Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теоретические основы электротехники. Переходные процессы в линейных электрических цепях. Учебное пособие
.pdf
2.2. ЗАКОНЫ ОМА И КИРХГОФА В ОПЕРАТОРНОЙ ФОРМЕ
2.2.1. ОБОБЩЕННЫЙ ЗАКОН ОМА В ОПЕРАТОРНОЙ ФОРМЕ
Рассмотрим ветвь (рис. 2.1) электрической цепи с последовательным соединением R, L, C в режиме переходного процесса.
Рис. 2.1. Исходная электрическая цепь
Рис. 2.2. Операторная схема замещения цепи, изображенной
на рис. 2.1
Применим обобщенный закон Ома для цепи, изображенной на
рис. 2.2, по тем же правилам, что были выработаны в первой части
курса теоретических основ электротехники [5]. Тогда получим
() (0) (0)/
Up Li U p
()
Ip
2.2.2. ПЕРВЫЙ ЗАКОН КИРХГОФА
RpL pc
Lc
1/
. (2.11)
Запишем первый закон Кирхгофа в мгновенной форме:
n
() 0
k
1
it
k
51
. (2.12)
Применив к формуле (2.12) прямое преобразование Лапласа, полу-
чим
n
() 0
Ip
k
1
k
2.2.3. ВТОРОЙ ЗАКОН КИРХГОФА
. (2.13)
Второй закон Кирхгофа в мгновенной форме:
nm
itR L itdt et
kkk k k
kk
11
() () ().
()
di t
k
dt c
1
(2.14)
Если воспользоваться таблицей перехода от оригиналов к изображениям, то получим второй закон Кирхгофа в операторной форме:
nm
() () () () (0) ,
IpR IppLIp Ep Li
kkk k k kLk
11
kk
1
pc p
(0)
U
ck
или в общей форме записи
nm
[()() ()
IpZp Ep
kk
11
kk
. (2.15)
Таким образом, законы Ома и Кирхгофа в операторной форме
имеют вид
nm
11
kk
n
() 0,
Ip
1
k
() () ().
IpZp Ep
kk
k
(2.16)
52
2.3. ПЕРЕХОД ОТ ИЗОБРАЖЕНИЙ К ОРИГИНАЛАМ
f
f
p
p
После расчета операторной схемы замещения получаем операторные токи и напряжения. Для перехода к оригиналам этих величин, в
которых фигурируют токи в амперах и время в секундах, можно использовать следующие подходы.
Применить обратное преобразование Лапласа
j
1
tFpedp
() ( )
j
2
j
pt
,
или
1
() { ( )}
tLFp
.
Воспользоваться таблицами перехода от изображений к ориги-
налам, имеющимися в справочной литературе [11, 12].
Применить теорему разложения.
Теорема разложения
Пусть изображение тока будет представлено в виде отношения
двух многочленов, зависящих от р:
Fp
()
Ip
()
1
Fp
()
2
m
ap a p ap a
mm
nn
bp b p bp b
nn
1
m
110
110
11
1
. (2.17)
Разложим (2.17) на простые множители:
n
AA
Ip
()
k
kk
ppppp ppFp
1
Найдем коэффициенты
AA Fp
12 1
kk
12 2
A , для чего умножим (2.18) на (–
k
()( )
Fpp p
1
Fp
53
. (2.18)
k
A
. (2.19)
()
2
k
()
()
p ):
k
Если подставить в (2.19) корни
p
F
F
F
p
0
типа
. Раскроем ее по правилу Лопиталя:
, то получим неопределенность
k
0
()( ) ()( ) () ( )
pp p Fpp p Fp Fp
1111
lim lim
A
k
РР РР
kk
kkk
pFpFp
() () ( )
222
. (2.20)
k
Подставив найденное
A в (2.18), получим
k
n
()
Fp
k
1
()
Ip
k
2
1
()
ppp
kk
1
. (2.21)
Переходя в последнем выражении к оригиналу, получим формулу
теоремы разложения:
n
()
Fp
k
k
1
1
()
Fp
k
2
()
it e
pt
k
(2.22)
Если в составе знаменателя есть нулевой корень, то можно воспользоваться другим видом теоремы разложения:
() (0)
Fp F
1
Le
11
pF p F p F p
() (0) ( )
22 2
n
Fp
kk
1
k
()
1
k
pt
k
. (2.23)
Если корни комплексно-сопряженные, то теорема разложения имеет вид
()
Fp
() 2Re
it e
11
()
Fp
21
pt
1
, (2.24)
где
– один из комплексно-сопряженных корней.
