Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теоретические основы электротехники. Переходные процессы в линейных электрических цепях. Учебное пособие
.pdf
1
RpL
0,
pC
или
2
10.pLC RpC (1.41)
Найдем корни уравнения (1.41). Получим
2
p
1,2
RR
LLLC
22
1
. (1.42)
Рассмотрим режим работы цепи, когда дискриминант выражения
(1.42) положителен. В этом случае
2
2RLLC
1
0
(1.43)
и корни характеристического уравнения действительные и отрицательные, а переходной процесс будет апериодическим.
1.4.2. РАСЧЕТ АПЕРИОДИЧЕСКОГО ПЕРЕХОДНОГО
ПРОЦЕССА В ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОЙ ЦЕПИ
1. Докоммутационный установившийся режим (t < 0) (рис. 1.23).
Рис. 1.23. Электрическая цепь (рис. 1.22)
в докоммутационном режиме
Так как ключ разомкнут и в цепи обрыв, то при t = 0–
UUi . (1.44)
CL
,0
0
31
2. Послекоммутационный установив-
A
шийся (принужденный) режим ()t
Так как при t
конденсатор полно-
стью разрядится (его энергия выделится в
виде тепла в активном сопротивлении), то
0.i
пр
3. При действительных и отрицательных корнях свободная составляющая переходного процесса имеет апериодиче-
i
R
L
Рис. 1.24. Электрическая
цепь (рис. 1.22) в послеком-
мутационном режиме
()t
ский характер и решение примет следующий вид:
pt p t
()
it Ae Ae .
св 12
12
4. Переходной ток будет равен сумме принужденной и свободной
составляющей
pt p t
() () ()it i t i t
пр св
12
eAe. (1.45)
12
5. Определение постоянных интегрирования.
Так как в решении (1.45) две постоянных интегрирования, то необходимы два уравнения для их определения. Первое уравнение можно
получить, записав (1.45) при t = 0+ :
(0 )i АА
. (1.46)
12
Второе уравнение получим, взяв производную по времени от (1.45)
и рассмотрев ее при t = 0+:
di
it pAe pAe
() ,
dt
ipApA
(0 ) .
pt p t
12
11 2 2
11 2 2
(1.47)
Уравнения(1.46) и (1.47) образуют систему
(0)
iAA
ipApA
12
(0 )
32
. (1.48)
11 2 2
Система (1.47) разрешима, если известны правые части уравнений,
L
L
которые можно найти из начальных условий.
6. Начальные условия.
Независимые начальные условия
В соответствии с законами коммутации:
() (0,0)
ii
UU
LL
() (00)
.
CC
Тогда из п.1 нашего решения следует
00,() ()0.
iUU
(1.49)
LC
0
Учитывая, что
() ()
Ut Lit
L
,
для t = (0+) получим
(0 )
U
ii
(0 ) (0 ) .
L
L
(1.50)
L
Напряжение на индуктивности найдем, составив уравнение по второму закону Кирхгофа для контура RLC для произвольного момента
времени
() () () 0
itR U t U t
Lc
,
а для момента времени t = 0+ получим
(0 ) (0 ) (0 ) 0.
iRU U
C
Учитывая (1.49), будем иметь
(0 )
UU
Тогда производная тока (0 )i
. (1.51)
0
с учетом (1.50) и (1.51) примет сле-
дующий вид:
U
i
(0 )
0
.
L
33
С учетом независимых и зависимых начальных условий система
p
p
p
p
уравнений (1.48) преобразуется к виду
0,
АА
12
U
0
L
ApA
11 2 2
.
Выразим из первого уравнения
A и подставим его во второе урав-
2
нение:
АА
,
21
U
0
ApA
.
11 2 1
L
Тогда
, АА будут иметь следующий вид:
12
U
A
1
A
2
0
pL
U
0
pL
,
()
12
()
12
.
Если подставить найденные постоянные интегрирования в формулу для переходного тока (1.45), получим
UU U
it e e e e
() ( )
00 0
Lp p Lp p Lp p
() () ()
12 12 12
pt pt pt pt
12 12
Напряжение на индуктивности
Ut L pe pe
() ( )
L
di
. (1.53)
dt p p
U
0
()
12
pt p t
12
12
. (1.52)
Напряжение на емкости
1
() ()
Ut itdt
c
C
U
0
LC p p
()
12
34
pt p t
12
eedt
()
U
LC p p p p
0
()
1221
pt pt
22
pe pe
().
21
(1.54)
Учитывая, что
ppLC , после несложных преобразований (1.54)
12
1
получим
U
Ut pe pe
() ( )
c
0
pp
()
12
pt pt
22
21
. (1.55)
Для наглядности изобразим графики переходного процесса i(t),
utULt (рис. 1.25, 1.26).
, ( )()
С
а б
Рис. 1.25. Зависимости тока (а) и напряжения на индуктивности (б)
от времени в цепи RLC
Рис. 1.26. График изменения напряжения от времени на емкости в цепи RLC
35
1.4.3. РАСЧЕТ КРИТИЧЕСКОГО ПЕРЕХОДНОГО ПРОЦЕССА
Рассмотрим случай, когда дискриминант уравнения (1.42) равен
нулю, т. е.
2
2RLLC
1
0
. (1.56)
Тогда, как следует из (1.42), с учетом (1.56) получим равные корни
характеристического уравнения, т.е.
Произведем расчет напряжения ()
рр.
