Сборник заданий по высшей математике с образцами решений (математический анализ). Учебно-методическое пособие

влечет за собой уменьшение точности. Чем выше надежность, тем более размы-

=

⋅

тый доверительный интервал мы получаем.

331,

Для оценки У при надежности γ = 0,8, n = 20,

(3,1; 3,6)

st

γ

=

n

.

20

9,033,1≈⋅

и получаем интервал (3,35–0,27; 3,35+0,27), то есть

27,0

t имеем

γ

Точное значение У, вычисленное по всей генеральной совокупности и равное 3,4, лежит в каждом из этих интервалов и каждый из этих интервалов покрывает это значение с соответствующей надежностью.

Проделав те же выкладки при надежности γ = 0,99, получим доверительный интервал для Х: (25; 37)

для У: (2,8; 3,9)

,

.

Ниже приводится один из вариантов тестов (Приложение №6) и результаты исследования данных выборки из 20 случайно отобранных работ (Приложение №7).

Пояснения к Приложению №7:

Знаком “+” отмечены верно решенные задачи, “–“ — неверно решенные,

— “вес” или ценность задачи. Xi — сумма баллов, набранная i-ым студентом

σ

i

по всем 15 задачам. n

— количество студентов, верно решивших j-ую задачу,

j

следующий столбец — то же в процентах.

Вывод

Мы убедились в том, что математическое ожидание оценки У по выборке при n = 20 даёт хорошее совпадение с результатами, полученными из генеральной совокупности, состоящей из 77 работ.

171

2

ϕ

)(x

Ф

)(x

Ф

)(x

Ф

x

1

Приложение №1. Таблица значений функции

)(

ϕ

2

ex−=

2

.

π

х

()x

х

()x

х

()x

0,0 0,3989 1,4 0,1497 2,8 0,0079 0,1 3970 1,5 1295 2,9 0060 0,2 3910 1,6 1109 3,0 0044 0,3 3814 1,7 0940 3,1 0033 0,4 3683 1,8 0790 3,2 0024 0,5 3521 1,9 0636 3,3 0017 0,6 3332 2,0 0540 3,4 0012 0,7 3123 2,1 0440 3,5 0009 0,8 2897 2,2 0355 3,6 0006 0,9 2661 2,3 0283 3,7 0004 1,0 2420 2,4 0224 3,8 0003 1,1 2179 2,5 0175 3,9 0002 1,2 1942 2,6 0136 0000 1,3 1714 2,7 0104

Приложение №2. Таблица значений функции

=

)(

2

x

z

−

1

2

dzexФ

.

∫

2

π

0

х

0,0 0,0000 1,4 0,4192 2,8 0,4974 0,1 0398 1,5 4332 2,9 4981 0,2 0793 1,6 4452 3,0 4986 0,3 1179 1,7 4554 3,5 49997 0,4 1554 1,8 4641 4,0 499968 0,5 1915 1,9 4713 4,5 499997 0,6 2258 2,0 4772 5,0 4999997 0,7 2580 2,1 4821 5000000 0,8 2881 2,2 4861 0,9 3159 2,3 4893 1,0 3413 2,4 4918 1,1 3643 2,5 4938 1,2 3849 2,6 4953 1,3 4032 2,7 4965

172

Приложение №3. Таблица значений функции

!ek

λ

γ

=

k

0,1 0,2 0,5 1 2 3 4 5

k

p

n

λ

−=

.

k

λ

0 0,905 0,819 0,606 0,368 0,135 0,050 0,018 0,007 1 0,090 0,164 0,303 0,368 0,271 0,149 0,073 0,034 2 0,004 0,016 0,076 0,184 0,271 0,224 0,147 0,084 3 0,000 0,002 0,013 0,061 0,180 0,224 0,195 0,140 4 0,000 0,002 0,015 0,090 0,168 0,195 0,175 5 0,000 0,003 0,036 0,101 0,156 0,175 6 0,000 0,012 0,050 0,104 0,146 7 0,004 0,022 0,059 0,104 8 0,001 0,008 0,030 0,065

9 0,000 0,003 0,013 0,036 10 0,001 0,005 0,018 11 0,000 0,002 0,008 12 0,001 0,003 13 0,000 0,001 14 0,000

