Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Сборник заданий по высшей математике с образцами решений (математический анализ). Учебно-методическое пособие
.pdf
∞
=
−
ε
π
−
b
a
b
=
→
ε
0
dxxfdxxf
)(lim)(
∫∫
+
ε
a
— несобственный интеграл
2 рода (от неограниченной функции)
Аналогично, если
b
a
b
=
∫∫
→
ε
0
a
)(lim
−→
0 xfbx
dxxfdxxf )(lim)(
, то
Если этот предел равен бесконечности или не существует, то говорят, что
интеграл расходится.
+ ∞
dx
а)
∫∫
x
11
+
0
1
dx
б)
x
0
1
1)
1
+∫xdx
0
−
13
3)
5)
7)
9)
11)
13)
15)
17)
dx
∫
5
2
T
2
⎛
sin
⎜
∫
⎝
0
1
xx
()eedx
−∫1
0
1
x
2
e
dx
∫
2
x
1
3
∫
2
xx232
2
2
dx
∫
xx+
1
π
2
∫
+
π
−
2
π
ω
sin ( )
∫
0
b
dx
lim lim ( )arctg arctg arctg
=
2
→+∞→+∞
b
0
ε
x
+
0
1
dx
∫∫
x
ε
Примеры для самостоятельного решения
2)
4)
4
−
x()3
πϕt
2
⎞
dt
−
6)
⎟
0
⎠
T
4
8)
10)
dx
+ −
2
12)
14)
3
dx
16) cos sin
x1
cos
ωϕ
xdx+
0
Образцы решения
b
==+∞− =
2
b
0
ε
18)
x
0
1
ε
0
→→→
ε
−
1
∫
−
2
9
∫
4
16
∫
0
1
∫
0
e
1
0
−∫,
π
0
0
.
22lim2 x2limlim
=−===
ε
dx
3
x()11 5
+
y
1
dy
y
1
+
dx
9
xx+ −
xdx
22
x()
1+
3
dx
1
+∫ln
dx
45++
+ −
5
x−
dx
xx82
2xxdx⋅
xx
1
∫
2
xx
1
05
2
∫
1
xe dx
∫
0
2
2
.
51
π
yfx=(
)
xa=
xb=
=
=
xa=
xb=
0
x
y
f(x)
S
0
x
yay=f (x)
S
2
19) xxdxcos
∫
0
−
e
1
21)
ln( )1
∫
0
9
23)
∫
4
8
25)
∫
3
1
27)
2
2
2
29)
∫
xx+
1
+∞
dx
31)
∫
1
+∞
33)
edxa
∫
+∞
35)
∫
2
+∞
xe dx
37)
∫
0
+∞
39)*
∫
0
20)
+
xdx
21)
x
24)
xdx−
1
xdx
26)
x1
+
2
1
−∫x
dx
28) xxdx
2
x
dx
30)
3
32)
4
x
ax−
>00 ()
34)
ln xdx
36)
x
2
x−
38)
dx
40)*
3
x1
+
Приложения определенного интеграла
Площадь плоской фигуры
а) ограниченной кривой
, осью ох и
,
прямыми
y
=
π
3
xdx
∫
2
xsin
π
4
a
22
axdx
−
x1
1−
3
32− +
dx
1
1()+
∫
0
1
x
∫
xdx1
+
0
1
xdx
∫
+
0
1
22
∫
0
1
2
xdx
∫
2
xx
0
+∞
dx
∫
x
1
+∞
2
xdx
∫
2
x +
0
+∞
∫
2
xx
1
+∞
x−
edx
∫
0
+∞
xxdxsin
∫
0
б) ограниченной кривыми
yfx
() и yfx
1
прямыми
и
1
(), и
2
Sfxdx
a
a
=∫()
b
b
52
f (x)
y
=
2
b
a
Sfxfxdx
= −
() ()
()
12
∫
b
в) ограниченной осью ох и кривой,
=
α
β
≤
≤
0
y
x(t)
S
y
=
y(t)
ϕϕ=
ϕϕ=
r
r=(
)
ϕ
0
x
y
( )
x
y
f(x)
0
x
y
f(x)
=
=≤≤
ϕϕϕ
ϕ
заданной параметрически
xxt
()
⎧
⎨
yyt
⎩
.
