Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Сборник заданий по высшей математике с образцами решений (математический анализ). Учебно-методическое пособие
.pdf
Статистические оценки параметров
θ
θ
θ
N
+++
N
+++
=
n
+
+
n
+++
=++
+
распределения.
Пусть из некоторых соображений удалось установить, какое именно распределение имеет случайная величина Х. Требуется оценить основные параметры распределения (для нормального закона это M(X)=a, D(X)=D).
Пусть
— некоторый неизвестный параметр,
оценка. Осуществляя выборку k раз, получим
можно рассматривать как случайную величину, а
ния.
Несмещенной
ема выборки, смещенной
Эффективной
называют такую оценку θ, что
— если
θθ
≠)(M .
называют оценку, которая (при данном объеме выборки n)
имеет наименьшую возможную дисперсию.
Состоятельной
называют оценку, которая при n → ∞ стремится по веро-
ятности к оцениваемому параметру.
Например, если при n → ∞
D ,
Генеральной средней
неральной совокупности. Если х
x
=
Г
если же х
, х2, ... хk, имеют частоты N1, N2, ... Nk, то
1
x
=
Г
(среднее арифметическое с весом)
θθ
=)(M , то такая оценка состоятельна.
x называют среднее арифметическое значений ге-
Г
, х2, ... хN, различны, то
1
xxx
...
21
N
,
NxNxNx
...
2211
kk
0)( →
θ
Для непрерывной случайной величины
Выборочной средней
x
B
для выборки объема n называют
xxx
...
n
21
= или
x
=
B
(
...
21
Оказывается, такая выборочная средняя
стоятельной оценкой для
x .
Г
Точечной
называют оценку, которая определяется одним числом. При
выборе малого объема она может быть достаточно грубой.
Интервальной
называют оценку, которая определяется двумя числами —
концами интервала.
161
— его статистическая
θθθ
,...,
.
k
21
θθθ
,...,
— как её значе-
k
21
θθ
=)(M для любого объ-
(N1+N2+ ... +Nk = N)
)( XMx
Г
2211
x является несмещенной и со-
.
nxnxnx
...
kk
соответственно
nnnn
)
k
B
Пусть θ — неизвестный параметр, θ — его статистическая оценка. Если
0>δ
γ
(
)
(
)
(
)
θ
θ
θ
θ
θ
→
— некоторое число и выполняется неравенство
ризует точность оценки
Надежностью
вероятность
Раскроем последнее неравенство
Доверительным
неизвестный параметр
, с которой осуществляется неравенство
γδθθ
=<−P
.
(доверительной вероятностью) оценки θ по θ называется
(обычно надежность задается заранее: 0,95; 0,99; 0,997).
γδθθδθ
=+<<−P .
называется интервал
с заданной надежностью γ.
+− , , который покрывает
δθθ
<−
, то δ характе-
δθθ
<−
, т.е.
δθδθ
Оценка неизвестных параметров
При изучении физических процессов возникают задачи следующего типа:
1) найти числовую оценку некоторого параметра, оценить абсолютную
и относительную погрешности этой оценки;
2) установить надежность измерения, т.е. вероятность того, что ис-
тинное значение лежит в данном интервале.
Ошибки измерений можно подразделить на два типа:
1) систематические
нием внешних факторов (температура, атмосферные явления и т.д.)
2) случайные
ствуют непредвиденным образом при каждом отдельном измерении;
они носят вероятностный характер.
Рассмотрим следующую задачу.
Имеется случайная величина Х, закон распределения которой содержит
неизвестный параметр
по результатам n измерений. Обозначим через х
ния Х. Мы будем их рассматривать как n независимых случайных величин, распределенных по тому же закону, что и Х.
Обозначим через
предъявляются следующие требования:
К
1) при n → ∞
2)
конкретных физических процессов
, обусловленные ошибкой прибора или метода, влия-
, т.е. те, которые происходят от случайных причин и дей-
θ
. Требуется найти подходящую оценку для параметра θ
, х2, ... хn наблюдаемые значе-
1
оценку параметра θ.
(состоятельность оценки)
по вер.
θθ
=)(M (несмещенность оценки)
3)
Однако, удовлетворить всем этим требованиям не всегда удаётся.
min)( −
θ
D (эффективность оценки)
162
Рассмотрим теперь оценки для неизвестного математического ожидания
=
n
n
n
min)(−x
D
n
n
D
n
1
n
1
n
n
1
n
θ
θ
М и дисперсии D.