),( ntt

Приложение №4. Таблица значений

n

0,95 0,99 0,999

γ

n

. Распределение Стьюдента

γ

0,95 0,99 0,999 5 2,78 4,60 8,61 20 2,093 2,861 3,883 6 2,57 4,03 6,86 25 2,064 2,797 3,745 7 2,45 3,71 5,96 30 2,045 2,756 3,659 8 2,37 3,50 5,41 35 2,032 2,720 3,600 9 2,31 3,36 5,04 40 2,023 2,708 3,558

10 2,26 3,25 4,78 45 2,016 2,692 3,527 11 2,23 3,17 4,59 50 2,009 2,679 3,502 12 2,20 3,11 4,44 60 2,001 2,662 3,464 13 2,18 3,06 4,32 70 1,996 2,649 3,439 14 2,16 3,01 4,22 80 1,991 2,640 3,418 15 2,15 2,98 4,14 90 1,987 2,633 3,403 16 2,13 2,95 4,07 100 1,984 2,627 3,392 17 2,12 2,92 4,02 120 1,980 2,617 3,374 18 2,11 2,90 3,97

∞

1,960 2,576 3,291

19 2,10 2,88 3,92

173

Приложение №5. Таблица значений

),(nq

q

γ

=

7

x

)2 ;0 ;1(

−

=

a

. Распределение

χ .

N

γ

0,95 0,99 0,999

n

0,95 0,99 0,999

γ

5 1,37 2,67 5,64 20 0,37 0,58 0,88 6 1,09 2,01 3,88 25 0,32 0,49 0,73 7 0,92 1,62 2,98 30 0,28 0,43 0,63 8 0,80 1,38 2,42 35 0,26 0,38 0,56 9 0,71 1,20 2,06 40 0,24 0,35 0,50

10 0,65 1,08 1,80 45 0,22 0,32 0,46 11 0,59 0,98 1,60 50 0,21 0,30 0,43 12 0,55 0,90 1,45 60 0,188 0,269 0,38 13 0,52 0,83 1,33 70 0,174 0,245 0,34 14 0,48 0,78 1,23 80 0,161 0,226 0,31 15 0,46 0,73 1,15 90 0,151 0,211 0,29 16 0,44 0,70 1,07 100 0,143 0,198 0,27 17 0,42 0,66 1,01 150 0,115 0,160 0,211 18 0,40 0,63 0,96 200 0,099 0,136 0,185 19 0,39 0,60 0,92 250 0,089 0,120 0,162

Приложение №6.

Вариант II.

(2 балла)

1. Функция

24

5xxy += является

а) четной б) нечетной в) общего вида

(3 балла)

2.

lim

x

4

+

xx

равен

3

∞→

−

а) 1 б) ∞ в) 0

(2 балла) 3. Скалярное произведение векторов

)1 ;7 ;4(=b

равно

а) 9 б) 6 в) 2

(3 балла)

4. Уравнение

12+= xy определяет

а) эллипс б) гиперболу в) параболу

(2 балла)

5. Функция

1

π

⎛

sin2

⎜ ⎝

⎞

+=

xy

⎟

32

⎠

имеет период

а) 4π б) 2π в) π

2

и

174

(2 балла)

2

x

;

−

=

0

92=

=

−

=

−

=

xe

e

xy

sin

=

′

x2sin

x

cos

e

x

sin

e

x

cos

9

2

4

6. Функция

2

+

x

=

y

имеет точки разрыва

2

)1(5−

x

а) x = 0; x = 1 б) x = 1 в) x = 1; x = 2

(5 баллов)

7. Производная функции

2

x

=

y

в точке x = 0 равна

2

−

а) 0 б) 1 в) –1

(2 балла)

8. Система

⎧ ⎪ ⎨

⎪ ⎩

=+−

22

zyx

−=−+

252

zyx

=+−

55

zyx

имеет решение

а) (1; 0; 1) б) (1; 1; 1) в) (1; 1; –1)

(3 балла)

(5 баллов)

9. Векторы

a

а) α = 1

10. Решением уравнения

izz 3

а)

21

б)

11. Уравнению

y

а)

∂ ∂

б)

)2

;1(

α

и

б) α = 0 в) α = –1

является числа

+z

;31iz

в)

iz 3

2

u

∂

u

=

+

2

x

удовлетворяет функция

2

y

∂

xy

в)

)1 ;2 ;4(=b

ортогональны при

(5 баллов) 12. Решением дифференциального уравнения

является функция

(5 баллов)

(3 балла)

а)

13. Ряд

а)

14.

