Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Сборник заданий по высшей математике с образцами решений (математический анализ). Учебно-методическое пособие
.pdf
Интегрирование по частям
−
v
393
v
x
4
41414416
dvudvudv
x
dv
dv
dv
=+exe
x
cos
sin
1
2
Формула интегрирования по частям:
x
x
dx x d
cos (sin ) sin sin
а)
=++3
x
3
==− =
{
∫∫∫
3
u
{
xx
udv uv vdu
=
∫∫
.
Образцы решений
x
3
Csin cos
.
xx
x
3
3
3
dx
3
3
б)
444
x
= ⋅− ⋅ = ⋅− = ⋅−+
ln ln ln .
x
dxxdxx
{
u
x
∫∫
xx
ln
)
(lnln
4
4
{
x
dx
xxdxxx
444
x
x
∫∫∫
4
3
=−⋅==
)(ln
xd
44
x
C
в)
xxxx xxxx222 22 2
x e dx x de x e e d x x e x e dx x e x de
==− = −⋅ = −⋅ =()
{
{
∫∫ ∫ ∫ ∫
u
xx x xxx22
= − + ⋅ = − ++
xe xe edx xe xe e C
22 22
г)
arcsin arcsin arcsin arcsinxdx x x xd x x x
{
12434
u
= ⋅ + ⋅
xx
д) J =
xxxxx
e xdx x e dx x de e x e d x
cos cos cos cos cos
∫∫ ∫ ∫
xxx xx x
= ⋅ +=⋅ + ⋅ = ⋅ +=
exexdxex xedxex xde
cos sin cos sin cos sin
xx x xx x
=+− =+− =
exexedxexexexdx
cos sin sin cos sin cos
xx
∫
= ⋅− = ⋅−−=
2
−
dx
()
121
∫
= ⋅ = ⋅ = ⋅− =
{
u
= ⋅ + − +
xxxCarcsin
arcsin
2
−
x
1
{
∫∫ ∫
∫∫
–J.
22
{
{
{
{
.
∫∫∫
2
1
dx
2
x
1
.
{
{
u
Обозначив исходный интеграл буквой J, мы получим равенство:
x
Je x x J
=+−(cos sin ) , откуда
x
2Je x x
=+(cos sin ) или
x
Je x xC
=++
(cos sin )
.
41
ttt
tdt−
−
−
−
1212121
1
=++−+−=
Примеры для самостоятельного решения
95)
xxdxcos
∫
; 96)
∫
xxdxsin 2
;
97)
99)
101)
103)
105)
x
xe dx
; 98)
∫
x
xdx
3
; 100)
∫
arccos xdx
∫
xe dx
∫
xxdxcos
∫
; 102)
x2 −
; 104)
2
; 106)
x−
xe dx
∫
;
n
xxdx n
ln ( )
∫
arctg xdx
∫
2
ln( )xdx
∫
∫
1+
x
exdx
sin
;
≠− , 1
;
;
;
Замена переменной
Образцы решений
xdxxttdtttdt
а)
∫∫ ∫ ∫ ∫∫
=
=
=
=
dx
б)
∫∫∫ ∫∫
3
xx
+
6
xt
xt
=
dx t dt
xt
3
xt
1) +1
⋅
=
2
tx
=
2
tx
2
dtdx
′
2
()
dxtdx
dt tdx
2
5
tdt
6
+1)
=
3252
tt
+
=
6
=
5
6
3
=
2
=
= ⋅
= ⋅
6
2
2
=+
tdt
tt
()
2
(
−
+
= ⋅
2
t
2
= ⋅
6
+
1
()( )
ttt
= ⋅
6
∫∫
= ⋅−+ −⋅ ++ =
6161
()lntt dt t C
∫
dt dt
= ⋅⋅−=
22
−
1
t
+
1
t
33
tdt
t
+
+ − +
11
()
2
23
22
+= +
2
Cx
t
(
= ⋅
6
1
2
t
+
()
1
t
+
dt
−⋅+=
1ln6632
ln6632
dt
−
1
x
+
1
x
−
1
dt
=
1
dt
6
t
1
Ctttt
663
Ctxxxx
++−+−=
+2
Cln ln .
