Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Сборник заданий по высшей математике с образцами решений (математический анализ). Учебно-методическое пособие
.pdf
(
)
r
r
ϕ
(
)
(
)
r
r
ϕ
ϕ
′
r
r
[
]
r
r
(
)
[
]
rrr
r
()(
)
rrrrr
r
+
(
)
rrr
r
c
c
r
2
V
3
(
)
−
(
)
−
[
)
−
(
)
−∞−
(
)
+∞
(
]
−∞−
(
)
+∞
(
)
−
0=x
(
)
+∞∞−
(
)
+∞∞−
(
)
!
n
(
)
+∞∞−
(
)
+∞∞−
(
)
+∞∞−
n
4
!
n
(
)
+∞∞−
(
)
(
)
+∞∞−
08,2
≈
2,0
≈
99,0
≈
2
г)
8)
9) а) 0 б)
10) а)
′
()
r
ϕ
+
()
2,0,1
д)
,
=
kiu rot
−=
w
l
4
rcr
,
в)
vrcrcv
,,
б)
11) а) 0 б) 0 в)
r rrrr
4
()
2
3
3
г) 0 д) 0
r
+−
cr
56
3
crrcr
,,5
3
crrrcr
5,15 + в)
()
cr
,,
г) 0
Глава 7
1) расходится 2) сходится
3) сходится 4) сходится
5) сходится 6) расходится
7) расходится 8) расходится
9) расходится 10) расходится
11) сходится 12) расходится
13) 11/18 14) 2/3
15) условно сходится 16) абсолютно сходится
17) расходится 18) абсолютно сходится
19) условно сходится 20) a) 6 членов, б) 6 членов
7;3
21)
22)
24)
26)
28)
30)
32)
34)
36)
38)
∑
∑
−
∑
∞
n
=
∞
n
=
∞
=
n
1;1
23)
1;
,
;1 25)
3;3
27)
29)
; 31)
24
n
−
x
1
n
−
()
−
1
1
3
1
−
n
()
−
1
1
nn
∞
3
x
∑
1
n
+
0
n
=
n
−
1
()()
1
,
()
−
n
nn
x
,
4
⎛
,
−
⎜
3
⎝
−
1
−
12
n
x
−−
; 33)
!12
1
1
⎤
⎛
⎜
⎝
;
35)
−
;
⎥
3
3
⎦
4
⎞
37)
⎟
3
⎠
,
; 39)
!1212
nn
1;1
1
⎛
−
⎜
3
⎝
;
∞
−
∑
=
0
n
∞
()
−
∑
0
n
=
∞
5
∑
=0
n
∞
2
∑
n
=+0
1;
1
;
3
n
1
n
1
nn
x
nn
x
,
⎞
⎟
⎠
n
x
5
()
⎛
,
−
⎜
⎝
2
,
2
;1
,
;
22
nn
x
,
!2
n
1
1
⎞
;
⎟
5
5
⎠
;
;
40)
41)
191
x
2x
(x, y)
(X, Y)
1)
2
Cxy
=
+
arcsin
arcsin
Cx
1
Cyx=
+−10
10
3
axC
y
−
=
sin
),(yx
(
)
−′=
−
ox
0=Y, xX2
=
′=−
x
x
x
x
+=1
11x
t
2
x
2)
3)
y
x
Cey−=
x
1
2
2
x
Cy
2
)1(12+=+x
22
x
C
+−=2ln
Глава 8
4)
5)
6)
7)
8)
9)
y−=
1
3
2
Cxxy+−=
s
Ctes
+=−+− 1ln
10) Обозначим координаты касательной к
кривой, проходящей через точку
через
YX , . Тогда уравнение касательной
)( xXyyY
. В точке пересечения
касательной с осью
условию), откуда
Решая, получим
y =
условия, имеем
xyy
или
c
, подставив начальные
′
y −=
(по
y
y6= . Это уравнение
гиперболы.
