Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Сборник заданий по высшей математике с образцами решений (математический анализ). Учебно-методическое пособие
.pdf
а) Вычислить
(
)
(
)
(
)
(
)
0=y
dxds=
1
=
+
y
x, x
y
−
=
1
−
=
′
0=x
dy
ds
−
=
(
)
(
)
ρ
),(yx
M
=
(
)
=
=
ρ
())()()
(
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
−
=
ми
;0;1A
Решение
Образцы решений
где L - контур треугольника OAB с вершина-
, dsyx
+
∫
L
;1;0В
.0;0O
Интеграл по контуру треугольника OAB
равен сумме интегралов по его сторонам:
++=
∫∫∫∫
LOAABBO
KKKK
Уравнение стороны ОА:
, тогда
Уравнение стороны АВ:
Уравнение стороны ВО:
0
1
()
1
L
0
;
2
б) Вычислить массу полуокружности
yx,
плотность
Решение
в каждой точке
tkkyyx sin,
22
′
=
() ()() ()()
ρ
L
′
+
π
==
′
0
Задания для самостоятельной работы
18) Вычислить
A ;0;0
19) Вычислить
болой
20) Вычислить
B ;0,4
pyx 22= .
∫
L
, где L - контур прямоугольника с вершинами
sd xy
∫
L
С ;2,4
2,0D .
, где L - дуга параболы pxy 2
yds
∫
L
, где L - первая арка циклоиды
dsy
2
.
, 1
y ,
+−= .
1
0
∫∫∫∫
1
2
x
ydydxxdxdsyx
2
x
2
0
0
2
0
y
1
1
2
1
122=+ yx
2
2
0≥y , если её линейная
пропорциональна ординате у.
Перейдем к параметрической форме зада-
ния окружности:
tx
cos
⎧
+
22
cossin
22
′
⎨
⎩
dtdtttdttytxds =+=
π
∫∫∫
0
()
t
0
=
ty
sin
2
= , отсечённая пара-
⎧
⎨
⎩
2
′
()
1
2
π
≤≤
π
=−==
2cossin, ktktdtkdttytxkydsyxm
0
()
−=
dxdxyds 21
−=
12
+=++=−−=−−=+
.
ttax
sin
.
ty
cos1
81
21) Найти массу участка цепной линии
a
=
=
(
)
δ
L
(
)
=
(
)
−
′
bxa≤≤
()(
)
(
)
≤
≤
L
(
)
=
(
)
′
(
)
′
β
α
≤
≤
t
()(
)
xy2
=
(
)
≤
≤
2=⇒
k
⇒
=
′
0
циссами
x и ,2ax
1
если плотность линии в каждой ее точке обратно про-
chay ⋅=
порциональна ординате точки, причем плотность в точке
Криволинейный интеграл 2-ого рода
Пусть
прерывная функция,
∫
L
Если
(
tx
грал второго рода
- гладкая плоская кривая, заданная явно:
). Тогда криволинейный интеграл второго рода
dyyxQdxyxP
,, +
находится по формуле:
() () ()() ()()()()
b
∫∫
aL
⋅+=+ ,,,,
- гладкая плоская кривая, заданная параметрически:
и
ty
- непрерывные функции,
находится по формуле:
dyyxQdxyxP
∫
L
() () ()()()()()()()()()
L
,, +
β
∫∫
α
). Тогда криволинейный инте-
′
⋅=+
(зависит от направления)
Образцы решений
x
между точками с абс-
′
,,,,
a0, равна
dxxyxyxQxyxPdyyxQdxyxP
,
⋅+
.
xyy
, (
xy не-
bxa
.
⎧
⎨
=
⎩
′
dt tytytxQtxtytxPdyyxQdxyxP
.
txx
()
tyy
,
а) Найти значение интеграла
∫
L
1) OA – прямая; О(0;0)
2) ОmА – парабола; A(1,2)
3) OBA – ломаная. B(1;0)
1) Прямая OA задается уравнением:
Следовательно,
2) ОmА:
kxy = - часть параболы. Составим ее уравнение, для этого подста-
вим точку A(1;2)
Следовательно,
1
1
0
2
1
()
2
0
′
()()()
−=Ι
⇒
2
−=
∫∫
2xy =
82
xdyydxI
1
0
2
1
∫∫
, где L:
2
dxxdxxxxI
242
0
x .
=⋅−=
dxxxdxyxxy
xy 4
2
10
.
022
3
x
3
2
1
.
