Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Сборник заданий по высшей математике с образцами решений (математический анализ). Учебно-методическое пособие
.pdf
()()
0
2
f(x)
02≤≤x
2
(x)
σ
pnX
M
⋅
=
)
(, qpnXD
⋅⋅=
)
(
1
1
9
⎛
⎜
4256
⎝
414
6
∑
i
=
i
1
35
25
⎞
+++++=
⎟
12
4
494
⎠
22
)()()(
pXMxXMXMXD
=−=−=
i
.9,2
≈=
2) Поезда метрополитена идут с интервалом 2 минуты. Пассажир выхо-
дит на платформу в произвольный момент времени. Найти среднее
время ожидания поезда.
Решение
Время ожидания поезда Х — случайная величина, непрерывно распределенная в промежутке [0; 2].
Плотность вероятности — постоянная величина, т.к. равновероятно
ждать поезда 1 мин, 0,3 мин., 1
f(x) = c для
2
Т.к.
0
сюда
1
=c
=∫dxxf по свойству плотности вероятности, то 1
.
.
1)(
1
/3 и т.д.
Среднее время ожидания поезда — это математическое ожидание
случайной величины Х:
2
0
2
)()(
∫∫
0
1
dxxdxxfxXM
2
2
2
1
x
1
==⋅=⋅=
22
0
Итак, среднее время ожидания поезда — 1 минута.
Средним квадратическим отклонением
называют арифметический
корень из дисперсии
D(x)(x)=
σ
Можно доказать, что для биномиального распределения Бернулли и
распределения Пуассона
σ
qpnX ⋅⋅=)(
(q = 1 – p).
2
=⋅∫dxc , от-
0
,
151
a
a
=
σ
σ
+=−
=
ax ax
,
0
=1
=3
=7
Нормальное распределение Гаусса
Нормальным называют распределение вероятностей непрерывной слу-
чайной величины, которое описывается плотностью
)(
=
2
2
ax
−
)(
−
2
2
σ
exf
πσ
Здесь а — математическое ожидание случайной величины, σ — среднее квадратическое отклонение.
1
=
График функции
)(
2
2
ax
−
)(
−
2
2
σ
exf
πσ
имеет вид:
a
Функция f(x) обладает свойствами:
1) определена на всей числовой оси;
2) f(x) > 0 для всех х;
0)(lim
3)
∞→xfx
4) площадь под кривой равна 1, т.к.
;
∞+
∫
∞−
;
1)( =
dxxf
5) имеет максимум при х = а, график симметричен относительно пря-
мой х = а;
6) точки перегиба:
Название “нормальное распределение
.
” отражает тот факт, что многие
явления и процессы в реальной жизни подчиняются этому закону.
При разных а и σ вид кривой различен, например, при а = 0, σ = 1, σ = 3,
σ = 7 он выглядит так:
Площадь под каждой кривой равна 1. При а = 0, σ = 1 нормальную
)(
функцию
=
2
t
−
1
2
etf
называют нормированной.
2
π
152
2
σ
−
α
()(
)
−=−
axe−
)(
−
К ней можно привести функцию
2
2
σ
, сделав замену
ax
t
.
=
Для неё есть подробные таблицы, она используется во многих задачах
математики и физики (см. Приложение №1).
Вероятность попадания в заданный
интервал нормальной случайной величины
(интегральная теорема Лапласа)
Пусть Х — непрерывная случайная величина с плотностью распределе-
1
ния
=
)(
2
Вероятность того, что случайная величина принимает значения, заклю-
ченные между α и β равна
1
=
)(
2
π
Для этой функции в каждом учебнике по теории вероятностей приведе-
ны таблицы (см. Приложение №2).
Пример
Случайная величина Х распределена по нормальному закону. Её математическое ожидание равно 30, среднее квадратическое отклонение 10.
Найти вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу (10, 50).
Решение
Здесь а = 30,
() ( ) ()
Здесь использован тот факт, что т.к.
жа, т.к.
0
)(
ax
−
−
2
2
σ
exf
πσ
β
βα
α
2
t
x
−
2
dtexФ
∫
0
= 10, β = 50.
⎛
)(
=<<
ФXp
βα
⎜
⎝
2
.
β
−
)()(
1
∫∫
2
πσ
α
— функция Лапласа.
