Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Сборник заданий по высшей математике с образцами решений (математический анализ). Учебно-методическое пособие
.pdf
Решение
1
=
+
y
x
0=z
x
y
−
=
1; dx
dy
−
=
0=dz
1
=
+
z
y
0=x
y
z
−
=
1; dy
dz
−
=
0=dx
1=+zx
0=y
xz−=1; dxdz−
=; 10≤≤x
0=dy
rrr
r
r
r
r
r
r
343
∇
;r
rot
r
{
}
r
{
}
r
ϕ
{
}
r
{
}
rrr
{
}
rrr
rrr
0],
[
=
∇rr
rrrrr
r
r
r
r
r
],[0],[],)[,(]),,([]),(,[}),{(rcrcrrcrrcrrcrrc
rot
rrrrrrrrrrrrrrr
r
=+=∇+∇=∇=
Циркуляция
AB:
тогда
0
=
1
BC:
тогда
CA:
K
CA
;
, отсюда
∫
AB
0
∫∫
1
;
, отсюда
0
K
BC
1
∫∫∫
0
;
1
, отсюда
Следовательно, циркуляция
д) Для векторного поля
завихренность
Решение
2
w вокруг направления
e
kyjxzixu
−+=
kji
∂
∂
1)
4)
∂
=
zyx
),,(
∂
∂
2
0
);,(
lu rotw
l
2)
;2cr rot
5)
zyx
∂
yxzx
−
l
0
0
l
, вычислить следующие роторы:
u rot
=
e
е) Используя оператор
kji
1)
=
r rot
∂
∂
0=
или
∂
zyx
∂
∂
∂
r
zyx
2)
3)
dxxxdxx
1
0
c KKKK
31||
dzyxdyzyxdxzxc KKK)5()3()2(
; х меняется от 1 до 0,
=+++++−
dzyxdyzyxdxzx )5()3()2(
1
0)))(1(3()0(
2
3
.
13
=−+−=+−−++−
2
; у меняется от 1 до 0;
0
∫∫∫
1
dyydyyy
3
2
))(05(0))1(2(
dxxdxxx
2
11))(0()130(0
5
3
−=−−=−+++−−=
2
3
1
−=+−−=−++−+++=
2
2
;
, тогда
.
3
∫∫∫∫
CABCABl
kji 22 +−
в точках (x,y,z) и (1,4,-2).
;)1(
kzjoix
++−−=
r
rr
2
2
kji
+−==
, 2
3
3
;5rrrot
;),( rrc rot
6)
232
kyjxzixzyxu
−+=2),,(
найти ротор u и
−−=
)2,4,1(
−
2
w .
e
3)
),(
++=+++++−=
∫∫∫∫
CABCl AB
,
,
.
33
−=−−=++==
.
kiu rot 22
.
−=−−=
;)( rr rot
45
rrrcrot
35555
0],5[],[],[],[}{
==∇+∇=∇= rrrrrrrrrrrrot
r
rrrr
=∇+∇=∇= r
ϕϕϕϕϕ
r
′
rrrrrrrrrrot
00],)([],)[(]),([])(,[})({ =+
rrr
4)
5)
91
2222
r
rcrcrcrcrrot
rrr
=+=∇+∇=∇=
],[20],2[],[],[],[}{
crc
6) =∇+∇+∇=∇= ],[),(],[),(],),([]),(,[}),{(
rrrrrrrrrrrrrrr
rrrrrrrrrrr
r
r
r
Hz≤
rrr
r
∇
r
r
rrr
r
r
r
r
r
r
ϕ
u rot
r
rrr
rrr
r
∇
rot
r
r
r
rrr
rrr
∂
∂
∂
rrrrr
∂
∂
∂
r
vrv
r
r
=
∇
),(
0),
(
=
∇
c
v
r
r
r
−
{
}
rrrrrrrrrrrrr
r
(
)
{
}
()()()(
)
rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr
r
(
)
{
}
()()(
)
rrrrrrrrrrrrrrr
r
()()(
)
rrrrrrrrrrrrr
(){
}
rrr
r
∇
r
(
)
rrr
(
)
{
}
rrr
r
=++=
Примеры для самостоятельного решения
5) Вычислить поток вектора
22
поверхности конуса
yxz +≥ ,
6) Для векторного поля
являются источниками, какие стоками:
7) Используя оператор
c
div
а)
г)
; б) }),{(
5
r
rdiv
})({
ϕ
; д)
, вычислить следующие дивергенции:
div
{4c
4545544545
442544
],[),(50],4[),(],),(5[
rcrcrrrrrcrcrcr
через внешнюю сторону полной
.