−=−=−=⋅−=
0
3
3) OBA - ломаная: для отрезка OB:
0=y, 0=dy
1=x, 0=dx
()()(
)
r
L
−
ds
MM
ds
(
)
(
)
L
∂
∂
∂
∂
Qdy
Pdx
du
+
=
(
)
(
)
для отрезка BA:
=−=
3
OBA
xdyydxI
∫
Элементарная работа
+=
YdyXdxA
∫
L
работа силы
Формула Римана-Грина:
∫
интеграла
B
если
=+LQdyPdx ,0
от формы пути. Тогда
+zQdyPdx
∫
=
∂
yP∂
yx
),(
() ()
A
Q
=
∂
- условие полного дифференциала
x
yP∂
yx
),(
Площадь области
−=LydxDS
∫
.
.
1
BAOB
0
2
∫∫∫∫
0
.
−=−+⋅=−+−
2)1(0 dydxxdyydxxdyydx
б) Найти работу силы
на пути
, пробегаемом точкой ее приложе-
ния.
элементарное перемещение
вектор
Q
x
имеет координаты
YdyXdxdsFdA +== ,
.
YXF , на пути
.
⎛
∂
⎜
dyyxQdxyxP
=+ ),(),(
∫∫∫
⎜
∂
DL
⎝
⎞
∂
P
Q
⎟
dxdy
−
⎟
∂
y
x
⎠
- условие независимости криволинейного
yx
),(
∫∫∫
yx
),(
0000
−==+=+
1
или
=LxdyDS
∫
или
()
−=
∫
2
L
yxYyxXF ,,,
,
1
),( dydxds
.
),(),(),(),(,,
yxUyxUdudyyxQdxyxPdyyxQdxyxP
00
ydxxdyDS
83
Образец решения
tax
cos
=
tby
sin
=
x
∂
∂
∂
z
∂
∂
−
=
1−=
x
2=x
=
=
2
π
Найти при помощи криволинейного интеграла площадь фигуры, ограни-
ченной эллипсом
Решение
1
2
L
π
2
1
()
∫
2
0
sincos
,
π
2
1
∫∫
2
0
1
22
2
.
=−−⋅=−=
))sin(sincoscos(
dttatbtbtaydxxdyS
π
2
0
ababtdtttab
π
==+=
),,( RQPF
Работа силы
Если
= ,
P
U
Q
в пространстве:
U
,
R
=
y
∂
U
= , то работа )()(
∫∫
LL
MUMUA
находится как
12
разность потенциалов в конечной и начальной точках.
Примерный вариант контрольной работы
1) Перейти в
2) Вычислить
∫∫
D
R
0
к полярным координатам. xyxD ≤+
dxdyyxf ),(
222
−−
0
−−
yxR
∫∫∫
22
0
xR
22
+
dyyxdydx
.
3) Найти объем тела, ограниченного поверхностями
плоскостями
4) Вычислить
=t
до
.
2
5) Вычислить
∫
ax
00
и
+Lxdyydx
xy
∫∫∫
0
.
, где L - четверть окружности
33
zdzyxdydx
: .
2
4 yz −= , 22+= yz и
⎧
⎨
=
⎩
++==
22
cos
sin
RdzQdyPdxdsFA ),(
.
tRx
от 0
tRy
t
1
84
Глава 6. Векторный анализ
(
)
()(
)
=
=
()(
)
−
=
(
)
∂
∂
∂
r
r
r
(
)
∂
∂
∂
∂
(
)
r
(
)
(
)
r
(
)
l
r
∂
r
∂
∂
∂
r
r
r
uu
grad
∇
=
u grad
l
∂
(
)
rrr
r
x
∂
∂
z
∂
r
r
r
rrr
Скалярное поле, его градиент, поверхности уровня,
Если в каждой точке М области определена скалярная функция
zyxf ,, , то говорят, что задано скалярное поле
u
u
u
x
∂
u
l
∂
∂
u
∂
l
u
∂
j
i
=
=
+
+
∂
u
x
∂
=
z
y
∂
u
+
∂
∂
u
∂
x
MM
00
,, zyxM в направлении вектора
0000
0
lu, grad
, где вектор .
производная по направлению
constcczyxu
,,, – поверхность уровня
r
т.к.
N ,,
⎛
∂
∂
u
⎜
⎜
∂
∂
⎝
которого поле
наибольшей скоростью.
u gradk
=
y
- градиент скалярного поля
u
γβα
coscoscos
+
∂
∂
u
+⋅
∂
y
M
0
- производная поля в направлении
z
∂
u
+⋅
∂
z
M
l
r
l
0
=
l
r
0
0
l
⎛
∂
u
⎜
⎜
∂
⎝
∂
,,
∂
zuyux
⎞
∂
⎟
⊥ поверхности уровня, то
⎟
∂∂∂
zuyux
⎠
⎞
−⎟⎟
вектор, в направлении
⎠
zyxu ,, меняется с
zyxu ,,
.
