Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Сборник заданий по высшей математике с образцами решений (математический анализ). Учебно-методическое пособие
.pdf
Образец решения
+
x
x
x
xz
y
=
+′=
′
z
−
+
1
z
−
+
1
z
−
1
z
−
1
(
)
(
)
−
xdxz
z
1
1
(
)
z
+
112
2
y
′
sttsdt
x
x
x
x
x
(
)
(
)
yx
′
y
Разделив на
′
y
Сделаем замену
=
yx
−
числитель и знаменатель правой части, получим
y
+
1
x
=
y
−
1
y
=
z
(z – новая функция), отсюда
Подставив в уравнение, получим
z
1
′
zzx
=+
или
z
1
′
zx −
=
′
zx
=
dz
x
dx
1
()
z
+
1
z
1
1
+
=
1
−
z
dz
2
2
zzz
+−+
//
2
z
z
dx
;
=
x
zx
;
1
−
z
⋅
()
1
+
zx
dz
+
arctg
arctg
2
z
+
1
′
=
dx
2
zdz
−
22
+
1
z +=
−
∫
1
()
; zzxy
.
=
∫∫∫
2
zd
+
2
2
cx
ln
cxzz +=+− ln1ln
Возвращаясь к старой функции
2
arctg
y
x
y
1
2
⎞
⎛
+− ln1ln
⎟
⎜
2
x
⎠
⎝
, получим
cx
+=
. Это общий интеграл данного уравнения.
Примеры для самостоятельного решения
13)
15)
17)
19)
yx −=′coscos
′
−+ yxyyx
y
y
y
x
ey
+=
0222=
y
y
x
02=−− dyxydxyx 20)
ds
14)
16)
18)
−=
2
y
′
y
()
2
−=
2
yyx =−′arctg
y
x
; 0
y
1==x
022=−+ xydydxyx
121
Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка
()(
)
=
+
′
(*)
(
)
(
)
(
)
=+′
dx
(
)
(*)
(**)
(*)
)(x
c
(**)
x
)
(
∇
x
)
(
∇
(
)
)
(
∇
(
)
x
()()(
)
′
x
x
Линейное дифференциальное уравнение 1
Здесь y и y′ входят в 1ой степени, а
1й способ
– метод вариации произвольной постоянной. Он состоит в
го
порядка – это уравнение вида
xqyxpy
xp и
xq – заданные функции.
том, что сначала решают однородное уравнение, соответствующее данному
уравнению
щимися переменными
0
yxpy (однородное уравнение). Это уравнение с разделяю-
dy
−=
()
yxp
или
dy
()
.
dxxp
−=
y
Интегрируя, получаем
dy
∫∫
y
одн.
Теперь будем искать решение исходного уравнения
Подставив
решение
неодн.
y в уравнение
исходного уравнения.
неодн.
−= dxxp
∫
cey
()
()
−=dxxp
∫
()
excy
−=dxxp
cdxxpy lnln +−=
в виде
()
∫
.
, найдём функцию
, а значит и общее
Образец решения
y
3
′
y =−
x
Решаем сначала однородное уравнение
y
′
y
dy
y
03=−
dx
;
3=
x
Опуская знаки модулей, имеем
Ищем теперь решение уравнения
предполагаемую форму решения в
3
xxC
3
′
3
xxC =−
()
()
1
′
()
xC =
()
xC +−=
2
1
C
1
cxy lnln3ln +=
cxy =
одн.
в виде
.
x
223
33
xxxCxxCxxC =−⋅+
122
3
.
3
xxcy = . Подставим эту
Подставив это выражение в предполагаемую форму решения, получим
u
vuy
⋅
=
(*)
′
()(
)
=+′+′
()()(
)
=
+′+
′
(**)
y
(
)
=+′
v
(
)
e
v
v
(**)
u
x
vuy
⋅
=
x
x
(**)
1
⎛
y
⎜
⎝
неодн. об.
2
⎞
3
+−=
xc
⎟
1
x
⎠
3
xcxy +−=
– это общее решение исходного уравнения.
1
2й способ
функций
Подставив в уравнение
Так как вместо одной функции
– замена неизвестной функции y на произведение 2х новых
и v:
.
, получим
() () ()
⋅ , или
xquvxpvu =+
xquvxpvuvu
,
xqvxpvuvu
.