2
М (2,-1,0); 2М (3,2,-2); 3М (3,4,-7).
1
9
rrcdiv
;
r
r
)(
}.
kzjyxxzixyа
5)(
+−+=
выяснить, какие точки
в)
{
div
3
),(
rc
5
rrrcrrrcrrcrrrrcrrrcrot
r
}
r
;
8) Найти
и завихренность
(1,0,2) векторного поля
9) Используя оператор
б)
4
rrrcrot
};),{(
в) };),{(
Производная переноса (конвекционная производная)
r
а)
rr
=∇),(
v
vrv
+
x
∂
∂
б)
в)
г)
α
Примеры для самостоятельного решения
10) Найти:
rrcv
,),(
а)
б)
w вокруг направления
l
22
kyxjziyu
+−=
, вычислить следующие роторы: а)
)(
r
r
ϕ
⎫
г)
rot
⎧
⎨
⎩
.
r
⎬
r
⎭
53
crrcrot
kji
−+
в точке
6
;
r
=∇),(
vv
∂
x
+
+
v
v
∂
y
zyx
z
∂
Образцы решений
r
r
v
+
z
y
∂
ββ
=
),( rc ∇∇
αα
β
α
2
−
5
в)
r
vkvjviv
=++=
zyxzyx
cccc
zyx
β
α
βα
,),( rcc
∇∇
),,(
α
2
г)
),,((
vvvv
- пост. вектор)
zyx
,
zyx
,
33333
),(3)3,(),(),(),( rvrrvrrvrrrvrvrrrvrrv
+=+=∇+∇=∇
=+=∇+∇=∇
β
β
1
−
constccc
44555
ccvrcccrcvcvrccrcvcrcv
),(,50),5,(),(,),,(,),(
=∇+∇+∇=∇ rvrcrrrcvrrrvrcrrcrv
),(,),,(),(,,),(
β
α
vrcrrcvrcrrrvrcr
,),(,),(,
++
α
β
rrcrv
,),( ∇
92
11)* Преобразовать следующие интегралы по теореме Стокса или
∫
r
r
(
)
rrr
r
(
)
(
)
(
)
→
()(
)
∇∇++=
ΔΔΔ
0],[],[
=∇∇=∇∇=
uuu grad rot
(
)
r
r
∇∇=
[
]
()(
)
=∇∇=∇∇=
rrr
[][
]
()()(
)
rrrrrrr
r
Δ−=Δ−∇∇=∇∇−∇∇=∇∇=
r
r
r
r
0=u
Δ
(
)
r
r
Δ
(){
}
r
r
Δ
()(
)
r
(
)
()(
)
r
(
)
(
)
rrr
r
()()()()()(
)
=∇=∇∇=∇∇=
Δ
rrrvrrr
(){}()(){}()()()()()(
)
=∇∇+∇∇=∇∇=∇∇=
rrrrrrrrrrr
Δ
Остроградского-Гаусса:
2
rdrr ),(
а)
г)
б)
l
д)
dSrc ,,
∫∫
S
Дифференциальные операции 2-ого порядка
∫
l
,,
dSrc
∫∫
S
3
r
вектор-u grad
rdcrc ),(,
→
u grad rot
в)
u grad div
dSr,
∫∫
S
a div grad скаляр-a div →
1)
при этом
2)
3)
4)
5)
где
Вычислить а)
Решения
а)
б)
в)
г)
→
вектор-a rot
→
2
u
∂
uuu grad div
),(),(
aa div grad
,
aaa rot div
kajaiaa
Δ+Δ+Δ=Δ
zyx
- уравнение Лапласа, u – гармоническая функция.