x
1
11)
12)
13)
14)
15)
16)
y
s
⎛
⎜
⎜
⎝
2
2
−
2
y+=+
x
yx
−
y
2
−
+
Cx
C
=
22
Ct
−=
ln
lnsin =
Cx
3
⎞
xy
=⎟⎟
xy
⎠
2
Cx
2
;
192
Cx
e
y
ln=−
xCx
cos
cos
t
Ce
x2=
)(yCC
=
′
41212
2
ln
−−=
xxCx
y
2
x
2
3
32234
+
=
−
17)
18)
19)
20)
21)
x
y
x
arctg
x
y
y
21t
s +=
1
2
x
2cos21
+−=
2
Cexy
+−=
2
y
⎞
⎛
+−
⎜
x
⎝
x
ln1ln
=
⎟
2
⎠
x
212−
22) Замечание. Преобразуем уравнение
dx
dy
однородное уравнение
подставим выражение
23)
24)
25)
y
26)
27)
28)
x
29)
x
30)
x
31)
32)
33)
2 CxCy +=
34)
2
и будем считать y аргументом, а x функцией. Решаем
2 yx
−=
y
22 −
eyC
−=
. Интегрируя два раза по частям, получим
1
2
+−+=
2
xCxy ++=
1
ax
eabe
=
2
3
4
−+
−
Cexy
1sin
+−=
c
yyx += ln
y
2
Cyxy
=++
22
Cxxy
=++
22
xyx
sin CxCxCxy +++−=
2
1
carctgxCy
21
21
dx
, откуда
x
2=
dy
y
2
eyCx
)(= в уравнение
y
2
eCyyx
.
1
)1)((
xx
−−
Ceexxy
++= )sin(cos
x
sin
3
y
C
=++−
32
dy
=
в уравнение
2
21yxdx
−
y
, положим
dx
2 yx
dy
−=
2
, откуда
,
193
2
4
12
6
3
2
3
+
=
xy2
sin
=
9
(
)
3
35)
C
1
36)
y ++−=
37)
y
38)
y ++−=
39)
2
40)
y
41)
42)
1
43)
C
1
44)
45)
46)
3
1
C
3
x
1
3
2
1
1
2
1
2
2
x
3
1
1
2
3
1
xx
xC
+
1
1
sin
CxCy +=
22
417
2
+=
+=
47)
4
48)
49)
50)
51)
52)
1
2
1
2
1
x+=−
2
2
1
+=
x
CeCy
+=
+=
+=
53)
54)
55)
)22(
1
56)
57)
58)
59)
2
1
60)
61)
21
CxyC
+±=−
)1(
2
CxCy +=
21
x
++−−=
12
++= xxy
1
+±=−
eCeCy
+=
2
xx
3
eCeCy
2
xx
3
−−
xeCeCy
2
xx
4
−
eCeCy
2
2
xx
2
xeCeCy
2
xx
2
−
eCeCy
2
21
−+
eCeCy
+=
2
xx
121++=
xeCeCy
21
−−
++=
21
3
2
4
x
3
xeCCy
−+=
21
CarctgxC
CxCe
+−=
21
CxCx
21
CeCx
21
CxyC
2
417
−−+−
xx
2
21
xCxCy 2sin2cos
xx
)22(
1
xxx
2
exeCeCy
+++=
x
exxy 2sin5cos2 +−=
21
xCxCy 3sin3cos21+=
)3sin3cos(
xCxCey
2
42sincos
−++= xxCxCy
xxx
exeCeCy 5,53
194
62)
232
5
5
5
3
2
2
2595
41212
x
−
2
3
25175
2
10
169813
20
10
68)
69)
70)
71)
72)
73)
74)
80)
81)
x
21
2
−
1
21
x
x
1
ln
=
−
xy
2
−
1
2
Cx
x
−
xx
−
21
xx
21
1
−+=
xx
sincos
−+=
sincos
+−+=
21
2
−+=
1
sin
−+=
21
Cexxy
1
+++= xxCxCey
)sincos(
sincos21+−+=
xeCeCy
2sin
2cos
−−+=
1
xxeCeCy
3
)2sin2cos(
x
22
−
xxeCCy
6
xxeCeCy
2sin
xxCxCy 2cos
xxxCxCy cos
2
+++= xxCxCey
82)
=
83)
84)
85)
86)
87)
88)
89)
90)
y
91)
92)
xCyln
22
Cxyx =−
3
3sin3cos
−+=
21
1
sincos
−+=
21
2
−
x
sincos
21
2
2
x
x
x
a
2
−
⎛
⎜
⎝
x
⎞
a
a
ee
+=
⎟
⎠
)2(2xey
+=
x
4
−
21
)sincos(
21
5
++=
21
21
1
xxCxCy 2cos
3
xxCxCey
xxxCxCy sin
1
)3sin3cos(
++=
2
)3sin3cos(
2cos
195
xxxCxCy 3cos
+++=
xx
exCxCey
+++= xxCxCey
1
−−+=
xxeCCy
2sin
93)
2
2
232
6
5
6
2
720
!