мы теперь ищем 2 функции u и v, то
мы вправе наложить дополнительное условие
dv
0
vxpv , откуда
()
−=
dxxp
−=dxxp
−= dxxpvln
∫
()
∫
Подставив найденное
()
dxxp
−
∫
′
′
=
()
∫
()
=
exqu
∫
()
= dxexqu
∫
Перемножив найденные функции
ного уравнения.
y
3
′
y =−
x
Сделаем замену
uv =−′3
′
+
′
+
uv
3
′
vuvu =−
⎛
′
vuvu =
−
⎜
⎝
()
в уравнение
()
xqeu
или
dxxp
()
dxxp
Образец решения
x
,
xuv
3
⎞
xv
⎟
x
⎠
, получим
и v, получим общее решение исход-
123
Приравняем выражение в скобках нулю
x
x
v
xv=
v
xxu
=
′
x
x
u
=
−
′
dt
1=s
1−=
t
=+′
()(
)
0
=+′
′
=+′
x
v , откуда
dv 3
Найденную функцию
′
u =
u +−= ,
Перемножив
неодн
y
2
03=−′v
dx
=
xv ln3ln =
3
.
3
1
2
1
подставим в уравнение (**)
c
1
и v, получим общее решение исходного уравнения
1
⎛
⎜
⎝
1
⎞
3
xc
+−=
⎟
1
x
⎠
3
xcxy +−=
– общее решение неоднородного уравнения.
Примеры для самостоятельного решения
19)
20)
21)
*
22
гументом)
*
23
ds
t
′
)
=
)
+
21yxy−
322−= ts
;
xyy 42
(является линейным, если считать x функцией, а y ар-
2
′
при
121 xxyyx +=−
xxyxy 2sinsincos
2
22
24) Найти линию, у которой начальная ордината любой касательной на 2
единицы масштаба меньше абсциссы точки касания (начальной ординатой касательной называется ордината, соответствующая абсциссе, равной
25)
26)
27)
28
а
функцией)
*
′
)
y−+=
xyy cos
x
eyyx ,
y
ln2
0=−+
byax=
=
xxxyy cossincos
(является линейным, если считать y аргументом,
xyyy
).
124
()(
)
′
0
≠
α
1
≠
α
′
′
262xzzx=+
′
x
x
5
⇒
()(
)
=
+
(*)
()(
)
∂
∂
(*)
(
)
dU
Qdy
Pdx
=
+
(*)
(
)
()(
)
∂
∂
(
)
2
2
Уравнение Бернулли
Уравнение Бернулли – это дифференциальное уравнение 1го порядка вида
α
yxqyxpy =+
, где
Оно приводится к линейному с помощью подстановки
,
.
yz .
Образец решения
′
yx
y
2
yxyyx
26 =+
2
26 xy
=+
2
или
, заменим yyyz ===
z
3
′
z =+
1
−
1
−
1
α
2
, тогда
x
α
−=1
y
′
=
z
y
2
Решая полученное линейное уравнение, получаем
u +=
5
x
⇒
yz =
2
,
zy =
1
x
⎛
z +=
⎜
3
x
⎝
⎛
y
⎜
5
⎝
⎞
;
+=
⎟
5
⎠
2
2
Cx
⎞
.
+=
⎟
3
x
⎠
1
v = , C
3
Т.к.
Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах
0;;
dyyxQdxyxP
- дифференциальное уравнение в полных
дифференциалах, если выполняется условие:
Тогда правая часть уравнения
функции
yxU ; , то есть
Общее решение уравнения
есть полный дифференциал некоторой
.
Образец решения
а)
1 способ
Так как
полных дифференциалах.
∂
yP∂
yx
,
∫
yx
,
()
00
x
3
0
Q
=
x
+=
QdyPdxU
или
y
()
22
∫∫
0
2244
Cyxyx =−+
2323
022
=−+− dyyxydxxyx
, то это уравнение в
4
4
23
−+=
=
dyyxydxxU
yx
0
- общий интеграл.
25
Cx
zC
CyxU=;
.
3
5
x
;;
yxP
=
∂
y
yxQ
.
x
∂
.
yyx
2
y
2
−+
0
=
x
222
0
2244
yxyx−+
.
125
2 способ
2
2
2
222
−
+
x
()(
)
=++
+
(
)
()(
)
(
)
(
)
(
)
[
]
n
=′′
′
2
6
2
24
Замечаем, что
откуда
3
2
ddxx =
2244
yxyx
C
=−+
3
,
2
или Cyxyx =−+
4
x
4
y
,
ddyy =
2244
22
- общий интеграл.
