Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Сборник заданий по высшей математике с образцами решений (математический анализ). Учебно-методическое пособие
.pdf
Правая часть исходного уравнения x может быть представлена как
(
)
⋅
0
=
α
(
)
(
)
+
=
BAx+
+
=
=
′
=′′
(
)
=++
−
x
x
=
2
4
′−′
′
=
+′−
′
′
0232=+−kk
=
=
⋅
1
=
α
1
=
α
′
′
′
e
12332=+−−+AxAxAAxA
1−=
A
x10
xPe
⋅
, то есть
Значит, частное решение неоднородного уравнения надо искать в виде
(
Подставим
– общий вид многочлена 1ой степени.)
частн.
неодн.
,
xP
– многочлен 1ой степени.
1
x10⋅=⋅
xQey
частн.
неодн.
частн.
неодн.
BAxy
;
частн.
неодн.
или
BAxy
Ay
;
y
частн.
неодн.
230
0
в исходное уравнение:
xBAxA
Это равенство должно выполняться тождественно при всех
эффициенты при
и свободные члены в левой и правой части надо прирав-
нять:
A
1
3
;
Отсюда
Итак,
общ.
неодн.
2)
частн.
неодн.
=A
1
2
2
23
.
=B
3
+= xy
4
1
xx
21
2
x
eyyy =+
Однородное уравнение
⎧
⎨
⎩
3
+++= xececy
4
02312BA
=+−
023
yyy , характеристическое уравнение
имеет корни 2
общ
одн
Правая часть
пени,
значит
частн
.
неодн
..
..
нч
..
нч
Подставив в уравнение, получим
На функцию
Итак
общ
.
неодн
.
k , 1
k
1
2
+=
1..
2
xx
ececy
2
1
xx
)(
xPee
⋅=
0
. Здесь
, )(
xP – многочлен нулевой сте-
0
является простым корнем характеристического уравнения,
x
Axey
⋅=
xx
AxeAey +=
частн
неодн
2
x
, которая всегда больше нуля, можно сократить
x
xey −=
.
..
2
1
,
xeececy −+=
2
, откуда
xxx
.
xxxxx
AxeAeAxeAeAey +=++=
xxxxxx
eAxeAxeAeAxeAe =++−+ 2)(32
.
131
, значит ко-
x
′−′
′
=
+′−
′
′
0442=+−kk
=
=
2
=
α
2
=
α
′
′
′
2
{
}
m
{
}
′+′
′
(
)
∗
∗
(
)
∗
∗
=+′+′
′
(
)
∗
∗
+
=
i
β+α
{
}
3)
Однородное уравнение
имеет двукратный корень 2
2
общ
одн
+=
1..
Правая часть
то
Т.к.
частн
неодн
нч
нч
является двукратным корнем характеристического уравнения,
x
22
.
..
..
..
Подставив в исходное уравнение и сократив на
Итак,
общ
.
неодн
.
частн
неодн
1
=
.
..
2
2
eyyy
544 =+
.
044
yyy , характеристическое уравнение
kk .
xx
2
xececy
.
2
xx
22
)(5
xPee
⋅= . Здесь 5 – многочлен 0-ой степени,
o
Aexy
⋅=
xx
222
eAxAxey
22 +=
4442 +++=
5
x
22
exy
2
5
xxx
222
++=
2
.
exxececy
2
21
xxxx
22222
eAxAxeAxeAey
222
54)22(4482
=++−++ AxAxAxAxAxA , откуда
xe2
, получим
5
=A
.
.
С. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения 2го порядка с
постоянными коэффициентами и с правой частью вида
x
α
mn
xxQxxPe
ββ
sin)(cos)( + (здесь )(xP
и )(xQmмногочлены степеней n и
n
)
Уравнение имеет вид
x
α
mn
sin)(cos)( +=+
xxQxxPeqyypy
ββ
Общее решение уравнения
y – общего решения однородного уравнения 0
общ
одн
y – частного решения уравнения
частн
..неодн
состоит из суммы
qyypy и
.
yyy
частн
.
.
общ
общ
. неодн
одн
неодн
.
.
Находить
Будем искать
а) Если
тогда
y мы уже научились.