Образцы решений
;2r
Δ
б) ;
Δ
222
3555
5,,, ∇=∇∇=∇∇=Δ
5
r
rrrrr
=∇∇=∇∇=
∂
0,,,,
в)
=
crcrcrc
+
2
x
vuuvvuuv
,2
6322,,,
=⋅=∇=∇∇=∇∇=Δ rrrr
0,,,,,,
a rot div
a rot rot
2
2
u
u
∂
∂
+
2
2
z
y
∂
∂
;, rc
г)
u
Δ
=
- оператор Лапласа,
,,,,,rot rot ,
rrc
,
.
rrcrcrrrcrrcrrc
,,,,,,,,,
aadivgradaaaaaa
3333
3035),(15,5,5 rrrrrrrrr =⋅+=∇+∇
93
(
)
⎛
rrr
r
r
rrcrrcrcrr
u grad
a
=
a
0
=
=
u grad rota
rot
(
)
a
0=a div
0=a rot div
a
rot
a
b rota=
a
∂
∂
∂
() () ()()
1
() () () ()() ()
∇+∇= r
⎜
⎝
1
,
⎞
rccr
⎟
r
⎠
3
,
,
⎛
⎜
⎝
1
3
r
rrr
r
rrr
rccr
∇+∇=
,,,,,,
r
rrrc
=−++=
,,
rc
,
⎞
⎟
⎠
4
()()
r
rrrrrrrrrrr
rc
,
Виды полей
I. Потенциальное поле, т.е. поле вектора
потенциал.
Необходимое и достаточное условие потенциальности поля
, т.е. поле a - безвихревое.
rrrr
1
⎛
rcr
,,
⎞
∇+∇+
,
⎜
⎝
=
⎟
r
⎠
, u – скалярный
:
Тогда циркуляция
∫∫∫
ls
замкнутому контуру, или криволинейный интеграл
равна нулю по любому
==
Sdarotrda 0,),(
не зависит от
rda ),(
∫
l
формы пути.
II. Соленоидальное поле – поле, во всех точках которого дивергенция
равна нулю.
Соленоидальное поле, т.е. поле вектора
.
Т.к.
соленоидальное (трубчатое).
, то поле вихря
Необходимое и достаточное условие соленоидальности поля
, b - вектор-потенциал поля a.
Поток вектора
соленоидального поля через любое сечение векторной
трубки постоянен.
Ортогональные криволинейные координаты
Если
,, qqq - криволинейные координаты,
321
,, sss - длины дуг
321
координатных линий, то вводятся в рассмотрение следующие функции,
которые называются коэффициентами Ламэ:
H =
1
ds
dq
1
1
;
H =
2
ds
dq
;
H =
3
ds
dq
3
3
2
2
Градиент в криволинейных координатах:
111
u
=
u grad
e
1
∂
q
H
11
u
+
e
2
∂
q
H
22
u
+
rrr
e
3
q
H
∂
33
Дивергенция в криволинейных координатах:
r
1
a div
= )()()(
⎛
∂
⎜
⎜
qHHH
∂
1321
⎝
∂
aHH
+
32
q
∂
13
2
∂
aHH
+
q
∂
3
⎞
⎟
aHH
21
qqq
⎟
321
⎠
:
:
94
Оператор Лапласа в криволинейных координатах:
),,(z
r
ϕ
=
=
=
∂
∂
∂
∂
),,
(
ϕ
θ
r
=
=
θ
=
∂
∂
∂
∂
r
0=r
{
}
r
l
∂
{
}
{
}
{
}
⎛
∂
1
= )()()(
Δ
u
⎜
⎜
∂
qHHH
1321
⎝
В цилиндрических координатах
1
H ; rH
r
u grad
=
=
a div
∂
u
=
Δ
∂
ϕ
u
e
r
∂
∂
()
ra
∂
rr
∂
⎛
r
⎜
rr
∂
⎝
; 1
H
1
+
r
∂
+
r
u
⎞
+
⎟
⎠
z
u
e
ϕ
a
11r
r
∂
ϕ
11
∂
2
rr
∂
В сферических координатах
1
H ; ;rH
r
θ
ϕ
∂
∂
u
HH
32
+
∂
∂
H
qq
211
∂
u
HH
13
+
∂
H
HH
∂
H
qq
∂
322
:
u
rrr
e
+
zr
ϕ
z
∂
a
∂
ϕ
z
+
z
∂
2
2
uu