42
в)
9
2
=
929
4
929
4
2
392
x
+∫1
x
sin
e
2
1
−
x31
+
22 2
99939
− = −⋅ ==+=
xdx t tdt tdt tdtsin cos cos ( cos )
∫∫ ∫ ∫
3
xt
3
dx tdt
cos
=
t
sin
t
arcsin
=
1
t
cos
= −
sin
=
x
3
x
3
2
x
⎞
⎛
⎟
⎜
⎠
⎝
3
=+⋅ += +⋅⋅+=
9
=+⋅⋅ −
arcsin
23923
9
=+−+
arcsin
2
xx x
xx x
1
2
2
⎛
⎞
⎜
⎟
⎝
⎠
3
C .
12
2ttCt ttCsin sin cos
C
+=
Примеры для самостоятельного решения
∫
∫
xx+
dx
; 108)
x11++
dx
; 110)
1
107)
109)
∫
∫
3
xdx
x
dx
;
1−
;
x1 +
111)
113)
115)
xdx
; 112)
dx
∫
; 114)
4
xx+
2
1
−∫xdx
; 116) xxdx
2
x
∫
3
xx
−
2
xdx
∫
22
−
ax
22
4 −
∫
dx
;
;
.
Разные задачи
x
dx
117)
∫
119)
∫
121)
∫
; 118)
cos
x
xx
1−⋅
eedx
x
2
x
94
; 120) xxdxcos
dx
; 122)
−
43
∫
∫
∫
x
e
x
xdx
dx
;
2
;
;
+
+
+
3
1
4
x
x
+
+
+
2
2
2
()3
1
4417
x
x−−
+
()3
1
−
2
5
+
3
4
231
−
−
+
x
x
Интегралы вида
Ax B
∫∫
2
++
ax bx c
dx
,
Ax B
2
++
ax bx c
dx
Образец решения
x
∫
2
xx
++
247
dx
.
Находим производную от квадратного трехчлена, стоящего в знаменателе
под корнем:
2
()24744
xx x++′=+.
Очевидно, что числитель можно записать так
xx+= + +3
x
+
Тогда
∫∫ ∫
+ ⋅
= ⋅ +++ ++ +++
3
22 2
xx
++
247
2
⎛
xx
⋅ ++
22
⎜
⎝
1
4
22
22 4 7 2 1 2
xx x xx Cln .
dx
2
442().
dx
=
1
x
++
442
()
4
xx
++
247
14247
= ⋅
7
⎞
⎟
⎠
2
dx
2
dx x
()()
∫∫∫
2
xx
247
1
= ⋅
4
++
++
247
+ ⋅
7
2
Примеры для самостоятельного решения
123)
125)
127)
x
∫
2
xdx
∫
2
xx
∫
2
dx
22
++
x
dx
; 124)
; 126)
; 128)
xdx
∫
2
x
∫
2
xx
962
++
xdx
∫
2
xx3112
− +
x
+
44
xx
++
dx
2
x
()
;
dx
;
;
dx
+
+
1
5
2
++
1
2
=
44
Интегрирование дробно-рациональных функций
2
2
xAxBx
=++
−
()()212
3
1
2
x=3
1
2
1
14
x=3
37=
A
3
7
3
1
2
2
x
1
+
x
x21
+
x
x
+
x
x3−
−
x
−−x
x
x
x
x
11+
+
x
x
x
114
21211
+
+
+
4
212
методом разложения на простейшие дроби
I случай
. Корни знаменателя действительные и различные.
∫
xx()( )− +
x
xdx
32 1
B
=
)12)(3( +
+− x
xx
x
xx
)(3(2
+−
A
+
=
1
−
x
3
x
)
+
Приводим к общему знаменателю и приравниваем числители:
В этом тождественном равенстве положим
x = −
1
и
A
=
−
x
B
+
1223
.
x = −
;
1
2
;
Итак,
x
xx x
()( )()
− +
32 1
xdx
∫∫∫
32 1373114
xxdxx
()( )
− +
7
⎞
⎛
; B =
−⋅=−
2
B
⎟
⎜
2
⎠
⎝
; A =
=
73
+
−
14
=
−
1
x
()
+
dx
+
x
+
.
и
3
ln ln
= − +++
1
7
1
3
xxC
14
1
2
.
В случае, если степень числителя больше или равна степени знаменателя,
сначала необходимо произвести деление числителя на знаменатель (выделение
целой части дроби).
