Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теоретические основы электротехники. Переходные процессы в линейных электрических цепях. Учебное пособие
.pdf
R
0
R
pp
1
LC
,
22
2
012
,
L
2
2
R
4
11
2
LC LC
L
,,
2
pp
012
2
.
2
4
L
Из (1.77) следует, что
sin
0
22
0
;
cos
0
.
22
С учетом полученных соотношений будем иметь:
Ut e t
U
() sin( )
с
( ) ( ) sin( ) cos( )
it CU t e t e t
c
UC
0
LC
0
22
00
0
UC UC
LC LC
00
t
et t
sin( ) cos( )
t
000
000
0
tt
00
U
0
LC
0
t
sin( )
et
U
0
0
t
0
et
sin
L
После несложных преобразований получим напряжение на индуктивности:
;
.
0
()
Ut L e t
() sin
L
di t
dt
U
0
LC
0
t
.
0
Окончательно колебательный переходной процесс в цепи с последовательным соединением
R, L, C имеет следующий вид:
41
U
() sin( )
Ut e t
с
0
LC
0
t
,
0
U
() sin
it e t
() sin
Ut e t
L
а б
Рис. 1.29. Колебательный переходной процесс в цепи R, L, C:
а – зависимость тока от времени; б – напряжения на емкости
U
(t), В
L
U
0
t
0
L
0
U
0
LC
0
, (1.79)
0
t
.
0
t, с
0
Рис. 1.30. Напряжение на индуктивности
в цепи R, L, C
Построим в соответствии с (1.79) качественные кривые колебательного процесса, изображенные на рис. 1.29 и 1.30.
42
ВЫВОДЫ
R
R
Е
L
1. В электрических цепях второго порядка (при наличии двух различных реактивных элементов), характер переходного процесса сильно зависит от параметров электрической цепи, изменяясь от апериодического до колебательного.
2.Критический переходной процесс является пограничным, и при
соответствующем изменении параметров цепи может стать как колебательным, так и апериодическим.
3.Напряжение на
емкости и ток в индуктивности начинают изменяться именно с тех значений, которые они имели до замыкания ключа.
Пример 2
Расчет переходного процесса в цепи второго порядка
Задача 1
R
i1(t)
Е
Рис. 1.31. Электрическая цепь второго
1
C
(t)
i
2
порядка
R
2
= 45 Ом;
L
i3(t)
1
С = 100 мкФ; L= 0,1 Гн.
= 100 В.
Определить
Дано:
= 55 Ом.
2
()it
1
.
Решение
Начнем расчет переходного процесса в цепи (рис. 1.31) с определе-
ния докоммутационного режима.
1.
t<0. В докоммутационном режиме источник питания еще не под-
ключен к цепи и напряжение на емкости и ток в индуктивности отсутствуют, т. е.
U
t . Принужденный установившийся режим. Переходный
2.
(0 ) 0
(0 ) 0,
с
i .
процесс закончился.
43
() 1A.
p
it
1пр
E
RR
12
100
45 55
3. Найдем корни характеристического уравнения, составив главный
определитель системы уравнений для контуров 1 и 2 по методу контурных токов для схемы, изображенной на рис. 1.31:
1
RR
11
pC
RRRpL
112
.
0
Подставив числовые данные, будем иметь:
4
10
45 45
p
45 100 0,1
236
4,5 3,475 10 10 0pp
.
Тогда корни характеристического уравнения примут следующий
вид:
3.475 10 3.475 10 4 4.5 10
p
1,2
336
24.5
2
386,1 270, 44 j
.
4. Свободная составляющая переходного процесса
386,1
t
( ) sin(270, 4 ).
it Ae t
св
5. Переходной ток
386,1
t
44
()it:
1
( ) ( ) 1 sin(270,4 )
it i i t Ae t
.
11пр 1св
6. Определение постоянных интегрирования А и
Найдем производную от переходного тока
386,1 386,1
tt
.
( ) 383,1 sin(270, 4 ) 270, 4 cos(270, 4 )
it Ae t Ae t
1
Рассмотрим переходной ток
L
L
Составим систему уравнений:
()it и его производную при t = 0+.
1
(0 ) 1 Asini
1
(0 ) 386,1 sin 271,4 cosiAA
,
1
. (1.80)
Система (1.80) может быть решена, если известны начальные усло-
вия
()0i и 1(0 )i . Указанные условия являются зависимыми и могут
1
быть найдены с помощью независимых (т. е. законов коммутации).
Начальные условия
Независимые начальные условия (см. п. 1):
(0 ) (0 ) 0
ii
UU
Рис. 1.32. Послекоммутационная электрическая цепь
Для определения 1()0i
,
L
(0 ) (0 ) 0
.
