Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Сборник заданий по высшей математике с образцами решений (математический анализ). Учебно-методическое пособие
.pdf
Ɇɢɧɢɫɬɟɪɫɬɜɨ ɨɛɪɚɡɨɜɚɧɢɹ ɢ ɧɚɭɤɢ Ɋɨɫɫɢɣɫɤɨɣ Ɏɟɞɟɪɚɰɢɢ
ɮɟɞɟɪɚɥɶɧɨɟ ɝɨɫɭɞɚɪɫɬɜɟɧɧɨɟ ɛɸɞɠɟɬɧɨɟ ɨɛɪɚɡɨɜɚɬɟɥɶɧɨɟ ɭɱɪɟɠɞɟɧɢɟ
ɜɵɫɲɟɝɨ ɩɪɨɮɟɫɫɢɨɧɚɥɶɧɨɝɨ ɨɛɪɚɡɨɜɚɧɢɹ
«Ɇɨɫɤɨɜɫɤɢɣ ɩɟɞɚɝɨɝɢɱɟɫɤɢɣ ɝɨɫɭɞɚɪɫɬɜɟɧɧɵɣ ɭɧɢɜɟɪɫɢɬɟɬ»
ȿ. Ⱥ. ɉɨɥɶɤɢɧɚ, ɇ. ɋ. ɋɬɚɤɭɧ
ɋȻɈɊɇɂɄ ɁȺȾȺɇɂɃ ɉɈ ȼɕɋɒȿɃ
ɆȺɌȿɆȺɌɂɄȿ
ɋ ɈȻɊȺɁɐȺɆɂ ɊȿɒȿɇɂɃ
(ɆȺɌȿɆȺɌɂɑȿɋɄɂɃ ȺɇȺɅɂɁ)
ɍɱɟɛɧɨ-ɦɟɬɨɞɢɱɟɫɤɨɟ ɩɨɫɨɛɢɟ
ɆɉȽɍ
Ɇɨɫɤɜɚ
2013
ɍȾɄ 51
ȻȻɄ 22.11
ɉ583
Ɋɟɰɟɧɡɟɧɬɵ:
ȼ. Ⱥ. Ȼɭɟɜɢɱ, ɩɪɨɮɟɫɫɨɪ ɤɚɮɟɞɪɵ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɨɣ ɬɟɨɪɢɢ ɢɬɟɥɥɟɤɭɚɥɶɧɵɯ
ɫɢɫɬɟɦ ɆȽɍ ɢɦ. Ɇ. ȼ. Ʌɨɦɨɧɨɫɨɜɚ, ɞɨɤɬɨɪ ɮɢɡ.-ɦɚɬ. ɧɚɭɤ
Ⱥ. ɂ. ɇɢɠɧɢɤɨɜ, ɩɪɨɮɟɫɫɨɪ, ɡɚɜɟɞɭɸɳɢɣ ɤɚɮɟɞɪɨɣ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɨɣ ɮɢɡɢɤɢ
ɆɉȽɍ, ɞɨɤɬɨɪ ɩɟɞɚɝɨɝɢɱɟɫɤɢɯ ɧɚɭɤ
ɉ583 ɉɨɥɶɤɢɧɚ ȿ. Ⱥ., ɋɬɚɤɭɧ ɇ. ɋ. ɋɛɨɪɧɢɤ ɡɚɞɚɧɢɣ ɩɨ ɜɵɫɲɟɣ ɦɚɬɟɦɚɬɢɤɟ
ɫ ɨɛɪɚɡɰɚɦɢ ɪɟɲɟɧɢɣ (ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɢɣ ɚɧɚɥɢɡ). ɍɱɟɛɧɨ-ɦɟɬɨɞɢɱɟɫɤɨɟ ɩɨɫɨɛɢɟ.
– Ɇ.: ɆɉȽɍ, 2013 – 200 ɫ.