Уже отмечалось, что оценкой математического ожидания М является
xx
:
B
n
x
i
∑
i
==1
x
или
k
nx
i
i
∑
==1
i
x
⎛
⎜
⎜
⎝
∑
ii1
k
⎞
⎟
=
nn
⎟
⎠
=
Она является состоятельной и несмещённой.
Если Х распределена по нормальному закону, то используя соотношение
для дисперсии
D
xD1)( = , можно доказать, что
, т.е. x — эффек-
тивная оценка для М.
Рассмотрим оценку для дисперсии
Эта оценка
ния. Можно показать, что величина
n
∑
=
1
i
D
=
i
−
2
xx
)(
, или
n
∑
=
1
i
D
=
2
nxx
−
)(
ii
k
⎛
⎜
∑
⎜
⎝
ii1
⎞
⎟
=
nn
.
⎟
⎠
=
является состоятельной, но смещённой в сторону заниже-
n
*
D ⋅
=
D
будет несмещённой оценкой
−
дисперсии.
Таким образом,
n
x
i
∑
i
==1
x
;
n
∑
i
1
=
=
*
D
2
−
)(
xx
i
или
−
k
nx
i
i
∑
==1
i
x
;
n
∑
*
1
=
i
=
D
2
−
)(
nxx
ii
−
явля-
ются точечными несмещёнными и состоятельными оценками параметров M и
D. В дальнейшем мы будем ими постоянно пользоваться.
θ
Рассмотрим теперь интервальные оценки некоторого параметра
из некоторых соображений получена его несмещённая оценка
кон распределения
неизвестен и зависит от распределения Х, прибегают к
следующему упрощению: заменяют неизвестный параметр
. Поскольку за-
θ
его оценкой θ.
. Пусть
При сравнительно большом числе опытов n ∼ 20-30 этот приём даёт обычно
удовлетворительные результаты.
163
Доверительный интервал для
aXM
=
)
(
σ=D
n
aXM=)
(
n
σ
(
)
(
)
γδδ
=+<<−
(
)
=+<<−
δ
δ
σ
γ
=
)(t
2
γ
математического ожидания
распределения при известной дисперсии
Пусть произведено n независимых опытов, их результаты
но рассматривать как n независимых случайных величин
2
)( ;)(
σ
==
XDaXM . Составим оценки
ii
По центральной предельной теореме закон распределения Х как суммы n
независимых и одинаково распределенных случайных величин Х
n близок к нормальному
нормальным) и
(при n ∼ 20-30) его можно уже приближенно считать
D
XD =)(
,
,
Потребуем, чтобы выполнялось соотношение
заданная надежность. Раскроем эту формулу:
случайной величины, распределенной по нормальному закону (см. интеграль-
ную теорему Лапласа),
⎞
⎛
δ
n
⎟
⎜
– Ф
⎟
⎜
σ
⎠
⎝
2
t
−
x
2
dte
, то получаем соотношение 2Ф
∫
0
где Ф(x) =
xaxP Ф
1
2
π
Здесь учитывался тот факт, что
⎛
δ
Итак, окончательно имеем 2Ф
Обозначим
δ
tn=
, тогда последнее соотношение примет вид:
σ
2Ф
⎜
⎜
⎝
По таблицам для функции Лапласа Ф(t) (см. Приложение №2) находят ар-
гумент t, которому соответствует значение функции, равное
x
σ
X
⎛
⎜
−
⎜
⎝
⎞
n
⎟
⎟
σ
⎠
, где
∑
i
=)(
δ
n
σ
γ
=
t =
нормального
n
x
i
==1
.
.
n
⎞
⎛
= 2Ф
XD
n
σ
δ
⎜
⎜
⎝
=== )(
.
⎟
⎟
⎠
σσ
.
δ
2
.
21
X , у которых
i
при большом
i
γδ
=<− axP
, где γ —
xaxP . Т.к. для
⎞
n
⎟
,
⎟
σ
⎠
⎞
⎛
δ
n
⎟
⎜
⎜
⎝
.
n
γ
=
.