сс
составим полную систему уравнений по
законам Кирхгофа для послекоммутационной схемы (рис. 1.32). Для
рис. 1.32, получим
() i () () 0,it t i t
123
() () ,
itR U t E
11
() () () .
itR i tR U t E
112 2
c
(1.81)
Рассмотрим систему 1.81 при t = 0+ :
(0 ) i (0 ) (0 ) 0,ii
123
45
(0 ) (0 ) [ ],
L
L
L
iRU E (1.82)
11
(0 ) (0 ) (0 ) [ ].
iRi RU E
112 2
c
Обозначим известные величины (из условия задачи и независимых
начальных условий) прямоугольными скобками. В результате решения
системы будем иметь
100
E
15
1
продифференцируем по t ранее составлен-
Для определения
(0 ) 2, 22 A.
iR (1.83)
1
(0 )i
1
ную по законам Кирхгофа систему уравнений (1.81) и рассмотрим ее
при t = 0+:
(0 ) (0 ) (0 ) 0,ii i
123
iRU
11
(0 ) (0 ) (0 ) 0.
iRiRU
1122
(0 ) (0 ) 0,
(1.84)
c
Неизвестную величину, обозначенную квадратными скобками в
системе (1.84), найдем из соотношения
(0 )
i
(0 ) .
U
с
c
CC
i
2
(0 )
Из первого уравнения системы (1.81) имеем
(0 ) (0 ) (0 )iii
.
213
()00()
Так как
ii , то из независимых начальных условий сле-
3
дует, что
(0 ) 0i
3
.
Тогда
46
E
R
1
(0 ) (0 ) 2,22 A.
ii
21
Следовательно, производная от напряжения в емкости будет равна
(0 )
i
(0 ) 2,22 10 В/с
U
с
2
C
2, 22
100 10
4
6
.
Теперь получим производную тока
(0 )
U
(0 ) 494 A/c
i
1
с
.
R
1
1
2,22 10
45
()0i :
4
С учетом найденных величин система уравнений (1.81) будет иметь
вид
, (1.85)
01 sinA
.
494 386,1 sin 271, 4 cosAA
Из первого уравнения системы (1.85) получим
sin 1A
.
Подставим найденное значение во второе уравнение этой же системы:
494 386,1 271,4 cosA
.
Получим систему
sin 1A
, (1.86)
cos 0,4179A
.
Решив (1.86), будем иметь
11
.
tg 2,392; 67,32 ; 1,083
0
A
sin 0,923
7. Окончательный ответ с учетом найденных постоянных
386,1
t
( ) 1 1,083 sin(270,4 67,32 )
it e t
1
47
2. ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД
F
F
p
РАСЧЕТА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ
Основные трудности расчета переходных процессов классическим
методом связаны со сложностью определения постоянных интегрирования в решениях дифференциальных уравнений, описывающих переходной процесс. Операторный метод лишен этих недостатков.
Одно из главных достоинств этого метода – получение сразу решения в виде суммы свободной и принужденной составляющей при автоматическом выполнении независимых и зависимых
Данный метод основан на прямом преобразовании Лапласа и заключается в преобразовании в уравнениях Кирхгофа функций, зависящих от времени (называемых оригиналами), в функции (называемые
изображениями), зависящими от комплексной переменной Р. В результате система дифференциальных уравнений Кирхгофа превращается в
алгебраическую систему уравнений. После решения этой системы получим изображения необходимых токов и напряжений. Зависимость
этих величин от времени (оригиналы) находим с помощью обратного
преобразования Лапласа.
Как известно, прямое преобразование Лапласа имеет вид
pt
() () ,
pftedt
0
(2.1)
начальных условий.
где ()
p – изображение; ( )ft – оригинал.
2.1. ОПЕРАТОРНЫЕ ТОК И НАПРЯЖЕНИЕ.
ОПЕРАТОРНЫЕ ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ СХЕМЫ
Поставим в соответствие току и напряжению в режиме переходного процесса их изображения, и с помощью прямого преобразования
Лапласа получим изображения некоторых простых функций:
() ( ), () ( )it Ip ut Up. (2.2)
1. Изображение постоянной
pt
{} [1 0] .
LA Ae dt A
0
1
(2.3)
48
A
p
2. Изображение экспоненты
ttpt pt
Le e e dt e dt
Lte
{} ;
{} ;
00
t
1
p
()
2
()
pt
{1 } .
Le
1
(2.4)
p
()
pp
(2.5)
3. Изображение производной
{()} () (0)Lf t pFp f
. (2.6)
4. Изображение интеграла
t
() () , 0.
L t dt f t dt a
aa
() 1
Fp
pp
0
(2.7)
5. Изображение тригонометрических функций
{sin } ;Lt
0
p
0
22
0
{cos }
Lt
0
p
22
p
0
. (2.8)
Воспользовавшись соотношениями (2.2)–(2.8), получим эквивалентные операторные схемы элементов цепи. Результаты сведем в таблицу.
Эквивалентные операторные схемы
Оригинал Изображение
() ()
ut itR
RR
49
() ()
Up IpR
R
Окончание таблицы
L
L
p
L
Оригинал Изображение
() () (0)
()
ut L
L
di t
L
dt
()
Up IppLLi
L
()
du t
() ()
it C Cut
cc
c
dt
() [ () (0)]
Ip CpUp U
ccc
Воспользовавшись данными таблицы, получим формулы напряжения на емкости и индуктивности:
; (2.9)
() ()
Up Ip
c
Up IppLLi
() () (0)
1
PC P
c
. (2.10)
L
(0 )
U
В выражениях (2.9) и (2.10):
1
– операторное сопротивление емкости;
PC
(0 )
UP
c
– внутренняя операторная ЭДС емкости;
L операторное сопротивление индуктивности;
(0)
Li внутренняя операторная ЭДС индуктивности.
50
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]