ȼ ɩɨɫɨɛɢɢ ɪɚɫɫɦɨɬɪɟɧɵ ɨɫɧɨɜɧɵɟ ɪɚɡɞɟɥɵ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɨɝɨ ɚɧɚɥɢɡɚ, ɜɟɤɬɨɪɧɨɝɨ
ɚɧɚɥɢɡɚ ɢ ɷɥɟɦɟɧɬɵ ɬɟɨɪɢɢ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɟɣ ɜ ɬɨɦ ɨɛɴɟɦɟ, ɤɨɬɨɪɵɣ ɬɪɟɛɭɟɬɫɹ ɢɡɭɱɢɬɶ
ɫɬɭɞɟɧɬɚɦ 1 ɢ 2-ɝɨ ɤɭɪɫɨɜ ɮɚɤɭɥɶɬɟɬɚ ɮɢɡɢɤɢ ɢ ɢɧɮɨɪɦɚɰɢɨɧɧɵɯ ɬɟɯɧɨɥɨɝɢɣ. əɫɧɵɣ ɢ
ɞɨɫɬɭɩɧɵɣ ɫɩɨɫɨɛ ɢɡɥɨɠɟɧɢɹ ɩɨɦɨɠɟɬ ɫɬɭɞɟɧɬɚɦ ɨɜɥɚɞɟɬɶ ɧɟɨɛɯɨɞɢɦɵɦɢ ɡɧɚɧɢɹɦɢ ɩɨ
ɜɵɫɲɟɣ ɦɚɬɟɦɚɬɢɤɟ. ɉɨɫɨɛɢɟ ɦɨɠɧɨ ɪɟɤɨɦɟɧɞɨɜɚɬɶ ɬɚɤɠɟ ɞɥɹ ɫɚɦɨɫɬɨɹɬɟɥɶɧɨɣ ɪɚɛɨɬɵ ɢ
ɪɚɛɨɬɵ ɩɨ ɢɧɞɢɜɢɞɭɚɥɶɧɵɦ ɩɥɚɧɚɦ.
ISBN 978-5-7042-2490-7
© ɆɉȽɍ, 2013
© ɂɡɞɚɬɟɥɶɫɬɜɨ «ɉɪɨɦɟɬɟɣ», 2013
Введение
Настоящее учебно-методическое пособие предназначено для изучения
высшей математики на факультете Физики и информационных технологий
МПГУ и учитывает специфику этого факультета. Оно написано в соответствии
с требованиями ФГОС для направления подготовки «Педагогическое образова-
ние», рассчитано на студентов 1 и 2 курса, обучающихся по профилям: Физика,
Физика и Информатика, Фундаментальная физика.
Пособие включает
теории вероятностей:
1) Введение в анализ
2) Дифференциальное исчисление функции одной переменной и его приме-
нения
3) Неопределенный и определенный интеграл
4) Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
5) Кратные и криволинейные интегралы
6) Векторный анализ
7) Ряды
8) Дифференциальные уравнения
9) Элементы теории
Структура пособия такова, что оно содержит в краткой форме основной тео-
ретический материал, подробное решение типовых задач, большое количество
заданий для самостоятельной работы, ответы и список литературы для более
подробного ознакомления с рассматриваемыми темами. Изучение каждого раз-
дела заканчивается примерным вариантом контрольной работы, коллоквиума
или индивидуального задания.
Благодаря такой структуре
задачник для практических занятий, но также для организации самостоятельной
работы студентов, работы по индивидуальным планам, в экстернате.
Дополнительно можно рекомендовать задачник [5]
в себя 8 разделов математического анализа и элементы
вероятностей
, пособие может быть использовано не только как
3
Глава 1. Введение в анализ
(
)
=
Xx∈
(
)
=
bkxy+=
(
)
+∞∞−
∈
0≠a
(
)
+∞∞−
∈
0≠k
()(
)
+∞∪∞−∈
0≠x
(
)
+∞∞−
∈
(
)
+∞∞−
∈
[
)
+∞
∈
(
)
+∞∞−
∈
α
(
)
+∞
∈
0>a
1≠a
(
)
+∞∞−
∈
=
0>a
1≠a
(
)
+∞
∈
xysin
=
(
)
+∞∞−
∈
xycos
=
(
)
+∞∞−
∈
xytg
=
xyctg
=
)(n
x
π
≠
(
)
−
=
(
)
=
0>a
(
)
+
=
0>a
0
1
3
3
1
2
y
y=x
Функции и их графики
Говорят, что на некотором множестве X задана функция
для любого
y, которое определяется соотношением
Множество допустимых значений X называется областью определения
функции.