⎟
σ
⎠
. Найденное t
xxx ,...,,
n
мож-
обеспечивает выполнение неравенства
σσ
⋅
t
⎛
−
xP
⎜
n
⎝
σσ
⋅
t
⎛
−
x
⎜
n
⎝
⋅
t
;
x
⎞
покрывает неизвестный параметр а с надежностью γ.
+
⎟
n
⎠
⋅
t
⎞
γ
=
+<<
xa
, т.е. доверительный интервал
⎟
n
⎠
164
Оценку
σ
⋅
σ
⋅
=
γ
)(t
x
=
γ
)(t
⋅=⋅
σ
)98,0 ;98,0
(
+
−
x
x
=
γ
δ
σ
⋅
t
называют классической. Из формулы
<−
ax
n
δ
=
ет, что
1) при возрастании выборки n число δ убывает, а значит, точность
оценки увеличивается;
2Ф
2) увеличение надежности
приводит к увеличению t, а зна-
чит и δ, т.е. к уменьшению точности.
3)
Пример
Случайная величина Х нормально распределена с известным средним
квадратическим отклонением σ = 3. Найти доверительные интервалы для
оценки неизвестного математического ожидания а по выборочным
средним
, если объём выборки n = 36 и задана надежность оценки
0,95.
Решение
Найдем t из соотношения 2Ф
=0,95.
По таблице Приложения №2 находим по Ф
)(t =0,475, что t =1,96.
Найдем точность оценки
t
=
δ
n
Получаем доверительный интервал
Надежность
396,1
36
98,0
=
.
0,95 указывает, что если произведено достаточно боль-
шое число выборок, то 95% из них определяет такие доверительные ин-
тервалы, в которых параметр действительно заключен, лишь в 5% случаев
он может выйти за границы доверительного интервала.
Замечание
Если требуется оценить математическое ожидание с заданной точностью
и надежностью γ, то минимальный объём выборки, который обеспечи-
вает эту точность, находят по формуле
n
22
σ
⋅=t
(из соотношения
2
δ
t
δ
).
=
n
t
следу-
n
165
Доверительный интервал для
aXM
=
)
(
σ=D
−
n
σ
σ
⋅
⋅
⋅+⋅
σ
σ
2,20=x
8,0
=
σ
95
0
,=γ
⋅
σ
⋅
σ
нормального распределения
2
при неизвестной дисперсии
Результатами предыдущего случая пользоваться нельзя. Оказывается, что
по данным выборки можно построить случайную величину
имеет распределение Стьюдента S (t, n) с k = n-1 степенями свободы (см. Приложение №4).
Здесь
Распределение Стьюдента определяется параметрами n и k = n-1, т.е. объ-
ёмом выборки и не зависит от неизвестных параметров а и σ.
Вероятность осуществления неравенства
⎛
⎜
ax
P
⎜
σ
⎜
n
⎝
Итак, найден доверительный интервал
щий неизвестный параметр а с надежностью γ, причем t
n и γ с помощью таблиц Приложения №4.
Пример
По выборке объёма n = 16 найдены
ное математическое ожидание при помощи доверительного интервала с
надежностью 0,95.
Решение
Найдем t
ходим t
= 2,13. Отсюда находим доверительный интервал
γ
t
γ
−
x
n
t
γ
+
x
n
n
x
i
∑
i
==1
x
,
σ
D
n
∑
*
1
=
i
==
2
)(
−
xx
i
.
1
−
n
ax<−
σ
n
⎞
<−t
⎟
γ
=
или
⎟
γ
⎟
⎠
t
⎛
xP
⎜
−
⎜
n
⎝
t
γγ
xa
+<<
t
⎛
⎜
−
x
⎜
⎝
и
. Пользуясь таблицей Приложения №4 по
γ
8,013,2
2,20 =
2,20 =
⋅
−=
16
⋅
+=
16
774,19
8,013,2
626,20
.
T
определяется так:
t
γ
⎞
γ
=⎟⎟
n
⎠
t
x
;
n
находят по заданным
γ
. Оценить неизвест-
ax
= , которая
σ
n
⎞
γγ
⎟
, покрываю-
⎟
n
⎠
и n = 16 на-
166
Итак, с надежностью 0,95 неизвестный параметр а заключен в довери-
σ
x
σ
n
95
0
,=γ
σ
σ
⋅
⋅
95
0
,=γ
95
0
,=γ
⋅
σ
тельном интервале
19,77 < a < 20,63 или P (19,77 < a < 20,63) = 0,95
При возрастании объёма выборки n распределение Стьюдента приближается к нормальному распределению (уже при n > 30 можно вместо распределения Стьюдента пользоваться нормальным распределением). При малых же выборках такая подмена может приводить к грубым ошибкам.