∂
+
2
2
z
∂
ϕ
sinrH
:
grad
div
∆
u
u
u
=
r
∂
r
∂
=
a
2
∂
∂
⎛
=
⎜
2
∂
rr
⎝
u
e
r
rr
r
e
+
r
∂
2
()
+
ar
r
r
sin
∂
u
⎞
2
+
⎟
∂
rr
⎠
+
11
11
sin
u
rrr
11
r
sin
∂
∂
θθ
∂
∂
e
ϕθ
∂
ϕθθ
()
sin
⎛
sin
⎜
θθ
⎝
+⋅
a
θ
θ
∂
u
⎞
θ
⎟
∂
⎠
+
Примерный вариант коллоквиума
a
1
ϕ
sin
ϕθ
∂
2
1
∂
u
2
222
ϕθθ
∂
r
sin
r
1) Свойства скалярного, векторного и смешанного произведения.
2) Вычислить поток вектора
радиуса R с центром в полюсе
3) Вычислить:
4) Вычислить:
5) Найти
∇
u
для скалярного поля xzxyyxu +−=
∂
2
74
crcrrot
),( .
),)(,(
rbra
.
направлении вектора
),( .
45
),( rcr
),(),( ∇ .
34
rrcrdiv
.
32
rrcrc
),)(,(
Sdbra
6) Вычислить:
7) Вычислить:
8) Вычислить:
Δ
9) Преобразовать:
∫
S
r
a =
через внешнюю поверхность шара
3
.
33
kjil 2+−=
.
в точке (1;1;1) в
.
⎞
u
∂
21
⎟
⎟
q
∂
33
⎠
95
Глава 7. Ряды
qa,
41312
n
!
!3!
2
n
x
+++
+
=
=
∞
=
+++++
=
=
(
)
=−=−=−=
Рядом называется бесконечная последовательность чисел или функций,
соединённых знаком “+”:
Примеры:
1.
(
– числа).
1
2.
3.
1 ++++++
1
x
...
32
21
12
−n
......
+++++
aqaqaqa – бесконечная геометрическая прогрессия
1
...
– гармонический ряд.
n
xxx
...
...
++++++
– степенной ряд (составлен из степеней пе-
∞
=++++
......
uuuu
∑
nn
=
1
n
ременной величины
с некоторыми коэффициентами).
Найдём суммы нескольких членов ряда
uS
11
uuS
+=
212
++=
...
21
...
Если существует
зывается суммой ряда
⎫
⎪
⎪
⎪
uuuS
3213
– частичные суммы ряда.
⎬
⎪
⎪
...
uuuS
+++=
nn
⎪
⎭
lim
n
SS
n
∞→
.
Если этот предел равен
21
u – общий член ряда
n
, то ряд называется сходящимся, а число S на-
или не существует, ряд называется расходя-
......
uuu ;
n
щимся.
Теорема.
Необходимый признак сходимости.
Если ряд сходится, то его общий член
0lim
u
.
∞→nn
u должен стремиться к нулю, т.е.
n
Доказательство.
......
Пусть ряд
значит и
lim
n
n
−∞→1
SS
, откуда
uuuu сходится, тогда существует
321
n
−
n
∞→∞→
n
n
nn
n
n
n
∞→∞→
n
что требовалось доказать.
Следствие.
Если общий член ряда не стремится к нулю, то ряд расходится (так как
если бы он сходился, то его общий член стремился бы к нулю).
lim
n
11
−
SS
, а
n
∞→
0limlimlimlim
SSSSSSu
,
96
1-ый признак сравнения для рядов с положительными членами
>
>
N
≤
Nn≥
∀
>
>
>
1<d
1>d
1=d
(
)
>
1<d
1>d
1=d
>
n
(
)
(
)
);1
[
+∞
0
123
y
Пусть даны 2 ряда
некоторого номера
∞
a
∑
n
=1n
:
ba
nn
(1) и
∑
∞
b
n
=1n
.