1
54
2.4. ПОРЯДОК РАСЧЕТА ПЕРЕХОДНЫХ
Е
R
R
ПРОЦЕССОВ ОПЕРАТОРНЫМ МЕТОДОМ
1. Рассчитаем электрическую цепь в установившемся докоммута-
ционном режиме и определяем независимые начальные условия.
2. Составим эквивалентную операторную схему замещения в послекоммутационном режиме с учетом найденных внутренних ЭДС.
Все внутренние ЭДС направляем по току, но ЭДС на емкости берем со
знаком минус.
3. Любым известным методом расчета электрических цепей в установившимся режиме рассчитаем эквивалентную операторную схему и
найдем операторные токи и напряжения.
4. Используя таблицу разложений или теорему разложения, найдем
оригиналы тока и напряжения.
Пример 3
Рассмотрим пример расчета переходного процесса операторным
методом (рис. 2.3).
Дано:
= 150 В,
=
1
= 50 Ом;
2
С = 100 мкФ; L= 0,1 Гн.
Рис. 2.3. Заданная электрическая цепь
Найти ток
ным методом.
()it оператор-
1
Решение
1. Составим эквивалентную операторную схему замещения (рис. 2.4).
Е
p
Рис. 2.4. Эквивалентная операторная схема
55
U
C
p
(0 )
1
pc
Эквивалентная операторная схема составляется для послекоммута-
E
p
ционного режима. В ней появляются дополнительные ЭДС. Это так
называемые внутренние операторные ЭДС, характеризующие энергию,
накопленную в индуктивности и емкости в докоммутационном режиме. Операторные токи и напряжения в самой операторной электрической цепи могут быть рассчитаны любым методом расчета, полученным для электрических
цепей (закон Ома, метод контурных токов, уз-
ловых потенциалов в операторной форме).
2. Внутренние операторные ЭДС
Внутренние операторные ЭДС можно отыскать, если найдены не-
зависимые начальные условия.
Независимые начальные условия
Так как ключ до коммутации разомкнут, то
(0 ) (0 ) 0,
ii
UU
LL
(0 ) (0 ) 0.
CC
(2.25)
Так как независимые начальные условия нулевые, внутренние операторные ЭДС будут равны нулю, и тогда операторная схема замещения будет иметь вид, показанный на рис. 2.5.
Е
p
Рис. 2.5. Расчетная операторная схема
1
pc
3. Как следует из схемы, изображенной на рис. 2.5, ток 1()Ip опре-
делится как
. (2.26)
()
Ip
1
56
Zp
()
Операторное входное сопротивление цепи
F
F
110
R
2
() 50 0,1
ZPRpL p
1
2500 50 10 5 10 50 10
ppp
pC p
1
R
2
pC
423 4
p
50 10
4
p
p
2500 50 10 5 10 50 10
ppp
5 3500 100 10
423 4
50 10
24
pp
50 10
4
p
4
p
Тогда с учетом (2.26) изображение тока
p
Ip
()
1
1500 30 10
32
pp p
150(50 10 )
24
pp p
(5 3500 100 10 )
p
700 200000
4
6
50
100
6
10
50
p
100
. (2.27)
()Ip будет иметь вид
1
4
(2.28)
p
()
1
.