;x
ласть определения
k
y =
x
ласть определения
xy = ,
3
ные функции
ay = (
,
0
1
График функции
сдвигом по оси ox
сдвигом по оси ox
Пример
(читается x принадлежит X) найдется единственное значение
Основные элементарные функции:
– линейная функция, график – прямая, область определения
2
(
3
xy = ,
x
cbxaxy ++=
(
) – квадратичная функция, график – парабола, об-
;x
) – обратная пропорциональность, график – гипербола, об-
;x ;
;x ;
;
xyalog
(
,
,
;x ;
– тригонометрические функции
Основные приёмы построения графиков
на “a” вправо, если
на “a” влево, если
xy = ,
),
),
axfy
y=(x-2)
xfy
.
;00;x или коротко
4
xy = рассматривается при
;x – показательная функция
;0x – логарифмическая функция
получается из графика функции
;x ; xy = ,
,
, а график функции
.
;x ;
;0x ;
;0x – степен-
;
xfy
, если
π
⎛
⎜
⎝
⎞
π
;
+≠ nx
⎟
2
⎠
xfy
axfy
-1
-1
x
4
20 График функции
(
)
+
=
(
)
=
0>A
0<A
0
2
2
y
y=x
y = x - 2
(
)
=
(
)
=
k
1>k
10<<k
k
0
1
2
2
x
y
≥
(
)
(
)
≥
(
)
<
0
0
y
y
y = x+2
y = x+2
гом по оси oy на А вверх, если
Пример
Axfy
получается из графика функции
или вниз, если
.
x
xfy
сдви-
-2
0
График функции
3
в “
” раз по оси ox, если
оси ox ).
kxfy
Пример
0
Понятие модуля
4
При построении графика функции
0
xf , а та часть, где
где
Пример
2
получается из графика функции
(если
y=sin2x
, то растяжением в “
y=sin x
xfy
сжатием
1
” раз по
0если,
⎧
=
x
⎨
⎩
xx
0если,
xx
<−
xfy = сохраняется та часть графика,
0
xf зеркально отражается относительно оси ox.
2
-2
xx
-2
5
При построении графика функции
(
)
−
=
(
)
=
(
)
−
=
(
)
=
0
0
x
x
y
y
y = f(x)
(
)
(
)
(
)
=
(
)
−
=
−
=
(
)
+
=
x ch
y
=
x sh
y
=
(
)
(
)
(
)
x
x
2
x
2
x
x th
y
=
xy2
sin
=
3
xytg
=
ражение графика функции
фика
xfy
– зеркальное отражение графика функции
но оси oy.
Примеры
xfy
происходит зеркальное от-
xfy
относительно оси ox, при построении гра-
xfy
относитель-
y = f(x)
y = - f(x)
Примеры для самостоятельного решения
Построить графики функций:
2
xy = 2) 3xy =
1)
5)
9)
y
13)
17)
21)
25)
28)
y1=
32)
y 36) 1
35)
38)
41)
44)
47)
3
2+= xy
3−= xy
10)
2
+
x
1
⎞
⎛
=
⎟
⎜
3
⎠
⎝
xy 18)
1,0
1log
6)
14) xy
42+−= xy 22) 12−= xy 23)
2
2+−= xy 26) 96
222++= xxy 29)
33)
1
+
=
3
+
2+= xy 39) xy −=1 40)
42)
π
⎞
⎛
⎜
⎝
π
⎛
−=3ctg
xy
⎜
⎝
45) xy cos= 46)
−+=4cos21
xy
⎟
⎠
⎞
48) xy tg= 49)
⎟
⎠
y = f(-x)
-a a
3)
4
3−= xy
7)
1+= xy
log
15)
2
xy ln=
19)
11)
4
xy = 4)
xy =
8)
x
y 3=
12)
log
2
2
24)
2
++= xxy 27)
3
1+= xy 30)
1
y = 34)
2
1
+=xy
2
x
cos
y = 43)
37)
=
y
y
3
xy =
y
16)
xy
xxy −=
20) 2−= xy
322+−= xy
3
xy −=
31)
1
+
2
()
11−=x
π
⎛
⎜
⎝
⎞
+=32sin
xy
⎟
⎠
sin xy =
50) xy sin=
log
1−= xy
13−=x
2
xy
1,0
13+= xy
6
Вычисление пределов
А
=
0
>
ε
N
Nn>
ε
AAa
a
N+1
N+2
A
1
n
1
n
ε
0
>
ε
Nn>
11n
[
]
x
x
Nn>
ε
n
n
4
7
∞→n
n
n
n
последовательностей и функций
lim
n
∞→
номер
Число
n
называется пределом последовательности
Aa
), если для любого сколь угодно малого числа
, что для всех номеров
справедливо неравенство
ε
<− Aa
n
.