(2) ( 0
a , 0
n
b ) и пусть, начиная с
n
Тогда а) если ряд (2) сходится, то и ряд (1) сходится,
б) если ряд (1) расходится, то и ряд (2) расходится.
2-ой признак сравнения для рядов с положительными членами
a
Если существует
n
n
∞→
b
n
или расходятся одновременно. ( 0,0
ll
ba )
nn
)0( lim ∞<<=
, то оба ряда
∑
∞
=1n
∞
a
и
b
сходятся
∑
n
n
=1n
Признак Даламбера
Рассмотрим числовой ряд
a
+∞→1
Пусть
n
d
=
lim
n
a
n
, тогда если
, то ряд сходится,
, то ряд расходится,
, признак не даёт ответа.
Радикальный признак Коши
Рассмотрим числовой ряд
Пусть
n
∞→
n
n
da
=
lim , тогда, если
, то ряд сходится,
, то ряд расходится,
, признак не дает ответа.
Интегральный признак сходимости Коши
Рассмотрим ряд
представить, как
∞
a
∑
n
=1n
nf , где
( 0
a – числа), причём
n
xf – непрерывная убывающая положительная
. Тогда ряд
либо оба расходятся
∞
=++++
......
aaaa
( 0
21
321
∑
n
......
a ).
nn
n
1
=
∞
=+++++
aaaaa
,
0
a .
nn
∑
n
=
n
1
∑
-ый член ряда
+∞
∞
a
и
()
либо оба сходятся,
n
=1n
dxxf
∫
1
a можно
n
a
a
1
2
y=f(x)
a
3
. . .
a
n
n
x
97
∞
2
3nn
312
3
n
n
1
≠
α
1
=
α
1
>
α
n
1
≤
α
1
1
n
n
n
n
n11
n
1
n
1
n
...11111−+−+−
∞→n
=
=−=
=+−
=
=−+−=
1
>
α
{
∞
=
1<α
n
а)
∑
=
lim ≠=
∞→
n
−1
n
−
0
- ряд расходится, т.к. не выполнен необходимый при-
знак сходимости.
Образцы решений
∞
1
б)
∑
n
α
=1
Применим интегральный признак сходимости:
при
при
+∞
ln x
1
dx
=
α
∫
x
1
∞+
, то есть ряд расходится.
∞==
1
+∞
dx
∫
x
1
+∞
1
α
+−
x
+−
1
α
1
=
сходится при
расходится (
Итак,
∞
1
∑
α
=1
n
∞
в)
=
Сравним с рядом
∞
3
− 11
1
3
=
∑∑
=
−
nn
∞
1
. Т.к.
∑
=1
n
б), то по 1-ому признаку сравнения ряд
∞
1
3
тоже расходится (его сумма равна ∞).
∑
=
−1
n
г)
1 способ
. Общий член ряда
сходится при
расходится при
1
>
, а ряд
−
1
n
)1(−−=
a не стремится к 0 при
n
∞
1
расходится (см. пример
∑
=1
n
∞
1
расходится, а значит ряд
∑
=
−1
n
расходится, т.к. не выполнен необходимый признак сходимости
2 способ
:
Рассмотрим частичные суммы ряда
1
S
1
S
2
S
3
S
4
011
1111
01111
…
0
Видим, что сумма четного числа слагаемых
числа
1
S , что означает, что
12=+n
S∞→lim
n
не существует, т.е. ряд расходится.
n
S , а сумма нечетного их
2=n
.
