22
p
0
(П1)
Порядок расчета цепи методом Богатырева
1. Рассчитываем электрическую цепь в установившемся докоммутацион-
0 и() ()0
ном режиме символическим методом, определяем
Ui .
cL
2. Рассчитываем электрическую цепь в установившемся послекоммутаци-
онном режиме символическим методом и определяем
также искомую величину (например,
()
ut).
c
0,() 0()
Ui , а
пр пр
с L
3. Определяем внутренние свободные операторные ЭДС на емкости и ин-
дуктивности.
4. Рассчитываем операторным методом свободный режим в электриче-
ской цепи.
5. Осуществляем переход от изображения свободного тока (напряжения) к
оригиналу.
72
6. Записываем окончательное решение в виде суммы свободного и при-
L
L
L
нужденного тока (напряжения).
7. Осуществляем проверку полученного решения.
Внутренние свободные ЭДС
1. t < 0 Принужденный докоммутационный режим:
j
uj
ci
UUe I Ie
.
cm Lm
cm
( ) sin( )
ut U t ; (П2)
ccm Uc
() sin( )
it I t . (П3)
Рассмотрим (П2) и (П3) при t = 0–. Получим
(0 ) sin
uU
ccmUc
(0 ) sin
iI
2. t→∞ Принужденный послекоммутационный режим:
UUe
cm
IIe
Lm
,
Lm
Lm i
; (П4)
. (П5)
Lm i
j
u
c
пр
(П6)
cm
пр
пр
пр
Lm
j
пр
;
i
пр
. (П7)
Запишем (П5) и (П6) в мгновенной форме:
() sin( )
utU t
пр пр пр
ccm Uc
() sin( )
itI t
пр пр пр
LLm i
Подставим в (П7) и (П8) время
(0 ) sin
uU
пр пр пр
ccmUc
(0 ) sin
iI
пр пр пр
t = 0+:
Lm i
; (П8)
. (П9)
; (П10)
. (П11)
73
Напряжение на емкости и ток на индуктивности в переходном режиме
–
при
t = 0+:
(0 ) (0 ) (0 )
UU U
; (П12)
c сс
пр св
(0 ) (0 ) (0 )
ii i
LL L
пр св
. (П13)
3. Учитывая, что по законам коммутации
(0 ) (0 )
UU
ii
; (П14)
cc
(0 ) (0 )
, (П15)
LL
получим
(0 ) ( (0 ) (0 ))
Li L i i
LLL
UUU
св пр
(0) (0)
св пр
с c с
(0)
pp
; (П16)
. (П17)
В выражениях (П16) и (П17):
– внутренняя свободная операторная ЭДС на индуктивности;
(0 )
Li
св
L
U
св
с
(0)
p
внутренняя свободная операторная ЭДС на емкости.
Для более полного понимания предложенного метода рассмотрим простейший пример расчета переходного процесса на переменном токе при ненулевых независимых начальных условиях (рис. П1).
Дано:
RR
1 2
= 2 Oм, L = 9,55 ·
3
10 Гн;
е(t) =220 sin (314t – 45º).
Рис. П1. Заданная электрическая
цепь
Определить
()it методом Богатырева.
74
1. Установившийся докоммутационный режим (t < 0):
E
m
I
m
Zj
220 45 220 45
43 536,87
44 86, 87 A.
(П18)
Мгновенное значение тока до коммутации:
( ) 44 sin (314 86,87 ) Ait t
В момент коммутации (при
(0 ) 44sin( 86,87 ) 43,89iA .
t = 0+)
. (П19)
0
2. Принужденный (установившийся) послекоммутационный режим (
E
m
I
m
пр
Zj
пр
220 45 220 45
23 3,656,3
61,1 101,3 A.
Мгновенное значение принужденного тока:
(П20)
При
t = 0+
( ) 61,1sin (314 101,3 ) A.it t
пр
(0 ) 61,1sin ( 101,3 ) 59,92 A.i
пр
3. Законы коммутации
В соответствии с первым законом коммутации
(0 ) (0 )
ii
.
LL
t → ∞):
В решаемой задаче
(0 ) (0 ) 43,89 A.
ii
L
4. Внутренняя свободная операторная ЭДС на индуктивности
33
(0 ) ( (0 ) (0 )) 9,55 10 ( 43,89 59, 92) 153,09 10 B/c.Li L i i
св пр
Операторный свободный ток в схеме (рис. П2) получим по закону Ома:
3
(0 )
Li
() ,
Ip
2св
св
RpL
2
153,09 10
29,5510
3
p
()
Ipp
2св
16.03
209, 4
.
75
Li
(0+)
R
Рис. П2. Операторная схема замещения
pL
2
для свободного режима
св
Iсв(p)
Перейдем в последнем выражении от изображения свободного тока к оригиналу, используя таблицу разложений [11, 12]:
209,4
t
() 16,03
it e
(П21)
2св
Окончательное решение найдем как сумму принужденной (П20) и свободной (П21) составляющей:
209,4
t
Ответ:
( ) ( ) ( ) 61,1sin (314 101,3 ) 1,18 A
it i t i t t e
. (П22)
пр св
( ) 61,1sin(314 101,3 ) 1,18 A
it t e
0 209,4
t
П2. Сведение расчета переходного процесса
к нулевым начальным условиям
В ряде случаев при изучении переходных процессов (в схемах автоматики,
расчете задач с помощью интеграла Дюамеля и пр.) сводят расчет при ненулевых начальных условиях к расчету схем при нулевых начальных условиях.