a (обозначается
n
Геометрически это означает, что все члены последовательности
ная с некоторого номера N лежат внутри
– окрестности точки A:
Образцы решений
а)
a
n
. Доказать, что 1
=
+
n
номер N, соответствующий
Решение
Пусть
– любое. Требуется найти номер N, такой, чтобы для всех
выполнялось неравенство
ε
<
или
+
1 >+n
Обозначим через
вается наибольшее целое число, не превосходящее
Поэтому если брать
выполняться при всех
= 0,01 N = 99.
б) Вычислить предел
Решение
lim
n
∞→
Для решения таких примеров, где числитель и знаменатель представляют собой многочлены или степенные функции, а
знаменатель дроби делят на старшую степень n, в данном случае на
3
nn
++
52
lim lim
nn
→∞ →∞
nn
74
=
2
+
т.к. числитель → 1, а знаменатель → 0.
n
lim =
∞→
n
, пользуясь только определением и найти
+
= 0,1 ; ε = 0,01.
n
1n
1
, значит 1
ε
1
−>εn .
x целую часть числа
1
⎤
⎡
, то интересующее нас неравенство будет
=
N
⎥
⎢
ε
⎦
⎣
. В частности при ε = 0,1 N = 9, при
3
+−
nn
25
.
2
+
52
++
1
23
nn
74
= ∞
,
+
2
или
ε
<−+1
nn
+−−11n
. Целой частью числа x назы-
.
найдется такой
a , начи-
n
, отсюда
ε
<
, числитель и
3
:
7
Примеры для самостоятельного решения
1
n
n
+
n
n
+
100
15
5
3
n
n
n
n
−
+
4
9
n
n
+
−
+57
8
6
5
n
n
1
n
→
ε
≠
0
U
x
y
0
∈
(,)AA
−
+
ε
ε
Afx
A
−<<
+
ε
ε
(
)
∞
∞
0
∞
∞
∞–∞
51) Пользуясь только определением, найти
lim
n
52) Показать, что предел последовательности
→∞
⎛
⎜
⎝
a
⎞
−
n
.
⎟
⎠
1
n
+
n
)1(+−
n
=
не может существо-
n
вать.
Вычислить пределы:
n
53)
56)
59)
62)
1
lim
54)
2
nn→∞
32
nn
− +
→∞
→∞
n
2
2
10 1
2
57)
60)
n
63)
1000
+∞→n
lim
n
lim
n
lim
n
lim nn→∞5
55)
3
++
52
lim
n
lim
n
lim
n+∞→
∞→
∞→
10
nn
23
++
3
+
6
n
2
++
2
n
64)
nn
lim
58) lim
61)
lim
n
→∞
2
nn
2
n
→∞
n+∞→
3
lim
∞→
n
1
− +
67
n
2
nn
2
1
n
+
+
Число А называется пределом функции
бого сколь угодно малого
для всех x из этой окрестности
>0 найдется такая окрестность )(
()xx
y = f(x) при xx
выполняется неравенство
0
fx A()− <
ε
.
, если для лю-
0
xU точки x
0
, что
0
A
A
A
x
x
0
Геометрически это означает, что для
)( 0xUx
всех точек
точки
x
, значения f(x) лежат в про-
0
межутке
, кроме самой
, т.е.
.
(x )
Справедливы следующие правила:
1) Если числитель и знаменатель дроби стремятся к некоторым постоянным
числам, то предел равен их отношению.
2) Если числитель стремится к постоянному числу, а знаменатель к бесконечно-
сти, то предел равен 0.
3) Если числитель стремится к бесконечности, а знаменатель к постоянному
числу, то предел равен
4) Если же числитель и знаменатель одновременно стремятся к 0 или
ворят, что имеется неопределенность типа
.
, то го-
0
или
и её надо раскрыть. Вы-
ражение вида
также представляет собой неопределенность.