Оценка истинного значения измеряемой величины
и точности измерений
Пусть производится n независимых измерений некоторой физической величины, истинное значение которой а неизвестно. Будем рассматривать результаты отдельных измерений x
чины независимы, имеют одно и то же математическое ожидание а, одинаковые
дисперсии
2
и распределены нормально. Таким образом, можно воспользо-
ваться результатами предыдущего параграфа.
Пример №1
По данным 9 независимых равноточных измерений х
ны найдены среднее арифметическое результатов отдельных измерений
и “исправленное” среднее квадратичное отклонение
n
x
i
∑
i
=
x
Оценить истинное значение измеряемой величины с надежностью
.
Решение
Истинное значение измеряемой величины равно её математическому
ожиданию. Поэтому задача сводится к нахождению доверительного интервала
t
x
−
покрывающего “а” с заданной надежностью
Пользуясь таблицей Приложения №4, по
t
= 2,31.
γ
Найдем точность оценки
t
γ
=
n
9
тогда доверительный интервал примет вид:
42,319-3,85 < a < 42,319+3,85 или 38,469 < a < 46,169.
, x2, ... xn как случайные величины. Пусть эти вели-
1
физической величи-
i
:
n
∑
1
=
319,421==
и
t
γγ
xa
+<<
n
i
=
σ
,
n
2
)(
−
xx
i
.
5
=
1
−
n
.
и n = 9 находим
531,2=⋅
85,3
,
167
σ
(
)
(
)
γδσσδ
σ
=+<<−
δ
(
)
γσσ
σ
=+⋅<<−⋅
(
)
+⋅−
⋅
σ
σ
1<q
(
)
+
σ
),(nq
γ
15=n
99
0
,=γ
73,0=q
0,73)-(1
0,12
⋅
0,73)(10,12
+
⋅
Пример №2
Решение
По 15 равноточным измерениям найдено “исправленное” среднее квадра-
тичное отклонение
0,99.
Точность измерений характеризуется средним квадратичным отклонени-
ем σ случайных ошибок, поэтому задача сводится к нахождению довери-
тельного интервала, покрывающегося σ с заданной надежностью γ.
Потребуем, чтобы
= 0,12. Найти точность измерения с надежностью
γδσσ
=<− P
или
P
Сделаем замену q=
Итак, доверительный интервал имеет вид:
где
распределена по закону
Найдя по
вал
ищется по таблицам Приложения №5. (Величина
< σ <
и
, тогда
σ
)1()1( qqP
)1();1( qq
при
2
χ (хи-квадрат) с k = n – 1 степенями свободы).
, что
и
, получим доверительный интер-
или 0,03 < σ < 0,21.
)1(;0 q
при q > 1.
σ
)1(
⋅−n
2
σ
Статистическая обработка результатов
тестирования
В МПГУ регулярно проводится аттестационная экспертиза. Один из её
этапов состоял в проведении самообследования с целью оценки качества подготовки специалистов. Проведение такого обследования осуществляется на основе контроля остаточных знаний студентов и выпускников по дисциплинам всех
блоков учебного плана.
Рассмотрим в качестве примера тестирование по высшей математике на
III курсе
факультета изучают высшую математику на I и II курсах, тестирование же проводилось на старших курсах. Для тестирования были составлены 4 варианта совершенно идентичного словесного содержания, различными были только рассматриваемые функции, но и они были примерно одинакового уровня сложности.
го уровня сложности из всех разделов изучаемого курса высшей математики,
при этом за правильно решенную задачу студент получал от 2 до 5 баллов в за-
факультета технологии и предпринимательства МПГУ. Студенты этого
Каждый вариант теста (см. Приложение
№6) содержал 15 задач различно-
2
168
висимости от сложности задачи. К каждой задаче было предложено 3 варианта
77
⋅+⋅+⋅+⋅
X
20
20
⋅+⋅+⋅+⋅
31≈X
ответов, один из которых был правильным, а два других получались, если сделать типичные для студентов ошибки.