вектора
coscoscos
⋅
0
l
γβα
- производная поля в точке
γβα
cos,cos,cos
cos,cos,cos
.
zyxfMfu ,,
γβα
.
Введём оператор
=∇
i
∂
x
k
j
∂
y
, тогда
z
∂
+
+
Образцы решений
а) Найти
Решение
Поскольку
∂
u
yzxyxzyxu +−=2,, , если
−=
yx
2 ,
и
u
y
∂
u
в точке
∂
+−=
kjil
++=
, y
zx
вычисления градиента, находим:
kyjzxiyxu grad
++−+−= )()2(
,
)()2(
zyx
),,(
000
85
++−+−=
.
,, zyx для скалярного поля
000
.
u
=
, то используя формулу для
∂
.
kyjzxiyxu grad
00000
Для нахождения производной скалярного поля
(
)
r
r
r
r
l
r
r
r
∂
∂
∂
∂
r
+=++
−+−
∇
x grad
r grad
)(rf
grad
),(rc grad
r
r
{
}
r
r
rrr
rrr
r
∂
∂
∂
ixr=∇
r
r
rrr
r
r
′
vuv
u
∇+∇=+
∇
)
(
++=
r
r
r
crc
=
∇
),(
r
kjil
++=
направлению вектора
вектора
вектора
:
cos =
α
l
0
l =
.
l
0
()
l
u
∂
l
2
=
lu grad
l
1
,
cos =
r
l
=
cos,cos,cos
γβα
u
0
==
∂
x
, необходимо найти направляющие косинусы
l
2
,
β
r
cos =
l
1
1
1
⎛
,
⎜
3
⎝
+α
⎞
,
⎟
3
3
⎠
u
∂
y
zxyzxyx
0000000
.
3333
б) Пользуясь оператором
1)
2)
, 5)
x
ix
+
=∇
x
∂
x
∂
2
ix
=∇
x
∂
4)
Решения
, 6)
++=
x
k
j
+
y
∂
rr
x
∂
j
+
+
y
∂
, найти: 1)
, 7)
kzjyixr
- радиус-вектор точки M(x,y,z,)
222
zyxr ++= - модуль радиус-вектора точки М
x
i
=
z
∂
222
r
x
∂
2
k
∂
ix
=
z
rr
++∂
3)
4)
2
=∇
ir
2
rr ==∇=∇ 2
zyx
+
j
∂
x
rkziyix 2222 =++=
1
2
r
r
2
r
r
∂
rrf
′
)()(
5)
6) Т.к.
7)
=∇
),(
то
),(
{}
rrfrf
)(
=∇
;
zcycxcrc
(c - постоянный вектор)
zyx
ckcjcicrc
=++=∇
zyx
l
3
, которые будут координатами
γ
r
l
;
u
+β
∂
z
=γ
coscoscos),(
, 2)
5
rrc grad
),(
.
2
x grad , 3)
222222222
++∂
zyx
+
y
k
r =∇
++∂
zyx
)()()(
∂
z
r
)(
r
rcrcrrrcrcr
45555
crcr
),(5),(),(),(),( +=∇+∇=∇
yzxyxzyxu +−=2,, по
2
r grad ,
=
uvvuuv
∇+∇=∇
86
Полезно запомнить следующие соотношения:
i
xr==
∇∇
vuvu∇∇++∇∇==++∇∇)
(
crc=∇),
(
r
=∇
uvvuuv∇+∇=∇)
(
r
′
=∇
′
=∇
r
r
r
rrr
r
r
r
r
Crr
f
+
=
)
ln()(; Cru
+
=
)
ln(
rrr
r
∇
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
rrr
r
rrr
r
rrr
r
r
r
rrr
=
=
=
=
=
=
(
)
≠
>
<
r
;)(rr
f
r
c
r
r
3)
r
4)
1)
2)
в) Найти скалярный потенциал поля
Решение
Так как
r
2
11
∇=⋅=
r
, то
′
rf1)( =
4)
5)
r
2
и
.
Примеры для самостоятельного решения
1) Для скалярного поля
xy
),,( yzx
zyxu −+=
y
z
22
найти градиент в точке
xz
M (1, –1, 2) и производную в этой же точке по направлению
2) Вычислить, пользуясь оператором
а) y; б) z; в)
градиенты функций:
1
; г) r;
rrf
)(
rrfrf
)()(
kjil
22 +−=
.