а)

15. Функция

а) x = 0 б)

б)

1

4

!4

!2

лорена для функции

б)

1

dxx 13

+

∫

0

14

равен

б)

2xxy −= имеет экстремум в точке

в)

22

n

xxx

n

)1(...

n

x

в)

16

в) 1

2

1

=x

в)

...

+−+−+−

является рядом Мак-

)!2(

;3

z

1

3

z

2

′

0

+

yy

x

1

=x

175

X

Y

“5” — 1; “4” — 9; “3” — 6; “2” — 4.

20

⋅

+

⋅+⋅+⋅

n

j

— количество студентов, верно решивших j-ую задачу, затем то же в %.

X

∑

1

X

i

≈=

31

353

=Y

оценка Уi

баллов Хi

(

Хi

Yi

–

)

2

0,65

4 4 4 4 3 3 2 4 3 2 4 2 3 4 4 4 2 5 3 3

2

0,65

2

0,65

2

0,65

2

0,35

2

0,35

2

1,35

2

0,65

2

0,35

2

20

1,35

2

0,65

2

1,35

2

0,35

2

0,65

2

0,65

2

0,65

2

1,35

2

1,65

2

0,35

сумма

–

)

2

10

41 37 37 38 32 27 19 40 32 9 35 25 30 35 35 38 22 45 31 27

2

6

2

6

2

7

2

1

2

4

2

12

2

9

2

1

2

22

2

4

2

6

2

1

2

4

2

4

2

7

2

9

2

14

2

0 4

σ

13

14

15

=5

=3

13

14

15

+ + + + — + — + + — + — — — — — — + — +

+ + + — + + — + + — + — — — — + — + + +

+ + + — + + + + — — + + + + + + + + + +

σ

11

12

=5

11

12

— — — + — — — — — — — — — + + + — + — —

+ + + + + — — + + — + — + + + + — + + —

σ

10

=3

10

+ — — + — — — — — — — + + + + + + + + —

σ

9

=3

9

+ + + + + + + + — — — — — + + + + + — +

σ

6

7

8

=2

=5

=2

6

7

8

— — — — — — + + + + + + + + + + + + + —

+ + + + + + + + + — + + + + + + + + + +

+ + + + + + + + + + + + + + + — + + + +

σ

3

4

5

=2

=3

=2

3

4

5

+ + + + + + + + — — — + + + + + + + + +

+ + + + + — — + + + + + + — — — — — — —

+ + + + + — — — — + — — — + + — — — + —

σ

2

=3

2

+ — — + — — — + + — + + + + + + — + — —

σ

1

=2

N зад.

1

— + + — + + + + + — + + + — — + + + + +

задачи

“вес”

студ.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 n

Приложение №7. Выборка из 20 работ студентов

2

0,35

24364951

2

,≈

17 85%

12 60%

10 50%

14 70%

5 25%

10 50%

14 70%

19 95%

13 65%

9 45%

11 55%

17 85%

11 55%

15 75%

j

%

176

ОТВЕТЫ

0

1

x

y

0

1

3

x

y

1

y

= 1 x

∞

β

α

/

1

sin

∞

Глава 1

7) 8)

y = x

18) 23) 24)

39) 40)

y

-1

x

53) 0 54)

55) 1 56)

57) 1/3 58) 1 59) 0 60)

61) 1 62) 1 63)

65) 9

66)

67) 0 68) 1/2

64) 0

69) 2/3 70) – 1/2 71) - 8/5 72) 3

73) 0 74) 1/6 75) -1/12 76) 0

77) 0 78)

81) 1 82) 0 83) -12 84)

85) - 1 86) 3 87) k 88)

79) 1/2 80) - 1

89) 2/5 90) 2/3 91) 1/3 92) 1/2

93) 3/4 94) 8/5 95) 0 96)

97)

98) 0 99)

0,01

101) 1/20 102)

103) 9 104) e

1/2

100) 20

177

105) 1/e 106)

e

∞

+∞→∞

+

e

1=x

4

π

2=x

1−=

x

0=x

54+

i

16−

i

1113+

i

12917

29

514−

i

4

3

151310

13

5

−

i; −

i; i

(

)

π

2

⋅

+

(cos

sin

)

π

i

232

−+13i

−−13i

r

=

2

109) 1/e 110)

113) - 2/3 114) 5/6 115) – 1 116) 6/5

117) 9 118)

3

107)

3

1 e 111) e1 112) 3

2

119)

2

108) e

120) 0

121) 3/4 122) 1/18 123) 3/7 124) 5/7

125) 0 126) 5/12 127)

129)

130) 1 131) -49 132) 8

133) 15 135) а)

- точка разрыва 1-го рода, б) в

e 128)

⎧ ⎨

0

⎩

xпри

=x

−∞→

- точка

разрыва 1-го рода. 136) а) разрыва 2-го рода, в)

137)

138)

139)

2

⋅−

140)

− +

142)

143) 2;

;

⎛

cos sin

⎜ ⎝

1

i .