−
a
β
⎞
⎟
σ
⎠
ФФФ
−−=xx
)()(
∫∫
0
−
a
α
⎞
⎛
−
Ф
⎟
⎜
σ
⎠
⎝
≈⋅≈=−−=
dt tfdt tf
.
2
)(
−
ax
2
2
σ
⎛
=
⎜
⎝
−
a
β
⎞
⎛
===<<
ФdxedxxfXp
−
10
⎟
⎜
σ
⎠
⎝
3050
⎞
−
ФФ
⎟
⎠
−
α
⎛
−
Ф
⎜
σ
⎝
3010
−
10
⎞
⎟
⎠
⎛
⎜
⎝
954,04772,022222
xФxФ
, что видно из черте-
a
⎞
⎟
⎠
=
, где
153
)
(
σ
σ
+<<
−
aXa
p
6830341302
,,≈
⋅
x
y
f(x)
)22
(
σ+<<σ
−
aXa
p
9540477202
,,≈
⋅
x
y
f(x)
a
2
)33
(
σ+<<σ
−
aXa
p
9970498602
,,≈
⋅
В частности
= 2Ф(1) =
y
=
0,68
a
a
a
= 2Ф(2) =
y
=
0,95
a
2
a
= 2Ф(3) =
Это означает, что в 68% случаев случайная величина, распределенная по
нормальному закону, попадает в интервал (а – σ, а + σ), в 95% случаев в интервал (а – 2σ, а + 2σ) и в 99,7% случаев в интервал (а – 3σ, а + 3σ).
Правило трех сигм
Если случайная величина распределена по нормальному закону, то веро-
ятность её попадания в интервал (а-3σ, а+3σ) равна 0,997. Если же эта вероятность меньше, чем 0,997, то имеется некоторая внешняя причина, мешающая ей попадать в данный интервал.
Так как величина 0,997 очень близка к 1, то событие, состоящее в том,
что значение
зывают “практически достоверным”, т.е. такой близости к 1 достаточно для
практических целей.
Из “правила 3σ” вытекает такой ориентировочный способ определения
среднего квадратичного отклонения σ: берут максимальное практически возможное отклонение случайной величины от среднего значения а и делят его
на три.
случайной величины лежит в интервале (а – 3σ, а + 3σ), на-
154
Пример
2
2
5000
=⋅=
pna
3
150σ=
При 10000-кратном бросании монеты герб выпал 6000 раз. Можно ли
считать монету симметричной?
Решение
n = 10000, m = 6000,
1
=p
1
,
, т.к. вероятность выпадения герба и
=q
решки у симметричной монеты одинакова.
Математическое ожидание
.
Среднее квадратическое отклонение
σ
50== npq
σ
31000 >=− am
Значит, монета несимметрична.
Задачи
1. Хоккейная команда должна содержать трех нападающих, двух защит-
ников и одного вратаря. Сколькими способами можно составить такую ко-
манду из 9 нападающих, 5 защитников и 3 вратарей?
2. Сколькими способами могут распределиться между 3 призерами 3 ме-
дали: золотая, серебряная и бронзовая?
3. Игральная кость бросается 1 раз. Найти вероятность: а) появления
четного числа очков, б) появления
очков.
4. В урне 7 белых и 4 черных шаров. Из урны вынимают 1 шар и откла-
дывают его в сторону. Этот шар оказался белым. После этого из урны берут
еще один шар. Найти вероятность того, что он тоже будет белым.
5. Игральную кость бросают 2 раза. Найти вероятность
выпадет одинаковое число очков.
6. Бросают 2 монеты. Какова вероятность того, что они лягут разными
сторонами?
7. Ребенок играет кубиками, на которых написаны буквы “М”, “О”, “С”,
“К”, “В”, “А”. Какова вероятность того, что выбирая их случайным образом,
он сложит слово “МОСКВА”?
не менее 5 очков, в) появления не более 5
того, что оба раза
155
8. Из 10 билетов выигрышными являются 2. Найти вероятность того,
что среди наудачу взятых 5 билетов а) один выигрышный, б) два выиг-
рышных, в) хотя бы 1 выигрышный.
9. В лотерее 10000 билетов и установлены 10 выигрышей по 200 рублей,
100 по 100 рублей, 500 по 25 рублей и 1000 по 5 рублей. Куплен 1 билет. Ка-
кова вероятность выиграть не менее 25 рублей?
10. Вероятность улучшить
свой результат у данного спортсмена в одной
попытке равна 0,8. Найти вероятность улучшить результат, если можно сде-
лать 2 попытки.