1
д)
; е)
3
rc
и)
м)
(здесь
),(
;
к)
73
rbra
cba
,,
- постоянные векторы).
α
;),(),(
н)
; ж) ;),(
);,)(,( rbra
л)
2
r
;
о)
rr
),(
ra
2
rc
),(rbrar
r
r
),(
з) ;),(
);,)(,( rbrar
βα
rcr
3) Указать вид и расположение поверхностей уровня и направление
градиента в различных точках следующих стационарных скалярных полей
температур:
а) внутри бесконечного цилиндра, на поверхности которого
поддерживается температура
б) внутри шара, если на поверхности
uu
, а на оси
1
uu
;
2
uu
, а в центре
1
uu
;
2
в) в слое между двумя параллельными плоскостями, на одной из которых
uu
, а на другой
1
(Рассмотреть в задачах 1-3 случаи
uu
,
uu
2
.
21
uu
,
uu
21
)
21
4)* Найти скалярные потенциалы полей а)
в)
.
;2rr
б)
87
Векторное поле, поток вектора, дивергенция, ротор векторного поля
),,(zyx
M
r
rrr
a
r
n
r
rrr
=
=
dSndSr=
(
)
=
(
)
),(zy
x
ϕ
=
(
)
∫∫
∫∫
),(zx
y
ψ
=
∫∫
∫∫
∂
),(aa div
r
r
∇
=
r
0>a div
r
0<a div
r
0=a div
r
a
r
r
V
rrr
r
∂
∂
],[aa rot
rr∇
=
(
)
r
r
l
r
Если в каждой точке
kajaiazyxa
++=),,(
, то говорят, что в Ω задано векторное поле.
zyx
n
области Ω определен вектор
==
dSadSnadSa ),(),(
∫∫∫∫∫∫
SSS
- поток векторного поля
через поверхность S.
Здесь
Если уравнение поверхности
S
Если
Если
a div
, то
S
, то
S
a
∂=r
a
x
+
∂
x
a
∂
y
z
+
z
y
∂
∂
Точки, в которых
Теорема Остроградского-Гаусса
- единичный вектор нормали к поверхности,
r
aПрnaa
или
),( ,
∫∫∫∫
σ
xy
σ
yz
σ
xz
nn
yxfz ,
ϕ
()
ψ
, то
, dS -
элемент поверхности.
22
′
′
+=
′
+=
′
+=
)()(1),,,(),,(
+
yx
22
′
+
dydzxxzyzyFdSzyxF
zy
22
′
dxdzyyzzxxFdSzyxF
+
zx
- дивергенция (расходимость)
векторного поля
- источники
- стоки
- нейтральные точки
dxdyzzyxfyxFdSzyxF
.
)()(1),,(),,(
.
)()(1),,,(),,(
.
Поток векторного поля через замкнутую поверхность S в направлении
внешней нормали равен тройному интегралу от дивергенции
заключенному внутри этой поверхности:
dSa
n
= lim
()
∫∫
S
→
MV
-инвариантное определение дивергенции.
r
adiv
M
=
n
dV adivdSa
∫∫∫∫∫
VS
по объему V,
.
kji
∂
∂
∂
r
a rot
=
∂
∂
⎛
a
∂
r
z
a rot
⎜
−
=
⎜
y
∂
⎝
0
wla rot =
,
- ротор (вихрь) векторного поля
zyx
∂
aaa
zyx
rr
a
⎞
a
∂
a
∂
⎛
y
i
+⎟⎟
⎜
z
∂
- завихренность вокруг направления
l
∂
⎝
⎠
zx
−
x
z
∂
a
⎛
⎞
j
+
⎜
⎟
⎜
∂
⎠
⎝
⎞
a
∂
y
x
⎟
−
⎟
y
x
∂
⎠
r
k
или
0
),,(
aaaa
или
zyx
.
),,(
aaaa
.
zyx
88
Теорема Стокса
r
l
()(
)
r
r
(
)
S
.0Hz≤
≤
++=
=
=
⊥
=
=
=
HRHRRHП
3
2
πππ
=+⋅
=
−
−
∂
∇
;r
div
{
}
{
}
{
}
)({
}
{
)(}
rrr
),,(
aaaa
Циркуляция вектора
контуру
равна потоку ротора a через поверхность S, натянутую на этот
по замкнутому (ориентированному)
zyx
контур:
=
∫∫∫
ls
dSa rotdla ,,
dla
a rot
M
MS∫→
)(
-
инвариантное определение ротора.
l
=,lim
а) Найти поток радиус-вектора
полной поверхности цилиндра
ПППП
Поток
: на верхнем основании
321
б) Для данного векторного поля
Образцы решений
т.к.
