Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теоретические основы электротехники. Переходные процессы в линейных электрических цепях. Учебное пособие
.pdf
L
Li Li (1.15)
(0 ) (0 ),
L
или
(0 ) (0 )
ii
LL
Таким образом, первый закон коммутации для цепи с одной линейной индуктивностью можно сформулировать следующим образом.
В электрической цепи ток в катушке индуктивности
в момент коммутации не может измениться скачком
Второй закон коммутации базируется на законе сохранения энергии и гласит так.
В электрической цепи суммарный заряд конденсаторов,
присоединенных к одному узлу в момент
коммутации, не может измениться скачком
Математически это записывается в виде
nm
(0 ) (0 )
qq
kk
11
kk
(1.16)
При наличии в электрической цепи только одной линейной емкости второй закон коммутации запишется как
(0 ) (0 ),
CU CU
cc
или, сократив на С, получим
(0 ) (0 )
UU
cc
(1.17)
Из (1.17) следует, что второй закон коммутации можно сформулировать в следующем виде.
В электрической цепи напряжение на емкости
в момент коммутации не может измениться скачком
11
Таким образом, к независимым начальным условиям относятся
напряжение на емкости )0(
U
мент коммутации (т. е. при t =
и ток в индуктивности )0(Li
с
0
).
в мо-
1.2.2. ЗАВИСИМЫЕ НАЧАЛЬНЫЕ УСЛОВИЯ
К зависимым начальным условиям относятся токи в ветвях, напряжения на элементах цепи и их производные в момент коммутации (при
t = 0+), [кроме тока в индуктивности и напряжения на емкости].
Рассмотрим расчет начальных условий для электрической цепи,
изображенной на рис. 1.5.
Рис. 1.5. Заданная электрическая цепь
Расчет начальных условий начнём с определения независимых
начальных условий.
Независимые начальные условия
а)
Для расчета независимых начальных условий рассмотрим докоммутационную электрическую цепь, работающую в установившемся режиме. Так как через емкость постоянный электрический ток не течет, ветвь
с емкостью эквивалентна обрыву цепи. Индуктивность, наоборот, не
оказывает никакого сопротивления постоянному электрическому току,
поэтому вместо индуктивности изобразим закоротку (провод с сопротивлением, равным нулю).
ная электрическая цепь при
Полученная таким образом докоммутацион-
t < 0 изображена на рис. 1.6.
12
R
L
R
Рис. 1.6. Докоммутационная электрическая
цепь при t < 0
Произведём расчет полученной электрической цепи (см. рис. 1.6):
ii
(0 ) (0 ) ,
1
(0 ) (0 ) .
UiR
с
U
(1.18)
R
1
11
(1.19)
Законы коммутации для рассматриваемой электрической цепи:
ii
UU
(1.20)
(0 ) (0 ),
сс
L
(1.21)
(0 ) (0 ).
На основании законов коммутации (1.20), (1.21) и соотношений
(1.18), (1.19) можно утверждать, что в момент коммутации (
t = 0 +)
напряжение на емкости и ток в индуктивности имеют следующий вид:
(0 ) (0 ) .
UiR
ii
(0 ) (0 ) .
L
Зависимые начальные условия
б)
(1.22)
с
11
1
U
(1.23)
R
1
Зависимые начальные условия определяются в результате решения
системы уравнений, составленных для цепи после коммутации (т. е.
после замыкания ключа, рис. 1.7).
13
Рис. 1.7. Электрическая цепь в после-
коммутационном режиме (t = 0+)
Запишем систему уравнений по законам Кирхгофа для произвольного момента времени
t:
() ()itR Lit U
11 1
() () i () 0it i t t
() ()
itR Ut U
22
Подставив в систему (1.24)
(0 ) (0 ) (0 ) 0,ii i
(0 ) (0 ) ,iRLi U
11
(0 ) R (0 ) .
iUU
22
12
t = 0+, получим
12
(1.25)
,
, (1.24)
.
c
c
Систему (1.25) решаем совместно с найденными ранее (1.22), (1.23)
независимыми начальными условиями, выделенными в системе подчеркиванием.
Для определения производных высших порядков от искомого тока
уравнения системы (1.25) дифференцируют по времени необходимое
количество раз. Например, для отыскания первой производной тока
уравнения системы (1.25) дифференцируют один раз:
() () () 0it it i t
,
12
14
i
() () 0,itR Lit
11 1
() () 0
itR Ut
22
c
(1.26)
.
Подставив в (1.26)
t = 0+, получим
(0 ) (0 ) (0 ) 0iii
111
iRU
,
12
(0 ) (0 ) 0iRLi
22
, (1.27)
(0 ) (0 ) 0
.
c
Производную от тока в индуктивности можно найти, использовав
выражение для напряжения на ней,
() ()
или для
t = 0+ получим
Ut Lit
L
(0 ) (0 )
ULi
L
.
,
1
1
Тогда
(0 )
U
i
1
(0 )
L
. (1.28)
L
Напряжение на емкости
Ut itdt
cc
1
() ()
C
.
Производная от напряжения на емкости
()
it
c
Ut
.