Произведем деление:
_
Значит
5
x
dx
∫
5
53
_
∫∫ ∫ ∫
= − +++
2
3
3
5
x
3
xx
= − +
2
5
x
dx x x dx
= − +
2
42
xx
x
и
2
3
()
2
xC
1ln( ) .
xdx
2
42 2
xx dx
= − +
()
+
=
2
45
x=1
x=−
2
1
x=1 13=
B
1
3
x=−
2 19=
C
1
9
x=0 122=−++AB
C
1
9
x=1
x=−
2
x=0
1
1
1
x38
−
181
x
x2240++
=
181
+
12422
=++++−−AxAxABxCxBx
C
II случай
В знаменателе
. Некоторые из корней знаменателя кратные.
∫
12
xx()()− +
dx
2
— двукратный корень,
— простой корень.
22
12 1 1 2
()( ) ()xxAx
112 2 1
= − ++ ++ −Ax x Bx Cx()( )( )().
=
−
B
+
x
−
C
+
.
x− +
+
2
B =
C =
A = −
Замечание: Мы взяли
значение взято
22
12191131192
()( ) ()()( )xx x x x− +
= −
и
равными корням знаменателя, третье
взято произвольно.
+
−
−
dx
∫∫ ∫∫
22
xx
12191131192
= −−−−+++
9
= −
1
3119
()
dx
+
x
−
2ln
lnx
x
xC
III случай
. Некоторые корни знаменателя являются комплексными.
dx
∫
=
32
xxxx−
224
− ++()( )
Уравнение
.
имеет комплексные корни, т.е. его нельзя
разложить на действительные множители.
=
32 2
xxxxAx
124 2
=++++−Ax x Bx C x()()().
224 2 24
− ++=−
2
22
+
Bx C
xx−
++()( )
46
+
dx
x
−
.
+
dx
+
=
x()( ) ()− +
+
.
.
.
Сравним коэффициенты при одинаковых степенях x в левой и правой
x
AB+=0
BA=
−
x
220ACB+−=
x
421AC−=
1
2
1
2
1
2
1
12
1121
3
xdxxxx
x
x
x
8112
211242
4112
12
24−=−
+
+
+
+
1
24
1
1
+
1
211
2
xdxx
x
x
1
2121211
2
ix2±=
+
+
частях равенства:
2
1
0
CA= −2
Подставим во 2ое уравнение
22
6
A =
A =
20AA A+ − +=
BC= − = −
Тогда
1
=
32
xxxxx−
8112 2
dx
∫∫∫ ∫
32 2
1
= −−
ln
12
− ++−
ln( )xx
IV случай. Знаменатель имеет комплексные кратные корни.
dx
а)
+
x
б)
dx
∫
+22)4( xx
Корни уравнения
2
2
22
)1(
+=
x arctg
;
−
1
24
24
=
1
x
+
=
.
1121
+
3
−
++()( )
−
2
++
()()
dx x
∫∫
22
++
xx
43
−+
)1(
+
x
−
∫
1
x arctg +
+
22
0)4(
=+ x
1
+
xx +
222
24
+
24
arctg
22
dx
+
−
x
3
=
x
=
2414
xx
22
x
+
являются двукратными комплексными.
A
+=
x
++++++=
dx x
= −−
dx
++
()
x
C
+
dx
+
+
211)1(
CBx
+
+
x
xEDxxxCBxxA )()4)(()4(1
2
ln
1
+
= −−
13112
1
⎛
xd
⎜
∫∫∫∫
2222
x
⎝
EDx
)4(4)4(
x
1
lnx
⎞
⎟
+
1
⎠
,
22222
1
x
++
()
223
2
2
x
=
x
x arctgCx arctg
+=+−
22
+
dx
=
C
.
47
Используем комбинированный метод:
0=x A161
=
16
x
BA+=0
16
x
C=0 0=C
x
DBA++=480
4116416
x
EC+=4
0
0=E
x
x
4
−
x
27
−
x
x
−
x
x
−
x
13+
x
1
−
x
x
−
1
=A
Итак,
4
3
2
1
129)
131)
133)
135)
dx
+
∫
∫
∫
∫
−=B
dx
1
−=
x
x
1
16
)4( x
xx
1
16
xdx
ln
1
−
+
416
1
32
xdx
∫∫∫∫
+
2
()
xx +
Примеры для самостоятельного решения
54
xdx
12 1
xx()( )++
dx
; 132)
2
1()−
xx
3
x
14−
dx
; 134)
3
2
31
x
+
dx
22
x
()
; 136)
1
−
; 130)
xx
∫
xdx
∫
3
∫
42
∫
xx()
1
8
=
22222
)4(4
4ln
+ −
3
4
dx
dx
2
−=+−=D
1
++−=
+
8
dx
;
.