=
()
()
t
α
()
xa
β
()
xb
=
=
г) ограниченной двумя лучами
и
1
и кривой
2
.
д) если фигура не ограничена и
несобственный интеграл
конечен, то
∞
Sfxdx=
()
∫
−∞
Длина дуги плоской кривой
а) в декартовых координатах
y
=
∞
∫
−∞
fxdx()
.
0
b
lydx
=+
12()
∫
a
.
′
a
β
Sytxtdt= ′∫() ()
α
S
2
1
ϕ
2
1
2
2
∫
ϕ
1
()ϕϕ
y
=
Srd=
x
=
x
b
r
r
=
a
b
б) для параметрически заданной функции
xxt
()
⎧
⎨
=
yyt
⎩
()
≤≤ =
tlxydt
в) в полярных координатах rr
ϕ
2
22
lrrd=+
()
ϕ
∫
ϕ
1
′
;()() αβ
β
′
∫
α
(),
53
22
+
.
′
12
.
Объём тела
x
y
S(x)
x
y=y
(x)
x
y
z
x
=x(y)
x
y
z
ρ
0
b
x
yay=f(x)
C
а) Объём тела, у которого известна при каждом х площадь сечения S(x)
как функция от х :
b
VSxdx
=∫()
a
a
0
z
b
б) Объём тела вращения вокруг оси ох :
b
Vyxdx
=∫π2()
0
a
b
ox
a
в) Объём тела вращения вокруг оси оу :
d
d
2
=
π
oy
dyyxV )(
∫
c
c
0
Координаты центра масс плоской пластины с плотностью
b
ρρ
xy dx
∫
a
x
=
C
∫
1
2
y
=
C
b
a
ydx
b
⋅
∫
a
b
∫
a
2
ρρ
ydx
ydx
.
.
54
Координаты центра масс плоской материальной кривой плотности ρ
0
x
y
0
x
y
0
y
(y)
ρ
0
x
y
b
xydx
ρρ1
f(x)
y
=
a
b
∫
a
x
=
C
b
1
∫
a
b
yydx
ρρ1
∫
a
y
=
C
b
∫
a
1
+ ′
()
+ ′
()
+ ′
()
+ ′
()
2
2
ydx
2
2
ydx
Момент инерции криволинейной трапеции плотности ρ
f(x)
y
=
x
x
a
b
относительно оси оу:
b
2
Jxydx
=∫ρ
oy
a
d
x
=
c
y
x
относительно оси ох:
d
2
=
ox
∫
c
dyxyJ
ρ
Момент инерции материальной кривой плотности
x
y
относительно оси ох:
b
ρ
ox
∫
a
22
′
dxyyJ
)(1
+=
a
b
относительно оси оу:
b
ρ
oy
∫
a
22
′
)(1
+=
dxyxJ
55
()axb≤≤
x
y
3
2
11x
2
1=x
xysin
=
xycos
=
)
sin(tta
x
−
=
)
cos1(ta
y
−
=
ϕ
ρ
2
sin
a
=
11x
=
=
tax3cos
=
2
)
cos1(
ϕ
ρ
+
=
a
Площадь поверхности, образованной при вращении
кривой y=f(x)
вокруг оси ох
a
b
0
Syydx
b
=+′
21
π ()
пов
∫
ox
a
2
Задачи для самостоятельного решения
2
41) Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболами
42) Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболами
2
x
43) Окружность
822=+ yx разделена параболой
y =
xy = и xy = .
3
y =
x
.
2
xy = и
на две части. Найти
площади обеих частей.