()
p
2
4. Найдем зависимость
()Ip к оригиналу. Найдем корни знаменателя выражения (2.28):
ка
1
( ) 700 200 000 0.Fp p p p
2
350 350 200000 350 278,388.
pj
2,3
()it, для чего перейдем от изображения то-
1
32
(2.29)
0,
p
1
2
57
4. Воспользуемся теоремой разложения для комплексно-сопряжен-
ных корней с учетом нулевого корня:
1
Подставив в выражение (2.27) (предварительно продифференциро-
вав его знаменатель) нулевой корень и
300000 1500( 350 278,388 ) 300 000
() 2Re
it e
1
200000
1, 5 2 R e
1, 5 2 R e 1, 905
3( 350 278,388 ) 1400( 350
1, 5 2 R e 0 , 75 1, 7 5
1, 5 3, 8 1 R e
(0)
F
2
278,388 ) 200 000
225000 417582
155750 194872
j
j
ee
113,19
j
ee
350
t
()
Fp
22
2
j
2
j
j
e
350 278,388
je
0
350 278,388
278,388 113,19
j
(0) ( )
FFp
112
() 2Re
it e
pt
2
.
350 278,388pj , получим
( 350 278,388)
350 278,382
jt
jt
0
t
t
350 0 0
t
1,5 3,81 Re cos 278,4 113,19 sin 278,4 113,19
Ответ:
etjt
350 0
t
1,5 3,81 cos 278,4 113,19 .
( ) 1,5 3,81 cos 278,4 113,19
it e t
1
et
350 0
t
58
ВЫВОД
1. В исследуемой электрической цепи при замыкании ключа про-
исходит колебательный переходной процесс.
2. В первой ветви присутствует принужденный установившийся
режим
пр
1, 5 Аi .
3. РАСЧЕТ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ
В ПАССИВНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ
ПРИ ВКЛЮЧЕНИИ ИХ НА НЕПРЕРЫВНО
МЕНЯЮЩЕЕСЯ НАПРЯЖЕНИЕ
(ИНТЕГРАЛ ДЮАМЕЛЯ)
3.1. РЕАКЦИЯ ПАССИВНОЙ ЦЕПИ
НА СКАЧОК НАПРЯЖЕНИЯ
В линейной электрической цепи токи (напряжения) в ветвях всегда
пропорциональны напряжению, приложенному к входу цепи. Математически это может быть представлено в виде формул
() (), () ().
it U gt ut Uht
kk
вх вх
(3.1)
В режиме переходного процесса коэффициенты пропорциональности g(t) и h(t) называются переходной проводимостью и переходной
функцией по напряжению соответственно.
Пусть произвольный линейный двухполюсник подключается на
единичное напряжение (рис. 3.1).
а б
Рис. 3.1. Включение пассивного двухполюсника на единичное напряже-
ние (а); эквивалентная схема двухполюсника с единичной ЭДС (б)
59
Тогда ток и напряжения в ветвях пассивного двухполюсника будут
представлены в виде
() (), () ()
it U gt ut UYt
kk
вх вх
. (3.2)
Электрическую цепь (рис. 3.1, а) можно представить эквивалентной схемой, изображенной на рис. 3.1, б, в которой ключ при t = 0 замкнут, а сама ЭДС задается единичной функцией Хевисайда (рис. 3.2).
U
1
U
вх
Рис. 3.2. Единичная функция Хевисайда
(или единичная ЭДС)
t
Очевидно, что g(t) и Y(t) будут представлять ток в ветви и напряжение на элементе схемы при включении ее на ЭДС в 1 В. Если ЭДС
появляется через некоторое время Т после замыкания ключа (рис. 3.3),
то это должно найти отражение в переходной проводимости или переходной функции по напряжению
Рис. 3.3. Запаздывание входного напряжения
Учитывая (см. рис. 3.3), что напряжение начинает действовать
позднее на время Т, в аргумент переходных функций запишем (t – Т).
() ( ), () ( )
it UgtT ut UYtT
kk
. (3.3)
вх вх
В формулах (3.3) g(t – T) и Y(t – T) носят название запаздывающей
проводимости и запаздывающей переходной функции по напряжению.
60
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]