C
2
x
)4(8
;
;
;
1+
137)
139)
∫
∫
dx
; 138)
5
()xdx
12+
.
32
∫
2
xdx
;
4
48
Самостоятельная работа
2
x
x
+
+
x
x
1−+
()2
4
442
x
x−−
+
(
)
−
7
Fx(
)
414141412
)(t
x
ϕ
=
],[
β
α
a=)
(
α
ϕ
b=)
(
β
ϕ
I вариант II вариант
xe dx
1)
∫
sin x
2)
∫
cos sin3xxdx⋅∫
3)
4)
∫
x3
; 1)
dx
; 2)
x
; 3)
3
x
21+
dx
; 4)
2
x
∫
3
x
e
dx
∫
2
3
x
4
sin cos
xxdx⋅∫
4
x
∫
2
x
dxcos
;
;
;
dx
;
xdx
5)
∫
2
b
fxdx Fb Fa
() () ()= −
∫
a
Здесь
b
a
— любая первообразная функции f(x).
b
−⋅=
a
4
1) xdx
∫
2
1
2)
∫∫∫
0
3
x
2
==− =
3
1
2
1
Если
,
b
a
β
∫∫
α
. 5)
xdx
∫
xx
Определенный интеграл
— формула Ньютона-Лейбница.
b
vduvuudv
— формула интегрирования по частям в
∫∫
a
определенном интеграле
Образцы решений
4
643832
2
1
0
222
+=+−= eee
– дифференцируемая на отрезке
то
()
′
ϕϕ
⋅=
.
3
1
1
2
.
dtttfdxxf
)()()(
1
222
2
0
0
— формула замены переменных в
⎛
1
⎜
)(
−=−==
⎜
2
⎝
определенном интеграле
2
− +
45
.
1
22
eedxexexdedxxe
2
.
1
⎞
xxxxx
⎟
=
⎟
0
⎠
функция от t и
.
49
Образцы решений
2
4
π
2
π
b→+∞
∞
=
0
→
ε
1)
3
xdx
++
x
0
2
2
−
=
1
+
11
t
1
2
2)1(
tdtt
2
∫∫∫
1
2
)(2
3
212213
ttdttt
16
2
3
3
5
14
=+−−=−=−=
3
⎛
1
⎜
=+
x
1
⎜
⎜
2
−=
tx
⎜
⎜
=
tdtdx
2
⎝
1
−
2)
x
2
2
π
π
x
sin
=
⎛
⎜
=
cos
⎜
⎜
=
arcsin
⎝
Если при
⎞
=+
tx
⎟
2
⎟
t
⎟
1
⎟
⎟
⎠
2
x
dx
2
π
2
2
π
4
4
t
⎞
⎟
tdtdx
⎟
⎟
xt
⎠
π
2
=
π
4
2
11
−
sin
sin
10
42
Несобственные интегралы
существует конечный предел
х 0 3
t 1 2
π
2
tdt
−=+−+=−−= tctgt
cos
sin
π
4
πππ
4
2
х
t
cos
t
2
t
1
π
2
2
t
==
dt
2
∫∫∫∫
t
2
sin1
−
t
=
dt
2
sin
π
4
t
1
b
dxxf )(lim
∫
∞+→
b
+∞
a
a
=
∞+→
b
несобственный интеграл 1 рода
, то
b
dxxfdxxf )(lim)(
∫∫
a
—
(по бесконечному промежутку).
Аналогично
b
f x dx f x dx
() lim ()
∫∫
−∞
b
=
a
→−∞
a
Если эти пределы равны бесконечности или не существуют, то говорят,
что интегралы расходятся
Пусть
Если при
)(lim
+→
0 xfax
существует конечный предел
.
.
b
∫
0
→
ε
+
a
, то он
dxxf
)(lim
ε
называется несобственным интегралом 2 рода от неограниченной в
точке а функции f(x):
50
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]