Рис. П3. Активный двухполюсник
в переходном режиме
Рассмотрим некоторый активный двухполюсник, к которому с помощью
ключа подключается активная нагрузка. Если в подключаемой ветви присут-
76
ствуют какие-либо ЭДС или заряженные конденсаторы, то их отнесем в со-
став активного двухполюсника. В подключаемую ветвь введем две противоположно направленные ЭДС, равные напряжению на ключе до его замыкания
(см. рис. П4). В результате получим схему (см. рис. П4), эквивалентную данной (рис. П3), т. е. режим в
Рис. П4. Эквивалентная схема цепи (рис. П3)
эквивалентной цепи не изменится.
в переходном режиме
Теперь рассчитаем переходной процесс в цепи, изображенной на
рис. П4.Так как рассматриваемая электрическая цепь линейна, то ее
можно рассчитать методом наложения. Получим схемы, изображенные
на рис. П5 и П6.
Рис. П5. Частичная схема цепи, изображенной на рис. П3,
в переходном режиме с активным двухполюсником
Рис. П6. Частичная схема цепи, изображенной на рис. П3,
в переходном режиме с пассивным двухполюсником
Ток в переходном режиме исходной схемы (рис. П3) при этом будет определяться как сумма частичных токов схем, изображенных на рис. П5 и П6:
() () ()it i t i t
. (П23)
77
Теперь рассмотрим режим работы частичных схем. В схеме (рис. П5) в
ветви с сопротивлением нагрузки подключается ЭДС, равная по величине
ЭДС активного двухполюсника. Поэтому в соответствии со вторым законом
Кирхгофа тока в ней не будет, и вся схема соответствует работе цепи в докоммутационном режиме. В цепи же (см. рис. П
ская цепь включается на ЭДС, равную
U , следовательно, в цепи с нR пере-
кл
5) вся пассивная электриче-
ходной процесс с нулевыми начальными условиями.
П3. Порядок расчета переходных процессов
при приведении его к нулевым начальным условиям
1. Рассчитываем электрическую цепь в установившемся докоммутацион-
ном режиме и определяем напряжение на ключе
2. Составляем эквивалентную электрическую цепь, в которой все источ-
ники питания равны нулю (внутренние сопротивления при этом остаются),
последовательно с ключом размещаем ЭДС, равную
самое направление, что и напряжение на ключе.
3. Рассчитываем переходной режим в ветви с ключом любым известным
методом.
4. Если определяется ток в любой другой ветви цепи, то используем ме-
тод наложения:
() () ()
it it it
kkk
,
U .
кл
U , имеющую то же
кл
i
– ток в цепи в докоммутационном режиме (схема, рис. П5);
где
k
i
– ток в
k
цепи с нулевыми начальными условиями (схема, рис. П6).
Рассмотрим использование этого приема на примере. Пусть необходимо
i
рассчитать токи
(t) и i3(t) в цепи, рис. П7.
1
Дано:
= 150 В,
U
R = 50 Ом, L = 1 Гн,
1
R = 100 Ом, 3R =100 Ом.
2
Рис. П7. Исходная электрическая цепь
Определить
и() ()it i t.
12
Решение
Электрическая цепь, рис. П7, с ненулевыми начальными условиями, так
как до замыкания ключа в ветви с индуктивностью протекает ток. Решим эту
задачу путем приведения схемы к нулевым начальным условиям.
78
1. Рассчитаем электрическую цепь в докоммутационном установившемся
режиме и определим напряжение на ключе
Рис. П8. Электрическая цепь, рис. П7,
в докоммутационном режиме
U (рис. П8).
Ток в неразветвленной части цепи
() 1A.
it
1
U
RR
12
150
150
Обойдем второй контур по второму закону Кирхгофа:
() 0,UitR
кл 12
откуда получим
( ) 1 150 150 BUitR
кл 11
.
2. Составим эквивалентную электрическую цепь с нулевыми начальными
условиями (рис. П9).
Электрическая цепь (рис. П7)
с нулевыми начальными условиями
в цепи, рис. П9, в переходном режиме после за-
Найдем токи
Рис. П9.
и () ()it it
13
мыкания ключа.
1. Докоммутационный установившийся режим(
t < 0, схема, рис. П9):
0iA
1
.
79
2. Принужденный установившийся режим (t → ∞):
р
U
i
3пр
кл
RR
12
RR
12
ii
1пр=3пр
R
3
RR
12
150 150
R
2
50 100
150
100
100
1, 12 5 0 , 7 5 A
150
133,33
3. Корень характеристического уравнения (рис. П9):
R
200
зкв
pc
.
L
0.1
210
31
4. Свободная составляющая переходного процесса:
210
2
t
3
,
.
210
210
i Ае Ae
3св
iAe
tt
210
1св 1
5. Переходной ток в первой и третьей ветвях:
() () () 0,75
it i t i t Ae
11пр 1св 1
() () (t) 1,125
it i t i Ae
33пр 3св
6. Начальные условия
Независимые начальные условия
(0 ) (0 ) (0 ) 0.
iii
LL
1
1, 12 5 A.
.
3
t
,
3
t
.
150
200
(0 ) 0i
):
1
.
Зависимые начальные условия (так как
U
(0 ) 0,75 A
i
3
кл
RR
23
7. Определение постоянных интегрирования.
Рассмотрим решения для токов
(0 ) 0,75iA
, 3(0 ) 1,125iA
11
1
()it
и
2
()it
при t = +0.
,
80
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]