11. Вероятность поражения цели у одного стрелка 0,4, у второго-0,7. Два
стрелка стреляют одновременно. Какова вероятность того, что цель будет по-
ражена?
12. В урне 20 белых и 30 черных шаров. Из урны вынимают последова-
тельно 2
шара. Какова вероятность того, что первым будет вынут белый шар,
а вторым черный? Что оба шара окажутся черными?
13. В трех ящиках соответственно 1) 2 белых и 3 черных шара, 2) 4
белых и 3 черных, 3) 6 белых и 2 черных. Предполагая, что извлечение из ка-
ждого из трех ящиков одинаково вероятно, определить вероятность того, что
извлечение произведено из
первого ящика, если известно, что вынутый шар
оказался белым.
14. Что вероятнее, выиграть у равносильного противника две партии из
трех, или четыре из шести?
15. Независимые случайные величины X и Y заданы таблицами
0 1 2 yi 1 2 3
x
i
ði 0 0,4 0,6 pi 0,3 0,6 0,1
Найти закон распределения X+Y, её математическое ожидание и дис-
персию.
16. На факультете обучается 730 студентов. Вероятность того, что день
рождения случайно выбранного студента приходится на данный день года,
равна 1/365. Найти вероятность того, что на первое января выпадет день рож-
дения а) трех студентов, б) четырех студентов.
17. Книга в 500 страниц содержит 500 опечаток. Какова
вероятность то-
го, что на странице не менее трех опечаток?
156
18. Случайная величина X распределена по нормальному закону. Ее ма-
D
=
σ
n
+++
n
σ
тематическое ожидание равно 10, а среднее квадратическое отклонение 5.
Найти вероятность того, что X принимает значение, лежащее в интервале
(0,20).
19. Станок-автомат изготавливает валики, причем контролирует их диа-
метр X. Считая, что X-нормально распределенная случайная величина с ма-
тематическим ожиданием а=10 мм и средним квадратическим отклонением
σ=0,1 мм, найти интервал, симметричный относительно математического
ожидания, в котором с вероятностью 0,997 будут заключены диаметры изго-
товленных валиков.
20. При 10000 бросаниях монеты герб выпал 5400 раз. Следует ли счи-
тать монету несимметричной?
Некоторые теоремы теории вероятностей
В дальнейшем нам будут полезны следующие теоремы (доказательство
здесь не приводится, см. [1]).
Теорема
Пусть
Рассмотрим n независимых и одинаково распределенных случайных
величин Х
а дисперсия D,
X
, Х2, ... Хn, у каждой из которых математическое ожидание а,
1
X XX
...
=
21
n
—
среднее арифметическое этих величин.
Тогда 1)
2)
3)
σ
aXM =)( ;
D
XD =)(
X
;
, т.е.
=)(
n
среднее арифметическое имеет то же среднее значение, что и каждая из
случайных величин, но в n раз меньшую дисперсию.
Это означает, что среднее арифметическое достаточно большого числа
таких случайных величин утрачивает характер случайной величины
(объясняется это тем, что отклонение каждой из этих величин Х
от её
i
математического ожидания может быть как положительным, так и отрицательным, а в среднем арифметическом они взаимно погашаются).
157
Теорема Ляпунова (центральная предельная теорема)
n
n
(
)
Если случайная величина X представляет собой сумму очень большого
числа взаимно независимых случайных величин, влияние каждой из которых на всю сумму ничтожно мало, то X имеет распределение, близкое к
нормальному.
Теорема Бернули
(закон больших чисел)
Если в каждом из n независимых испытаний вероятность р появления события постоянна, то как угодно близка к 1 вероятность того, что отклоне-
m
ние частоты
от вероятности р по абсолютной величине будет сколь
угодно малым, если число испытаний достаточно велико, т.е.
m
⎛
P
⎜
∞→
n
n
⎝
вер
m
или
→ .
n ∞→
Последовательность
для любого ε > 0 найдется N(ε), такое, что
⎞
1lim =
<−
ε
p
— сходимость по вероятности
⎟
⎠
p
вер
xx
→ , если
nn∞→
xxp lim
n
∞→
n
ε
<− xx
n
выполняется в вероятно-
εε
10 =<−>∀
, т.е. если
стном смысле, т.е. для всех n > N кроме отдельных значений.