Максимальное количество баллов, которое мог набрать студент, было 50,
оценки выставлялись по следующей схеме:
27-34 балла — “3”
35-42 балла — “4”
43-50 баллов — “5”
Анализ полученных результатов позволяет определить, какие
разделы
программы усвоили студенты лучше, какие хуже.
На III курсе тестирование прошло 77 человек, результаты были такими:
“5” — 6 ⇒ 8%
“4” — 34 ⇒ 44%
“3” — 22 ⇒ 29%
“2” — 15 ⇒ 19%
21532243456
≈
Средняя оценка
=y .
4,3
Для удобства проверки полезно изготовить одинаковые по размерам
бланки с 15 клетками, в каждую из которых студенты вписывают нужную букву
ответа (а, б или в). Преподаватель же имеет такие же бланки с правильными ответами и, сопоставляя их, отмечает знаками “+” и “–“ верные и неверные ответы. Если позволяет техника, можно сделать
машинную проверку.
Дальнейший анализ показывает, что если количество учащихся, принимающих участие в тестировании, очень велико, можно обратиться к статистической обработке результатов выборки 20-30 работ. На базе результатов тестирования III курса была проведена репрезентативная выборка 20 работ, отобранных случайным образом из всех 4-х вариантов. Результаты приведены в Приложении №7.
этом была подсчитана выборочная средняя по набранному количест-
При
ву баллов
и по оценке Y:
20
x
∑
1
=i
X
i
31
≈=
и по оценке 35,3
=Y .
24364951
≈
Взяв среднее по количеству баллов
, находим выборочное “ис-
правленное” среднее квадратичное отклонение
20
∑
1
=i
=σ
19
2
XX
)(
−
i
.
7,8
≈
Построим доверительные интервалы для математического ожидания
случайных величин Х (набранное количество баллов) и У (оценка, полученная студентом).
169
Доверительный интервал для математического ожидания случайной вели-
),(nt
S
=
⋅
σ
⋅
=
⋅
σ
чины Х при неизвестном среднем квадратичном отклонении σ имеет вид (см.
[1], [2]):
t
t
⎛
X ;
⎜
−
⎜
⎝
Здесь
t
σ⋅
n
σ⋅
⎞
γγ
X
+
, где
t находят из условия γ=
⎟
γ
⎟
n
⎠
— распределение Стьюдента с k = n – 1 степенями свободы,
γ
dtntS
),(2
∫
0
γ — заданная надежность.
Задавая, например, γ = 0,95 при n = 20 находим по таблицам Прило-
093,2
Тогда
t .
γ
t
γ
=
n
20
7,8093,2≈⋅
.
4
жения №4
Значит, с надежностью 95% можно утверждать, что количество баллов,
набранное студентами, лежит в промежутке (31–4; 31+4) или Х ∈ (27; 35)
.
Подсчитываем доверительный интервал для математического ожидания
оценки У :
⎛
⎜
−
Y ;
⎜
⎝
⋅
st
n
⋅
st
⎞
γγ
⎟
+
Y
.
⎟
n
⎠
В этом случае выборочное среднее квадратичное отклонение
20
∑
1
=i
s
=
st
γ
=
n
(3,35 – 0,42; 3,35 + 0,42) или У ∈ (2,9; 3,8)
19
2
)(
−
YY
i
20
,
9,0
≈
9,0093,2≈⋅
и получаем интервал
42,0
.
С надежностью 95% этот интервал покрывает истинную оценку У студента. Напомним, что средняя оценка студента, вычисленная по данным всей генеральной совокупности работ была равна 3,4, что хорошо соответствует выборочным результатам.
Зададим теперь меньшую надежность γ = 0,8, тогда по n = 20 находим
331,
t и
γ
t
γ
=
n
20
7,833,1≈⋅
.
6,2
Значит с надежностью 80%, можно утверждать, что количество баллов,
набранное студентом лежит в интервале (31–2,6; 31+2,6) или приближенно
.
(28; 34)
Заметим, что при меньшей надежности получается более узкий интервал,
покрывающий математическое ожидание случайной величины, чем при большей надежности. Это происходит потому, что увеличение надежности всегда
170
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]