на нижнем основании
на боковой поверхности
Суммарный поток
kzjyixr ++=
222
;
Ryx ≤+
),(
n
1
1
33
∫∫
S
3
через внешнюю сторону
),(
11
∫∫
S
1
HrПрnr
;
nr
и 0
П ;
2
2
),(
3
⋅==
2),(
RHRdSnrП
π
.
2
2
⋅==
RHdSnrП
π
,
RrПрnr
и
n
3
222
.
kxyzjxyizxa )96()32()34(
−+−++=
определить, какие из данных точек являются источниками, какие стоками,
какие нейтральными точками:
Решения
a
a
∂
x
a div
a div
a div
adiv
a div
+
=
x
∂
01=
⇒
M
M
2
M
3
M
4
a
∂
y
z
+
z
y
∂
∂
M - нейтральная точка,
1
0301040
=++−=
⇒
016628
>=++=
⇒
086216
<−=++−=
в) Используя оператор
1)
5)
2)
;,5crcdiv 6)
; 6rrdiv 3)
++=
M - нейтральная точка,
M - источник
⇒
, вычислить следующие дивергенции:
2
kzjyixr
);2,1,0(1M );1,1,5(
M );1,1,1(3M )2,1,1(
2
xyxxz
628 ++=
2
3
M - сток.
4
;crdiv
7
;,
rrcrdiv 7)
4)
div
7
rr
.
4
),( rc
- радиус-вектор точки M(x,y,z,)
M .
4
;),(4rrcdiv
89
Решения
∂
∂
∂
3),
(
=∇=
rr
div
{
}
r
{
}
)({
}
(
{
}
{
}
r
),(),(),(vuvuvu∇+∇=
∇
3),(=∇r
),(),(),(vuvu∇+∇=+∇
0),(=∇c
rrr
1)
x
=
r div
∂
x
2)
=
r =+=+=+
z
y
+
+
∂
y
r
;
3=
∂
z
6666
=∇+∇=∇= ),(),(),(
rrrrrrrrdiv
6666465
9363),(63),6( rrrrrrrrr
3)
4)
4
crcrcrcrdiv =+=∇+∇=∇=
(),(),(),( cr
2
=
5)
=
↓↓
1
rcrc
5
4
⎞
7
rr
,
44
),(
⎠
3
r
),(
rc
rc
7
r
.
=+−
4
),(6),(
rc
6)
7)
div
⎧
⎨
⎩
7272
=∇= )),(,(),(
rrcrrrcrdiv
=
=
r
=
=
7
⎛
⎫
rr
),( rc
rc
=
=
=
,
⎜
∇=
⎬
4
⎜
⎝
⎭
⎛
7
⎜
∇ r
r ,
,
⎜
⎝
5
,(7
rr
7
7
r
4
rc
rrc
7
⎞
rr
=⎟⎟
4
),(
⎠
⎛
⎞
r
⎜
∇+⎟⎟
⎜
),(
⎝
⎠
7
4
r
),(
rc
r
)
4
7
r
rc
),(
rc
7
3
r
4
),(4),(
rc
Полезно запомнить следующие соотношения:
1)
2)
3)
4)
г) Вычислить циркуляцию векторного
kyxjzyxizxa
)5()3()2( +++++−=
поля
вдоль периметра треугольника с вершинами
А (1,0,0); В (0,1,0); С (0,0,1).
r
1
r
r
444
5555
7
r
rc
),(
7
=+−
4
),(
0),
c
=∇+∇=∇= ),(),(),),(()),(,(,
rrcrrcrrcrrcdiv
=∇+∇=∇= ),(),(),),(()),(,(),
crccrccrccrcdiv
727227
),(3),),(7(),2(),( rcrrcrcrr
()
=∇+⎟⎟
4
1
2
↓
727272
rrcrrrcrrrcr
rrcrrrcrrrrc
72627
=++
72727272
),(12),(3),(7),(2 rcrrcrrcrrcr =++
).,(
rr
443
),(73),(),(),(4 rcrcrcrc =⋅+
424
),(50),(),(5 rccccrc =+
=∇+∇+∇
)),(,()),(,()),(,(
=∇+∇+∇ ),(),(),),((),(),(
90
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]