В частности, когда речь идет о многократных измерениях некоторой физической величины, то результаты измерений можно трактовать как одинаково
распределенные случайные величины X
, X2, ... Xn и все предыдущие рассужде-
1
ния применимы к ним.
Итак,
а) среднее арифметическое даёт результат более надежный, чем отдель-
ные измерения;
б) с увеличением числа измерений надежность этого результата возрас-
тает.
Задачи математической статистики
Теория вероятностей устанавливает закономерности, которым подчиняются массовые случайные явления. Математическая статистика изучает методами теории вероятностей статистические данные — результаты наблюдений.
Можно выделить две основные задачи математической статистики:
1) Указать способы сбора и группировки статистических данных, полу-
ченных в результате наблюдений или специально поставленных экспериментов.
2) Разработать методы анализа статистических данных в зависимости
от целей исследования (оценка некоторых параметров или функций
распределения, проверка статистических гипотез).
158
Современная математическая статистика разрабатывает способы опреде-
n
20=n
20
20
20
ления числа необходимых испытаний до начала исследования (планирование
эксперимента), в ходе исследования (последовательный анализ) и др.
Основные понятия математической статистики
Выборочной совокупностью
или просто выборкой называется совокуп-
ность случайно отобранных объектов.
Генеральной совокупностью
называется совокупность объектов, из кото-
рой производится выборка.
Объем совокупности
— это число объектов этой совокупности.
Пример
Из 1000 деталей отобрано 100 деталей для исследования.
В этом случае объём генеральной совокупности N = 1000, объём вы-
борки n = 100.
Выборка должна правильно представлять пропорции генеральной сово-
купности относительно некоторого свойства, т.е. быть репрезентативной
(представительной).
В силу закона больших чисел можно утверждать, что выборка
будет ре-
презентативной, если её осуществлять случайно.
Простой случайный отбор можно реализовать с помощью таблицы случай-
ных чисел, если объекты перенумерованы.
Пусть из генеральной совокупности извлечена выборка, в которой
k
наблюдалось
х
называют вариантами, ni — частотами,
i
В статистике
даемыми вариантами х
n раз, 2x 2n раз, ... kx kn раз, причем
1
под распределением понимают соответствие между наблю-
и их частотами ni или относительными частотами wi.
i
n
i
w
= — относительными частотами.
i
∑
i
=
nn
— объём выборки,
i
=
1
x
Рассмотрим пример такого соответствия:
Тогда
х
ni
i
2 6 12
3 10 7
3
;
=w ;
1
=w ;
2
10
=w .
3
7
(1)
и можно составить другую таблицу:
х
wi
i
2 6 12
0,15 0,5 0,35
(2)
В качестве распределения можно рассматривать как таблицу (1), так и таблицу (2).
159
1
Теоретическая функция распределения F(x) в теории вероятностей опреде-
)()(xXPxF
<
=
n
n
(
)
h
x
n
h
h
h
лялась так:
Эмпирической функцией распределения
.
F*(x) в математической стати-
стике называют функцию, которая определяет при любом х относительную час-
n
x
=)(* .
тоту события X < x, т.е.
xF
n — число вариант, меньших х,
(
x
— объём выборки).
Из теоремы Бернулли следует, что при n →∞
n
или
∞→
вер
→
n ∞→
xFxFP
)()(* xFxF
1)(*)(lim =<−
ε
т.е. эмпирическая функция распределения сходится по вероятности к теоретической.
Графически функцию распределения можно представить полигоном частот (или относительных частот) или гистограммой.
Полигон частот
точки с координатами (x
)).
w
k
В случае непрерывного
(относительных частот) — это ломаная, соединяющая
, n1), (x2, n2), ... , (xk, nk) (или (x1, w1), (x2, w2), ... , (xk,
1
изменения х целесообразно строить гистограмму.
Интервал наблюдаемых значений разбивается на “n” частей, длина каждого h.
Гистограмма частот
основания которых имеют длину h, а высоты равны
— это ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников,
n
i
(плотность частоты).
i
h
h
Площадь i-го прямоугольника
n
i
S =⋅=
i
n
i
Можно строить гистограмму относительных частот
ординат
w
Тогда
nh
— сумма частот i-го интервала,
i
n
=
nS
= объёму выборки.
∑∑
i
i
==
11
i
i
— плотность относительных частот.
n
S =⋅=
i
w
i
wh
, 1
i
n
==
wS
.
∑∑
i
i
==
i
i
11
, откладывая на оси
160
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]