9
10000
+
+
82,028,07,04,0)()()()
(
=−+=−+=
+
ABpBpApBAp
245
86317431523
≈
0
954
,
)3;3(
σ
σ
+
−
a
a
94)
3
xx
2
−
21
x
()
sincos
21
cos
1
xxeCeCy
sin
+−+=
1
+++= xxCxCey
Глава 9
1)
9
1226135
3)
;; =
13253
2520
=⋅⋅ CCC . 2) 3! = 6.
. 4)
3
.
1
5)
. 6)
161
=
7)
10 100 500
9)
10)
1108 096
. 8а) 0 8б)
0 061
= ,
−− =(,),.
2
.
11)
2050304912493050294987
12)
⋅ = ⋅ =;
⎞
⎛
A
pBp
)(
13)
14)
⋅
B
⎛
1
p
⎜
A
⎝
2
2
= CPCP
3
3
1
⎞
=
⎟
⎠
3
1
⎞
⎛
⎜
⎝
4
⎟
6
2
⎠
⎟
⎜
B
⎠
⎝
1
AP
=>
=
)(
6
1
⎞
⎛
4
.
⎟
⎜
6
2
⎠
⎝
15)
x + y 2 3 4 5
р 0,12 0,42 0,40 0,06
М(х) = 1,6; М(у) = 1,8; М(х+у) = 3,4
16)
17)
18)
19)
D(x) = 0,24; D(y) = 0,36; D(x+y) = 0,6
λ
3
730
λ
⎛
PxP
⎜
⎝
èëè (9,7; 10,3).
4
===⋅= PPpn
730
0
500
500500
−
ax
<−=<< 22)200(
σ
20)
полагать, что монета несимметрична.
1
.
124
2
8 в)
⋅CCC
5
8
=
.
5
9
10
.
.
1
⋅
523
1
09,0 ;18,0 ;2
.
2
1
<
500
⎞
⎟
⎠
=−−−=≥= PPPkP
=
2Ф(2)
08,01)3( ;1
150340050005400;50 =>=−==σσnpq
56
=
.
241
⋅+⋅+⋅
.
. Есть основания
196
Литература
1) В.А.Кудрявцев, Б.П.Демидович. Краткий курс высшей математики,
АСТ, М., 2004.
2) Д.Т.Письменный. Конспект лекций по высшей математике. Полный
курс. Высшее образование. Айрис-пресс, М., 2011.
3) Высшая математика (под редакцией Г.Н.Яковлева). Высшая школа, М.,
2009.
4) И.И.Баврин. Высшая математика. Изд. центр Академия, Высшая школа,
М
., 2000.
5) Берман. Сборник задач по курсу математического анализа. Лань. Спб-
Москва-Краснодар, 2007.
6) Н.С.Стакун. Высшая математика. II часть (Учебное пособие для
факультета технологии и предпринимательства), М., 2002.
7) Н.С.Стакун. Высшая математика. III часть (Учебное пособие для
факультета технологии и предпринимательства), «Эслан», М., 2001.
8) Н.С.Стакун. Высшая математика. IV часть (Учебное пособие
для
факультета технологии и предпринимательства), «Эслан», М., 2004.