) при
, ряд
98
∞
+
!
n
!2n
+
+
+
+
+
+
!)1()!1(nn
n
+=+
1
1
1
413131212
nnnnn
1
n
2
2
2121212
2
2
2
2121212
+
3
5
n
!
n
n
n
n
5
2
n
д)
∑
n
= ;
a
n
=
1
n
a
=
1
+
n
2)1(
n
)!1(
n
+
3
n
=
)!1(
+
n
Применим признак Даламбера:
a
+
1
n
limlim
=
∞→
n
∞→
n
a
n
!)3(
nn
lim
=
)2()!1(
++
nn
!)3(
nn
!)1)(2(
++
nnn
(здесь использовано соотношение
е) Найти сумму ряда
Преобразуем n-ый член:
1
+
⋅ nn
U
Составим частичную сумму
1
=
S
n
⋅
1
1
=
SS
n
+
n
+
⋅
1(limlim =
∞→∞→
n
⋅
43132121
1
−==
+
43132121
⋅
⋅
1
=
n
S :
...
...
+
)1(
+
n
1
++
+
nn
1
++−+−+−
−
1)
1
...
++
+
11
.
−=
1
+
nnnn
=
)1(
111
−+−
+
Следовательно, ряд сходится и сумма его равна 1.
∞
ж) Найти сумму ряда
∞
1
∑
n
=nn
1
32
1
∑
n
=1
n
1
...
...
+++++=
Это геометрическая прогрессия со знаменателем
10
<=
, значит ряд сходится.
).
...
+
)1(
1
1
−=
+
1
<=q
1
, а сумма бес-
конечно убывающей геометрической прогрессии вычисляется по формуле:
n
−
12
aqaqaqa
a
, при 1<q
=+++++
......
q
−
1
1
∞
∑
1
2
=
=
n
2
=n
1
1
1
−
1
, т.е.
1
432
1
...
1...
=++++++
n
Примеры для самостоятельного решения
Сходятся или расходятся ряды:
1)
5)
∑
∑
∞
12
n
=
n
∞
n
=1
−
1
1
2)
6)
∞
∑
=
n n
∞
n
∑
n n
=
1
2
+1
)1(
−11
3)
7)
n
∞
2
4)
∑
n
=1
∞
n
3
∑
=1
n
99
8)
∑
n
∑
n
n
∞
3
n
=1
∞
!
n
n
=1
∞
n
ln
n
n
ln
n
n
2
81412
()(
)
(
)
∗
∞→n
≥≥≥≥≥
≥
=
(
)
∗
<
2
81412
2
81412
2
9)
1
n 10)
sin
∑
=1
n
Найти суммы рядов:
13)*
14)
+
41
⋅
⋅ nn
1
1 +−++−+−
1
1
Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость.
∞
1
=2
63152
⋅
11)
1
...
++
+
1
n
)1(...
n
∑
n
+
...
+ …
)3(
∑
n
∞
1
2
=2
12)
∑
∞
1
2
3
n
=1
n
Пусть дан ряд
(1)
321
Рассмотрим ряд из абсолютных величин
(2)
321
∞
=+++++
......
uuuuu
(
u – любого знака)
∑
nn
n
=
1
n
∞
=+++++
......
uuuuu
∑
nn
=
1
n
Это ряд с положительными членами и к нему применимы все рассмот-
ренные ранее признаки.
Теорема
Если ряд (2) сходится, то и ряд (1) сходится и называется при этом абсолютно сходящимся.
Если же ряд (1) сходится, но ряд (2) расходится, то ряд (1) называется условно сходящимся.
Рассмотрим теперь знакочередующийся
торого чередуются; его можно записать так:
321
Теорема Лейбница
Если абсолютные величины
нотонно убывают при
0lim
u , то ряд
∞→nn
n
u членов знакочередующегося ряда
n
, т.е.
uuuuu и
1321
+nn
сходится и притом его сумма
ряд, то есть ряд, знаки членов ко-
1
−
=>⋅−+−+−∗
nuuuuu
nn
) ... ,3 ,2 ,1 ,0(...1...
......
Образцы решений
Исследовать на сходимость ряды:
1
1 +⋅−++−+−
а)
Ряд из абсолютных величин
бесконечную геометрическую прогрессию со знаменателем
n
()
1...
1
...
n
1 ++++++
1
1
...
...
представляет собой
n
1
uS
.
1
1
, т.е. схо-
<=q
мо-
дится. Значит, исходный ряд сходится абсолютно
100
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]