;

−

i

;

− +

.

ππ

⎛ ⎜ ⎝

44

⎞

i

+ −

⎟ ⎠

⎛ ⎜ ⎝

;

144)

0

12≤ <z

- точка разрыва 2-го рода, б)

- точка разрыва 1-го рода.

;

− i

.

456

i

;

+ i .

⎞

;

30 0⋅ +cos sini

⎟

⎠

;

cos sin

.

zi− = 2

+ i

;

z + ≤13

- точка

3

=

r

.

178

Rez>

2

Jm z=−3

222

111211

12

π

191219

12

π

2

e

2

2π⋅

56−

x

3

)5,0(

2−x

1232−+v

v

x

x22sin1cos

x

sin

12x

1ln+

x

x2cos

2

)

sin(bxa

b

−

x2sin

−

145) 256; 1;

146) а) 256, б)

2)

−

2

5)

2

+ i ,

, в)

3)

5 3

6

−

5

5,0

−− tt

6)

cos sin

7

i

12

4)

2

3

31x

+ i

Глава 2

,

cos sin

1

−

2

+ i

xxln

.

7)

2

5,3

1

2

8)

1

−=+xxx

9) –5; –5; 7/16 10)

2

1

+

−

1

2

x

xarctgx++

⎛

x

arccosxxe

⎜ ⎝

x

22

)1(1+−x

2

ϕ

22

)1(

ϕ

−

arcsin

16)

1

+−

x

2

x

2

−

1

xx

2

x

2

)1(lnln+x

⎞

1

−

1

−

⎟

2

⎠

11)

13)

15)

17)

19)

21)

23)

25)

27)

179

12)

18)

20)

22) 0

24)

26)

28)

2

)1(2−−x

2

vv

2

)2(26−+−v

1

14)

29

)1(30 x+

x

xxe

)cos(sin −

2

)1(2

+xx

25

)21(52 x+

1

−

m

v

m

1

+

m

)1(

−

v

29)

x

cos

x

)

cos(sin

cosxx

π

2ln2

x

)12(2

−

x

tg

2xxe−−

x

sin

3

sin3−

x

3

sin

xdxxcos

sin

3

(

)

2

31)

33)

35)

37)

39)

41)

43)

45)

47)

49)

51)

53)

55)

57)

−

x

1

−+

xx

−

1

22

x1cos

x

2

e

x +

1

−

1

⎛

x

⎜ ⎝

2

⎞

+

⎟

2

21x

⎠

2

1

)21(2xex+

x

⎛ ⎜

⎝

a

cos

−

⎞

a

−

dxee

⎟ ⎠

1

−

x a

22

a

sin

3

24

xx

cos

sin3

1

xadx−

2

x

1

a

⎛ ⎜

⎜ ⎜

⎜ ⎝

⎛ ⎜

⎝

−

3

)1()1(

)5sin55(cos xxe

⎞ ⎟

⎟

dx

x

⎟ ⎟

⎠

a

⎞

dx

+− 3

⎟ ⎠

23

1

tgx

30)

e

32)

34)

36)

2

1

12)1(

++ xx

xx22arccos12 −

4

xdx

12

sin4

2

)34(3

−⋅ x

1

2

x

2

⎛ ⎜

⎝

xx)1(21+

−⋅

⎞

+⋅

⎟

x

2

⎠

xxe3cos

xxe

)3cos33(sin2+

32

)1(2 x

2

1

⎞

⎛

−⋅

⎟

⎜

2

x

2

⎠

⎝

dxx3)51(20 −−

4sin2

dx

xx4cos

dx

t

2

dt

t

38)

3

40)

⎛

3

arcsin3

⎜ ⎝

42)

44)

x

−

46)

−

48)

4

50)

52)

−

cos

54)

56)

xx2

2

−

2

xx1

−

cos2−−

dxxxxx sincos4cossin4

58)

t

180