9) Н.С.Стакун. Элементы теории вероятностей и математической
статистики. Прометей. М., 2000 г.
10) Е.К.Годунова, И.В.Чебаевская. Практические занятия по векторному
анализу (методические разработки). МГПИ им. В.И.Ленина. М., 1983.
11) Е.С.Карманова, Н.С.Стакун. Дифференциальные уравнения.
(методические разработки). МГПИ
им. В.И.Ленина. М., 1980.
12) Н.С.Стакун, Е.С.Карманова. Практические занятия по высшей
математике (методические разработки). МГПИ им. В.И.Ленина. М., 1987.
13) Е.К.Годунова, Н.С.Стакун, Е.С.Карманова. Ряды (методические
разработки практических занятий). МГПИ им. В.И.Ленина. М., 1981.
14) В.Е. Гмурман. Теория вероятностей
и математическая статистика.
Высшая школа. М., 2003.
15) В.Е. Гмурман. Руководство к решению задач по теории вероятностей и
математической статистике. Высшая школа. М., 2004.
197
Оглавление
Введение . ........................................................................................................... 3
Глава 1. Введение в анализ. ............................................................................. 4
Глава 2. Дифференциальное исчисление функции одной
переменной и его применения ........................................................... 21
Глава 3. Неопределенный и определенный интеграл ................................... 31
Глава 4. Дифференциальное исчисление
функций нескольких переменных . ................................................... 58
Глава 5. Кратные и криволинейные интегралы. ............................................ 71
Глава 6. Векторный анализ. ............................................................................. 85
Глава 7. Ряды. .................................................................................................... 96
Глава 8. Дифференциальные уравнения ......................................................... 116
Глава 9.
Ответы ............................................................................................................... 177
Литература. ........................................................................................................ 197
Элементы теории вероятностей и математической статистики... 137
198
ДЛЯ ЗАМЕТОК
199
ȿ. Ⱥ. ɉɨɥɶɤɢɧɚ, ɇ. ɋ. ɋɬɚɤɭɧ
ɋȻɈɊɇɂɄ ɁȺȾȺɇɂɃ ɉɈ ȼɕɋɒȿɃ
ɆȺɌȿɆȺɌɂɄȿ
ɋ ɈȻɊȺɁɐȺɆɂ ɊȿɒȿɇɂɃ
(ɆȺɌȿɆȺɌɂɑȿɋɄɂɃ ȺɇȺɅɂɁ)
ɍɱɟɛɧɨ-ɦɟɬɨɞɢɱɟɫɤɨɟ ɩɨɫɨɛɢɟ
ɍɩɪɚɜɥɟɧɢɟ ɢɡɞɚɬɟɥɶɫɤɨɣ ɞɟɹɬɟɥɶɧɨɫɬɢ
ɢ ɢɧɧɨɜɚɰɢɨɧɧɨɝɨ ɩɪɨɟɤɬɢɪɨɜɚɧɢɹ
ɆɉȽɍ
119571 Ɇɨɫɤɜɚ, ȼɟɪɧɚɞɫɤɨɝɨ ɩɪ-ɬ, ɞ. 88, ɨɮ. 446
Ɍɟɥ.: (499) 730-38-61
E-mail: izdat.innov@mpgu.edu
ɂɡɞɚɬɟɥɶɫɬɜɨ «ɉɪɨɦɟɬɟɣ»
115035, Ɇɨɫɤɜɚ, ɭɥ. ɋɚɞɨɜɧɢɱɟɫɤɚɹ, ɞ. 72, ɫɬɪ. 1, ɨɮ. 6
Ɍɟɥ./ɮɚɤɫ: 8 (495) 799-54-29
E-mail: info@prometej.su
ɉɨɞɩɢɫɚɧɨ ɜ ɩɟɱɚɬɶ 29.08.2013.
Ɏɨɪɦɚɬ 60ɯ90/16. Ɉɛɴɟɦ 12,5 ɩ.ɥ.
Ɍɢɪɚɠ 500 ɷɤɡ. Ɂɚɤɚɡ ʋ 384.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]