44) Найти площади фигур, на которые парабола
xy 62= делит окружность
1622=+ yx .
45) Вычислить площадь фигуры, заключенной между линией
2
x
y =
параболой
.
46) Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
прямой
.
y+= и
x
ey = , xey−= и
2
47) Вычислить площадь одного из криволинейных треугольников,
ограниченных осью абсцисс и линиями
и
.
48)* Найти площадь фигуры, ограниченной одной аркой циклоиды
,
49) Найти площадь фигуры, ограниченной линией
и осью абсцисс.
.
50) Вычислить площадь фигуры, заключенной между линией
асимптотой.
)1ln(2xy −= от 0
51) Найти длину дуги линии
52) Найти длину линии
53) Найти длину кардиоиды
, tay
sin= ,
56
x до 5,0
1
3
0π≤≤ t
.
x .
2
.
y+= и ее
2
54) Эллипс, большая ось которого 2а, малая 2b, вращается вокруг: а) большой
2
0=x
bx=
2
±
=
y
bya
5,0
0
≤
≤
x
2=x
3
=
=
2
=
=
2
оси, б) малой оси. Найти объемы получающихся эллипсоидов вращения.
55)* Симметричный параболический сегмент, основание которого а, высота h,
вращается вокруг основания. Вычистить объем тела вращения (“лимон”
Кавальери).
56) Цепная линия
1
xx
−
)(
eey
+=
вращается вокруг оси абсцисс. Найти объем
тела, ограниченного этой поверхностью и двумя плоскостями
и
.
57) Найти объем тела, образованного при вращении линий
вокруг оси Oy.
58) Найти объем тела, образованного при вращении линии
x
422=− yx ,
2
2
1
=+
вокруг
2
2
оси Oy.
59) Найти координаты центра масс полуокружности
22
xay −=
.
60) Найти координаты центра масс полукруга, ограниченного осью абсцисс и
22
xay −=
полуокружностью
.
61) Найти момент инерции полуокружности радиуса R относительно ее
диаметра.
62) Найти момент инерции дуги линии
x
ey = ,
относительно оси
абсцисс.
63) Найти момент инерции прямоугольника со сторонами a, b относительно
стороны а.
64) Найти момент инерции полукруга радиуса R относительно его диаметра.
65) Найти площадь поверхности, образованной при вращении окружности
66) Найти площадь поверхности, образованной при вращении дуги кривой
2
67) Найти площадь поверхности, образованной вращением кубической
параболы
222
Ryx =+ вокруг оси Оx.
xy += 4
, отсеченной прямой
3
x
y =
вокруг оси абсцисс от 0
, вокруг оси Оx.
x до 2
1
x .
2
68)* Найти площадь поверхности, образованной при вращении кривой
1
xx
−
)(
eey
+=
вокруг оси Ox от 0
x до 1
1
x .
2
69)* Найти площадь поверхности, образованной при вращении части астроиды
⎧
⎨
=
⎩
вокруг оси Ox,
3
tay
sin
0π≤≤ t
.
3
=
tax
cos
70)* Найти момент инерции цилиндра, радиус основания которого R, высота H,
относительно его оси.
71)* Найти момент инерции шара радиуса R относительно его диаметра.
57
Глава 4. Дифференциальное исчисление
),(yxfz
=
Dyx
M∈),(
),(yxfz
=
(
)
+
=
функций нескольких переменных
Говорят, что в области D плоскости
Oxy задана функция 2-х переменных
, если для любой точки
определено единственное чис-
ло
. D – область определения.
Найти область определения функций:
а)
Решения
а)
4
=
22
yxz+
; б)
=
4
4
=
.
22
yxz+
б)
=
4
.
22
yxz−−
1
Примеры для самостоятельного решения
Найти область определения функций:
22
1)
3)
yxz += 2)
xyz =
4)
Образцы решений
1
.