8
+
3
x
x
x
(
)
2
3
x
x
1
+→x
2
5
x
x
x
x
x
()(
)
−
+
3
x
x
1
x
x
(
)
1
x
x
x
2
3
4
x
x
10
7
x
x
x
1
x
x
1
3
x
x
1
3
x
x
1
2
x
3
1
x
x
1
xxx
65)
68)
а)
б)
в)
г)
д)
lim
lim
lim
x
lim
lim
x
lim
x
lim
→
x
→
x
Образцы решений
1
x
∞=
→
3
x
→
1
→
2
∞→
+∞→
,т.к. числитель стремится к 4, а знаменатель к 0.
−
2
xx
12
+−
=
2
−
2
2
2
+
1
lim
−−
232
xx
=
lim
x
+−
3
xx
lim
=
34
x
++
xxx−+
=
lim
2
x
1
−
lim
1
2
→
∞→
x
=
→→
()
xx
1
∞→
xx
1
−
⎛
()
22
xx
⎜
⎝
()()
xx
31
+
32
xx
25
++
4
()
1
+−
−−
= 0
x
1
−
0
=
x
1
⎞
⎟
2
⎠
12
1
x
lim
=
2
x
−
++⋅−+
11
xxx
++
12
= 5
xx
xxxx
lim
=
x
∞→
1
()
= 0
xxx
++
1
Примеры для самостоятельного решения
lim
x
→
lim
x
→
2
+−
xx
12
3
1
−
2
+−
xx
65
2
2
−
2
+
x
2
2
−
1
5
66)
21
xx
−−
2
69)
−
lim
x−→
lim
x
x
1
2
3
→
67)
34
+−
xx
3
−
xx
70)
()
71)
74)
77)
80)
83)
lim
x
lim
x
lim
x
lim
x
lim
→
x
2
−
44
x
−→
1
x
1
→
∞→
∞→
4
−
3
+
−+
++
2
x
2
−+
38
−+
75)
xx
24
+−
3
31
xx
32
16
−
33
xx
72)
78)
81)
84)
35
−−−
lim
x
lim
lim
x
lim
lim
2
+−
5112
xx
2
→
5
3
xx28
→
0
4
−
2
∞→
x
∞→
3
→
x
1
73)
+−
−−
76)
5
xx
79)
+−
23
73
++
xxx
xx
−+
2
+−−
82)
85)
2
xx
23
lim
→
lim
x
lim
x
lim
→31
x
2
xx11
−+
0
+∞→
2
x
2
∞→
x
⎛
⎜
2
∞→
x
⎝
1
⎛
⎜
−
1
⎝
2
−
+
3
+
)4(lim
xxx−+
1
⎞
x
−
⎟
1
⎠
3
⎞
−
⎟
−
1
xx
⎠
9
x
x
x
x
2
−
(
)
α
=
(
)
=
α
→
(
)
α
(
)
β
(
)
α
()(
)
β
α
0→x
xx~
sin xx~
arcsin
xx~
tg xx~
arctg
2
545
x
x
x
2
sin
(
)
(
)
x
x
2
sin
2
x
4
x
x
α
x
5
sin
x
3
−
Следствия
Первый замечательный предел и его следствия
sin
x
lim
x
0=→
1
— первый замечательный предел
x
tg
lim0=
→
x
1
1
lim
x
arcsin
0=→
x
lim
x
arctg
0=→
x
1
lim
→
x
cos1
x
1
=
0
1
x
2
xy
Функция
если
→xxx
0
Две бесконечно малые при
эквивалентными
называется бесконечно малой в окрестности точки
0lim
.
xx
, если
функции
0
x
(записывается
1lim
xx
0
()
β
=
x
→
x
и
~ ).
x
xx
При вычислении пределов бесконечно малую можно заменить на эквива-
лентную величину.
Таблица эквивалентных бесконечно малых
при
1
~cos1 xx−
Образцы решений
4
а)
б)
lim
x
lim
x
x
4sin
0→
xtg
5
cos1
−
→
0
x
lim
=
0=→
x
3
x
=
lim
x
1
2
3
2
xxx
coscos1cos1
++⋅−
→
0
xx⋅
2
lim
=
0
→
3
=
2
x ,
называются
2
0
Примеры для самостоятельного решения
lim
86)
lim
89)
xx3sin
87)
0→
x
2tg
x
90)
0→
lim
lim
x
kxxtg
88)
0→
x
2arcsin
0→
91)
10
lim
x
lim
x
→
x
sin
0→
x
β
sin
xx
arcsin2
0
+
xx
arctg2
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]