22
yx
,
dydyxdxxy =+
б)
ydyxdx
=
22
yx
+
xdyydx
2
x
Можно заметить, что правая и левая часть – это дифференциалы
функций:
y
⎞
⎛
++
022=
dyxd
⎜
⎝
, C
⎟
x
⎠
y
22
yx =++
- общий интеграл.
Примеры для самостоятельного решения
02
29)
30)
31)
22
dyyxdxyx
=+++ xydydxxyx
022
2223
0323
=−−+− dyyyxdxxyx
Дифференциальные уравнения высших порядков.
Методы понижения порядка
Простейшие типы дифференциальных уравнений, допускающих понижение порядка:
I. Уравнение вида
)(
xfyn=
Интегрируя 1
интегрируя 2
и так далее,
ый
раз, получим
ой
раз, получим
раз.
−1)1(
n
∫
n
−
)2(
∫
+=
cdxxfy
,
cdxcdxxfy
++=
,
21
Замечание. Общее решение или общий интеграл должны содержать
столько произвольных постоянных, каков порядок уравнения.
Образец решения
xy
2
x
′′
y +=
′
y ++=
y +++= – общее решение дифференциального уравнения
c
1
3
x
4
cxc
21
2
xcx
1
cxc
32
126
II. Уравнения, не содержащие явно неизвестную функцию y:
(
)
′′′
(
)
=
′
1
(
)
(
)
′
′′=
′
(
)
=
′
(
)
′=′
′
zxz′=
xdxz
cxz=
=
′
2
2
x
(
)
(
)
′′′
(
)
=
′
(
)
(
)
=
′
)(
n
0,...,,,
=
Делаем замену
xzy
′=′′
()
xzy
...
() ( )
nn 1
−
=
()
xzy
yyyxF
Подставив в уравнение, видим, что его порядок уменьшился на
цу.
1
−n
=
zzzxF
0,...,,,
Образец решения
yxy
Замена
xzy
;
xzy
;
dz
=
;
cxz lnlnln +=
едини-
Возвращаемся к старой переменной
cxy
2
1
(
2
x
c
cy += или
2
cxcy +=
– общее решение исходного уравнения.
2
c
c =
)
1
III. Уравнения, не содержащие явно независимую переменную
Делаем замену
yzy
dz
dz
′′
y
dx
dy
dy
dx
n
0,...,,, =
yyyyF
dz
z
=⋅==
dy
...
Образец решения
yzy
dz
′′
zy
=
dy
⎞
dz
⎟
− z
⎟
dy
⎠
127
′′
Делаем замену
dz
yz =
dy
2
yyy′=
2
; 0=
z
⎛
⎜
yz
⎜
⎝
:
1)
0=z
′
=
=
′
=
′
c
y
=
cy
z
=
cxc
=
=
=′′
′
(
)
′+′
′
(
)
(
)
(
)
′+′
′
x
′
+
=
′
′
′=′
′
(
)
+′=′′
(
)
′=+′
′
′
(
)
=
+′+
′
′
constqp=,
≠
(*)
(**)
=
=
(*)
2)
0
y
dz
y =
dy
dz
z
Так как yz
z
dy
=
∫∫
y
cyz lnlnln +=
dy
ln cxcy +=
dxc
=
1
y
21
ey+=
– общее решение
, то cyy
21
(y = c входит в последнюю формулу исходного
)ln,0
ccc
при
21
уравнения.
Примеры для самостоятельного решения
32)
34)
36)
′′
2 yyy′=
+
xy cos
2
21 xyxyx =
33)
35)
32
37)
2
+ yxyx
′′
12 yyy
+=
′=′′
ln
yyx
021
=
2
′
y
42)
43)
38)
40)
2
+′′yyy
′
xxy sin
′′
+′yyy
21
12=
022=
yxxy
;
10=
y
;
=x
.
39)
41)
30=
y
=x
yyx
xyy
Линейные дифференциальные уравнения 2го порядка
с постоянными коэффициентами.
А. Однородные линейные дифференциальные уравнения с постоянными
коэффициентами.
Такие уравнения имеют вид:
0(*)
qyypy , где
Для решения вводится характеристическое уравнение
а) Если корни этого уравнения
решение уравнения
имеет вид
kk
и оба действительные, то общее
21
ececy
+=
21
б) Если корни характеристического уравнения
kkk
, то общее решение уравнения
21
имеет вид
xececy
+=
21
xkxk
21
kxkx
равны, то есть
(**)02=++ qpkk
.