12
Ut в переходном процессе
С
электрической цепи, рис. 1.22. Так как в цепи в режиме переходного
процесса изменились только корни характеристического уравнения, то
начальные условия и принужденный режим остались такими же, как и
в предыдущем расчете.
1. Докоммутационный режим, t<0
(0 ) , (0 ) 0.
UUi
(1.57)
cL
0
2. Послекоммутационный установившийся режим, t→∞
Ui
0, 0.
пр пр
cL
(1.58)
3. Корни характеристического уравнения
.PP P
12
4. Свободная составляющая переходного процесса
() ( )
Ut AtAe . (1.59)
св 12
с
pt
5. Переходное напряжение на емкости
() () ()
Ut U t U t
сс с
,
св пр
или с учетом (1.57) и (1.58) получим
() ( )
Ut A tAe . (1.60)
с
12
36
pt
6. Определение постоянных интегрирования
L
Найдем производную от напряжения на емкости
() ( )
Ut Ae pA Ate
.
с
pt pt
212
Производная при t = 0+ .
(0 )
UApA
с
21
.
Затем запишем выражение (1.60) и его производной при t = 0+ .
Получим систему
(0 ) ,
UA
С
(0 ) .
UApA
С
1
21
(1.61)
Найдем левую часть системы уравнений (1.61)
6.1. Независимые начальные условия
(0 ) (0 ) 0
ii
, 0(0 ) (0 )
L
UUU
. (1.62)
сс
В системе (1.61) отсутствует производная от напряжения на емкости. Эту дополнительную величину можно найти из зависимых начальных условий.
6.2. Зависимые начальные условия
Воспользуемся выражением (1.29):
(0 )
i
с
.
C
U
(0 )
с
Так как в нашем случае 0 () ()0
ii
, то
с L
(0 ) 0
U
с
.
Тогда система (1.61) приобретет вид
UA
0.
Решив систему (1.63), найдем постоянные интегрирования
AU,
10
,
01
ApA
21
ApU.
20
37
(1.63)
А и 2:А
1
Окончательное решение для напряжения на емкости
L
() (1 )
Ut U pte . (1.64)
c
0
pt
Ток в цепи
()
dU t
it C CU p pt p e
() (1 )
c
dt
0
pt
С Upe te
. (1.65)
2
0
U
pt pt
0
L
Напряжение на индуктивности
()
()
Ut L L te
L
di t d
dt dt L
U
pt
0
(1 )
Upte . (1.66)
0
pt
Таким образом, в режиме переходного процесса ток, напряжение
на емкости и индуктивности будет иметь вид
U
pt
it te
()
0
,
L
() (1 )
U (t)
c
100
Ut U pte , (1.67)
c
Ut U pte .
75
50
25
0
0
0.1 0.15 0.2
0.05
0
() (1 )
t
0
i(t)
–0.42
–0.33
–0.25
–0.17
–0.083
а б
pt
pt
0
0 0.033 0.067 0.1 0.13 0.17 0.2
t
Рис. 1.27. Зависимость напряжения на емкости от времени (а), тока в цепи
от времени (б)
38
Рис. 1.28. Зависимость напряжения
на индуктивности от времени
Для наглядности по уравнениям (1.66) построить графики, изображенные на рис. 1. 27 и 1. 28.
1.4.4. КОЛЕБАТЕЛЬНЫЙ ПЕРЕХОДНОЙ ПРОЦЕСС
Исследуем переходной процесс в цепи с последовательным соединением RLC при комплексно-сопряженных корнях характеристического уравнения.
1. Докоммутационный установившийся режим, t < 0:
(0 ) , (0 ) 0.
UUi
(1.68)
cL
0
2. Послекоммутационный установившийся режим, t → ∞:
Ui
0, 0.
пр пр
cL
(1.69)
3. Кони характеристического уравнения:
,ppj
12 0
. (1.70)
4. Свободная составляющая переходного процесса:
t
() sin( )
UtAe t
с
св 0
. (1.71)
5. Напряжение на емкости в переходном процессе:
t
() () () sin( )
Ut U t U t Ae t
сс с
. (1.72)
св пр 0
39
6. Найдем неизвестные постоянные интегрирования А и
L
Производная от напряжения на емкости
tt
( ) sin( ) cos( )
Ut Ae t Ae t
с
00 0
Напряжение на емкости и его производная при t = 0+ :
.
. (1.73)
UA , 0(0 ) sin cos
(0 ) sin
с
UA A
. (1.74)
с
6.1. Независимые начальные условия
Независимые начальные условия базируются на законах коммутации:
iii 0(0 ) (0 )
(0 ) (0 ) (0 ) 0,
L
Так как для решения (1.74) кроме (0 )
U , то найдем зависимые начальные условия.
(0 )
с
UUU
. (1.75)
cc
U
необходимо знать
c
6.2. Зависимые начальные условия:
(0)
i
(0) 0.
U
c
C
6.3. Система уравнений для определения постоянных интегрирования:
UA
0sin cos.
sin ,
0
AA
0
(1.76)
В результате решения системы (1.76) получим
A
U
0
; 0tg ;
sin
0arctg
. (1.77)
7. Тогда окончательное решение для напряжения на емкости будет
иметь вид
U
() sin( ).
Ut e t
с
sin
t
0
(1.78)
0
Преобразуем (1.76) к более удобному виду. Запишем некоторые
соотношения, которые следуют из решения характеристического уравнения:
40
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]