общ
одн
y в следующем виде:
частн
..неодн
– не корень характеристического уравнения,
α
частн
неодн
x
.
.
+=
SS
xxTxxRey
ββ
sin)(cos)(
132
здесь )( xRS и )(xTS – многочлены одной и той же степени
),max(nm
s
=
i
β+α
{
}
),max(nm
s
=
=+′−′
′
=+′−′
′
=
=
{
}
0
=
α
1
=
β
i
i
=β+
α
0232=+−kk
{
}
+
=
+−=
′
−−=′′
xxBxAxBxAxBxA
sin)sin
cos(2)cos
sin(3
sin
cos
=+++−−−
−
x
cos
x
sin
10
10
=+′
′
=+′
′
+
=
−==
{
}
0
=
α
2
=
β
неопределенными коэффициентами,
б)
тогда
– корень характеристического уравнения,
x
частн
неодн
α
.
.
+=
SS
xxTxxRxey
ββ
sin)(cos)(
,
Образцы решений
1)
Однородное уравнение
xx
2
eCeCy
+=
общ
одн
1
.
.
)1,2(
2
Правая часть
Здесь
,
kk
21
⋅
0
xyyy sin23
023
yyy имеет общее решение
x
xxex
⋅⋅+⋅⋅=
1sin11cos0sin
.
Число
частн
неодн
.
.
, значит
⋅
0
не является корнем характеристического уравнения
x
xBxAey
⋅+⋅=
1sin1cos
(здесь A и B – многочлены нулевой
степени)
Итак,
нч
..
нч
..
частн
неодн
.
.
cossin
sincos
xBxAy
sincos
xBxAy
xBxAy
Подставив в уравнение, получим
Приравнивая коэффициенты при
и
лучим
3 ;023 cos
==+−−
BAABAx
1
;
;110 ;123 sin
ABBBABx
.
.
в левой и правой части, по-
3
====++−
с
Таким образом,
3
частн
.
неодн
.
10
общ
.
неодн
.
2)
однородное уравнение
.
общ
.
одн
Правая часть
Здесь
1
10
xxy
sin
xx
xyy 2cos34
21
+++=
xCxСy
2sin2cos
, )2,2(
x
⋅
0
xxeCeCy
sin1,0cos3,0
04
yy имеет общее решение
ikik
.
21
xxex
⋅⋅+⋅⋅=
2sin02cos12cos3
.
.
133
cos
+=
2
2
1
,
ii2
=
+
β
α
0
42=+k
{
}
частн
{
}
+
=
+−++=
′
−−++−=′
′
=++−−+−xBxxAxxBxxAxxBxA2sin42
cos42
sin42
cos42
cos42
sin
4 x2cos3=
4
==−
=
+′−
′
′
′
′
′+′
′
′−′
′
′
′
′
=′−′′
+=+′−′′
′−′
′
=
+′−
′
′
=′−′′
′−′
′
′−′
′
′−′
′
′−′
′
неодн
Итак,
..
нч
..
нч
Число
.
.
частн
неодн
, поэтому
x
0
⋅
.
.
является корнем характеристического уравнения
xBxAxey
2sin2cos
+=
(здесь A и B – неизвестные константы).
xBxAxy
2sin2cos
)2cos22sin2(2sin2cos
xBxAxxBxAy
)2sin42cos4(2cos42sin4
xBxAxxBxAy
Подставляя в уравнение, получаем
, откуда
0 ;04 2sin
AAx
3
;34 2cos
==
BBx
Значит частное решение неоднородного уравнения
частн
неодн
3
=
.
.
4
xxy
2sin
и общее решение исходного уравнения
общ
неодн
.
.
21
4
3
2sin2cos
++=
xxxCxCy
2sin
Примеры для самостоятельного решения
12
56.
57.
58.
59.
60.
61.
62.
yyy
2xyy =+
eyy 4=+
43
yy
2
x
eyyy22 =+
x
exyyy )26(65 +=+
x
;
y
=x
xyyy
40=
;
y
30−=
=x
222
Указать вид решения (коэффициенты в частном решении неоднородного
уравнения можно не считать):
63.
64.
′
′′
−
65.
66.