128
в) Если корни характеристического уравнения
(**)
β
α
+
=
β
α
−
=
(*)
(
)
x
α
=′−′′
02=−k
k
=
=
=′−
′
′
=+′−′
′
0962=+−kk
=
=
=
+
′
′
0
92=+k
=
−
=
+
=
=
+′−
′
′
′
2
5=y
0=x
=
′
0=x
0452=+−kk
=
=
=
=
=
+′+
′
′
=
+′−
′
′
=
+′+
′
′
=
+
′
′
ik
ными, то есть
1
, ik
2
, то общее решение уравнения
являются комплекс-
имеет
вид
xcxcey
β+β=
sincos
21
Образцы решений
1)
Характеристическое уравнение
следовательно общее решение дифференциального уравнения
вид
0
yy
x
eccy21+= .
имеет 2 решения 0
k ; 1
1
yy имеет
k ,
0
2
2)
Характеристическое уравнение
3
kk , поэтому общее решение данного дифференциального уравнения
21
имеет вид
3)
yy
Характеристическое уравнение
сопряжённые корни
циального уравнения записывается так:
4)
Здесь дано дифференциальное уравнение и
при
и 8
y при
yyy
+=
09
yyy ;
096
имеет совпадающие корни
xx
33
xececy
.
21
имеет комплексно-
ik 3
1
045
; ik 3
y
, значит общее решение данного дифферен-
2
21
50=
;
=x
80=
y
=x
начальных условия:
. Их задание позволяет найти константы
xcxcy 3sin3cos
c и 2c в
1
общем решении и, следовательно, найти частное решение, которое удовлетворяет данным начальным условиям.
Характеристическое уравнение
имеет корни 4
k ; 1
k ,
1
2
общее решение дифференциального уравнения записывается так
xx
4
ececy
+=
, найдём
21
′
4 +=
xx
4
ececy
21
Подставим начальные условия
+=
5
⎧
⎨
⎩
Частное решение, удовлетворяющее данным начальным условиям
cc
21
1
c ; 4
c
1
+=
48
cc
21
xx
eey 44+=
.
2
Примеры для самостоятельного решения
44)
027
yyy 45) 065
yyy
096
46)
yyy 47) 03
129
yy
48) 016
=
−
′
′
=′−
′
′
=
+′−
′
′
=
+′+
′
′
=
−
′
′
=
+
′
′
=
+′−
′
′
=
+
′
′
′
(
)
(
)
n
(
)
′+′
′
constqp=,
)
(
∇
=+′+′
′
)
(
∇
+
=
α
(
)
x
α
(
)
(
)
α
(
)
x
α
α
(
)
x
α
=+′−′
′
=+′−′
′
0232=+−kk
=
=
50)
52)
54)
yy 49) 02
044
yyy 51) 0134
04
yy 53) 04
yyy
024
55)
yy
yy
04
yy ;
yyy
y
=x
00=
;
y
В. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения 2
постоянными коэффициентами с правой частью вида
многочлен степени
).
x
α
xPe
(здесь
n
Уравнение имеет вид
Теорема.
Общее решение уравнения
однородного уравнения
уравнения
Находить
Будем искать
а) Если
.
y
мы научились в предыдущем пункте.
общ.
одн.
y
частн.
неодн.
– не корень характеристического уравнения, тогда
где
xQ
– многочлен той же степени, что и
n
(
общ.
неодн.
в следующем виде:
частн.
неодн.
x
α
n
)(∇=+
xPeqyypy
)
состоит из суммы общего решения
0
qyypy и частного решения
yyy
частн.
общ.
неодн.
одн.
=
xQey
,
n
xP
,
n
но с неопределёнными коэффициентами,
б) Если
в) Если
– простой корень характеристического уравнения, тогда
=
частн.
неодн.
– двукратный корень характеристического уравнения, тогда
=
частн.
неодн.
xQxey
,
n
2
xQexy
.
n
Образцы решений
1)
23
xyyy
Решаем сначала соответствующее однородное уравнение
023
yyy . Его характеристическое уравнение
2
k ; 1
k и общее решение однородного уравнения
1
2
общ.
одн.
2
+=
20=
=x
го
порядка с
xP
–
n
y
общ.
одн.
y
частн.
неодн.
имеет корни
xx
.
ececy
21
130
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]