()
Для момента времени
c
t = 0+ будем иметь
U
c
C
(0 )
i
(0 ) .
c
(1.29)
C
Решив систему уравнений (1.27) с учетом соотношений (1.28) и
(1.29), получим значения производных необходимых токов и напряже-
15
ний в момент времени
R
R
р
р
t = 0+. Для получения производных токов и
напряжений высших порядков систему уравнений (1.25) дифференцируют необходимое количество раз.
Для расчета переходных процессов классическим методом удобно
составить определенный алгоритм, в соответствии с которым можно
осуществить решение практически любой задачи расчета переходных
процессов.
1.2.3. ПОРЯДОК РАСЧЕТА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ
КЛАССИЧЕСКИМ МЕТОДОМ
1. Рассчитаем электрическую цепь в установившемся докоммутационном режиме, т. е. при t < 0, и определим величины, относящиеся к
независимым начальным условиям.
2. Определим принужденный режим работы цепи, для чего рассчитываем электрическую цепь в установившемся послекоммутационном
режиме, т. е. при
t = + ∞, и отыскиваем величины, требуемые по усло-
вию задачи.
3. Одним из указанных ниже методов получим характеристическое
уравнение для схемы после коммутации:
p
( ) 0.Zp
() 0,
4. Решим характеристическое уравнение и получим его корни. Для
ветвей с одним реактивным элементом корни определяются следующими формулами:
p
,
L
э
p
1
.
C
э
5. В зависимости от вида корней запишем решение для свободной
составляющей:
а) если корни действительные и отрицательные, то решение запи-
шем в виде
pt p t
()
it Ae Ae Ae
св 12 3
12
;
б) если корни действительные, отрицательные и кратные (
р), то решение будет иметь вид
2
16
pt
3
1
pt p t
p
L
() ;
it Ae tAe
св 12
12
в) если корни комплексно-сопряженные, то получим
t
– частота собственных колебаний
0
,
,A А , для чего:
12
где
– коэффициент затухания;
j ,
0
() sin( )
it Ae t
св 0
6. Определим постоянные интегрирования
а) запишем решение для тока (напряжения) в виде суммы свобод-
ной и принужденной составляющей
() () ()it it it
пр св
;
б) запишем систему уравнений для тока (напряжения) и его (n – 1)
производной для t = 0 с учетом выражения (1.6);
в) определим независимые начальные условия из докоммутацион-
ного режима (режим t < 0, 0 , 0())(
iU ).
c
г) если необходимо, определим зависимые начальные условия и
найдем постоянные
,A А .
12
7. Запишем окончательное решение в виде суммы принужденной и
свободной составляющей с учетом найденных постоянных интегрирования
() () ()it it it
пр св
.
8. Сделаем проверку полученного решения, построим графики переходного процесса.
1.2.4. ПОСТОЯННАЯ ВРЕМЕНИ
Определение
Постоянная времени τ – это отрезок времени
в течение которого исследуемая величина
уменьшается в е раз
Постоянная времени в цепях первого порядка может быть определена графически и равна величине подкасательной к кривой переходного процесса (рис. 1.8).
17
τ
р
Рис. 1.8. Определение постоянной
времени переходного процесса
Если известен корень характеристического уравнения, то постоянная времени может быть определена как
1
.
1.3. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ
В ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
1.3.1. КОРОТКОЕ ЗАМЫКАНИЕ РЕАЛЬНОЙ
КАТУШКИ ИНДУКТИВНОСТИ
Рассмотрим электрическую цепь, представленную на рис. 1.9.
Рис. 1.9. Короткое замыкание катушки
индуктивности
Произведем расчет переходного процесса в электрической цепи
(см. рис. 1.9) классическим методом.
18
1. Установившийся докоммутационный режим (t < 0). Составим
E
R
докоммутационную электрическую цепь, учитывая, что индуктивность
не оказывает сопротивления постоянному току.
Рис. 1.10. Докоммутационная
электрическая цепь
Найдем ток в цепи в этом режиме:
(0 ) (0 )
ii
.
L
2. Принужденный послекоммутационный режим ()t . Этот ре-
жим работы является установившимся. В этом режиме работы цепи
ключ уже замкнут, ЭДС закорочена, и цепь будет иметь вид, представленный на рис. 1.11. Так как в цепи отсутствует источник питания,
i в индуктивности будет равен нулю, т. е.
ток
пр
ii
пр пр
Рис. 1.11. Принужденный режим
в электрической цепи
0.
L
3. Корни характеристического уравнения. Корни характеристиче-
ского уравнение получим из уравнения
19
() 0Zp
Z
R
R
L
RtL
RtL
L
,
где ()
p – входное сопротивление цепи относительно ключа
() 0,Zp R pL
откуда
p
.
L
4. Свободная составляющая переходного тока:
t
()
it Ae Ae
св
pt
.
5. Переходной ток в рассматриваемой цепи:
() () 0
it i i t Ae
,
пр св
или
()
it Ae
. (1.30)
6. Определение постоянной интегрирования:
а) в выражении (1.30) есть неизвестная величина – постоянная ин-
тегрирования А. Для ее определения запишем уравнение (1.30) при
t = 0+ :
(0 )
i А
L
; (1.31)
б) в уравнении (1.31) постоянная А будет найдена, если известно
значение i (0+). Эту величину можно отыскать, используя начальные
условия.
Независимые начальные условия (или законы коммутации).
В соответствии с первым законом коммутации
(0 ) (0 )
ii
.
L
20
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]