22
yxz−−
4
Чтобы выражение
имело смысл,
22
yx +
надо потребовать, чтобы
чит область определения - вся плоскость
Oxy, кроме точки (0;0).
22
04
>−− yx , откуда 422<+ yx - внут-
ренняя часть круга радиуса 2 с центром в
точке (0,0).
22
11 yxz −+−=
yxz
ln
022≠+ yx . Зна-
58
Частные производные функции двух переменных
),(yxfz
=
()(
)
x
x
−
+
∂
Δ
),(yxfz
=
()(
)
−
+
∂
Δ
ez=
∂
ez=
x
∂
∂
∂
x
∂
∂
−
x
xz=
x
∂
∂
),(yxfz
=
),(yxfz
=
∂
∂
Частная производная функции
z
=
lim
→
Δ
0
x
∂
Частная производная функции
z
=
lim
→
Δ
0
y
y
∂
по переменной х:
yxfyxxf
,,
Δ
по переменной y:
,,
yxfyyxf
Δ
y
′
z
=
x
′
z
=
y
Образцы решений
Найти частные производные функций по переменной х и по переменной y:
а)
Решения
а)
′
=
z
x
∂
∂
′
=
z
y
∂
б)
′
z =
=
x
′
z =
=
y
∂
z
x
z
y
xy
z
=
z
=
y
32
−=
yxz sin
32
−=
yxz sin
3
xy
yx
xy
()
xy
()
; б)
y
x
y
1
x
⋅−=
cos2
yy
⎛
x
22
⎜
cos3
⎜
y
⎝
′
xy
yexye
x
′
xy
xexye
y
(вычисляется при постоянном y)
⎞
x
⎟
−−=
(вычисляется при постоянном х)
2
⎟
y
⎠
xy
.
x
Примеры для самостоятельного решения
∂
5)
8)
11)
z
и
для функций:
yz∂
yx
6)
=
z
yx
+
y
9)
y
xz sin=
Полный дифференциал функции
y
z =
arctgz =
. Доказать, что
7)
x
10) xyz
y
z
+
y
x =
∂
x
∂
22
yxz +=
2
cos=
zyz
.
2
Найти
Полный дифференциал функции
z
dx
dz
+
=
x
∂
59
вычисляется по формуле:
z
dy
y
∂
Образец решения
∂
∂
+
dz
+
e
z2=
x
(
)
xyzsin
=
dz
3=x
4=y
1,0
=
=
dx
x
Δ
2,0
=
=
dy
y
Δ
()(
)
=
+
),(yxUz
=
∂
∂
xdy
ydx
−
xdy
ydx
+
xdy
ydx
−
∂
∂
x
xdy
ydx
+
∂
∂
x
)(xydxdy
ydx
=
+
CxyU
+
=
x
−
Найти полный дифференциал функции
2yxx
∂
dz
z
=
x
=
,
22
+
22
ydyxdx
22
yx
+
2yxy
z
=
y
∂
22
+
Примеры для самостоятельного решения
Найти
12)
15)
для функций:
23
yxz = 13)
yx
16)
yx
14) )sin(
=
z
yx
−
y
arctgz =
17)
)ln(22yxz +=
22
yxz +=
3
32
57 +−= yyxz
18)
19) Найти значение
функции
;
22
yxyxz +−+= при
,
Условие полного дифференциала функции
dUdyyxQdxyxP
,, - полный дифференциал функции
Q
∂
yP∂
=
- условие полного дифференциала.
x
если
Образцы решений
Являются ли следующие выражения полными дифференциалами функции?
а)
Решения
а)
б)
; б)
- нет, так как
- да, так как
,
.
y
, 1−=
1=
, 1=
1=
Q
∂
Q
∂
.
,
P
∂
P
∂
y
Примеры для самостоятельного решения
Являются ли следующие выражения полными дифференциалами функции?
20)
xdyydx
21) dyxxydx
2
2 + 22) xydydxy 22−
2
,
,
60
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]