2
yyy
xyy 43
2
23 =+
23 =+
423
eyyy
eyyy
2
x
eyyy =+
2
++=
xxyy
1
x
2
x
2
x
xeyyy
xxyyy
763
+=+
1523
+−=+
)43(2
134
′−′
′
x
′
′
′
′
′
′
=′+′′
=−′
′
=
−′+
′
′
=
+
′
′
=
+′−
′
′
=+′
′
+=+′−′′
=+′−′
′
=+′−′
′
=
+′−
′
′
′−′
′
=+′−′
′
=+′−′
′
′−′
′
′−′
′
=
+
′
′
=+′
′
+=+′′
=
+′−
′
′
′−′
′
′−′
′
=
+′−
′
′
′−′
′
′
=
+
′
′
=+′
′
)32(2 +=+
xeyyy
)1(22+=+
67.
x
eyy =+
x
)1( +=+
xeyy
x
xeyy
Решить следующие дифференциальные уравнения:
68.
69.
70.
71.
72.
73.
74.
xyy cos2
xyy 2sin
xyyy 2sin82
xyy 2cos
xyyy cos2
xyy sin3
1252
xyyy
Указать вид решения (коэффициенты в частном решении неоднородного
уравнения можно не считать):
75.
76.
77.
78.
79.
52
=+
xyy 2cos
xyy 3sin3
x
x
sin2 =+
x
2
x
x
xyyy
xyyy
xyyy sin223
xyyy 2cos523
xxyyy cos323
xeyyy
sin23 =+
xyyy cos32
xxyyy cos2
xeyyy
xeyyy
cos54
xxyy sin2cos
xyyy cos52
xeyyy
sin52 =+
xeyyy
2cos52 =+
2
1252
+=+
Повторение
80.
81.
82.
83.
84.
85.
22
222
+=
2
xxyy 22
+=+
012=++′xyyx
xyy 3sin99
xyy 2cos
dxyxdyx )(2
02)(
=−+ xydydxyx
135
86. 1354
+=+′+
′
′
=
+
′
′
′−′
′
=
+′−
′
′
a
′
=+′−′
′
2)0
(=y
=
′
=′+′′
=−′+′
′
+=+′−′′
xyxdx
+=+′−′′
=+′
x
2
=′−
′
′
87.
88.
89.
′′
y
90.
91.
92.
93.
94.
y
xyy cos5
134
02=−
;
=0
044
yyy ;
xyy 2sin4
xyyy
xyyy
x
eyyy =+
xyyy 2134
xyyy cos52
222
ayx=
;
Примерный вариант контрольной работы
dy +
1)
2)
3)
=
22
4) 32
2
xyy
2 5)
xyy cos
y
00=
=x
; 2)0(
y
xyyy
′
′′
−
eyyy
354 =+
136
Глава 9. Элементы теории вероятностей и
=
n ... 321⋅⋅
! 1 ! 2
! 0 ! 3
математической статистики
Некоторые понятия комбинаторики
Перестановкой
тов, которые отличаются только порядком
ментов обозначается P
Пример
Составить все перестановки из трех элементов a, b, c. Сколько их?
Решение
a b c a c b c a b
b a c b c a c b a
Таких перестановок 6.
Можно доказать, что перестановок из n элементов существует n!, т.е.
!nP
n! =
n
0! = 1 (по определению)
В рассмотренном примере P
Сочетаниями
ния по m элементов, взятые из данных n элементов, которые отличаются только
самими элементами. Количество сочетаний n элементов по m элементов обозначается
Пример
m
C .
n
Рассмотреть все возможные сочетания из 3
Решение
Сочетания из 3
a b c
Таких сочетаний 3. Действительно,
Сочетания из 3
a b a c b c. Их тоже 3 и
Сочетание из 3
a b c и
из n элементов называются такие соединения по n элемен-
. Количество перестановок из n эле-
.
n
=3!=6.
3
из n элементов по m элементов называются такие соедине-
!
! 3
−
=
=
1
)!13(! 1
! 3
1
==C .
=
==C
n
m
CC−=
n
n
х
элементов a, b, c.
)!(!
−
mnm
3
mn
3
m
C
n
0
C
n
х
элементов по 1 элементу:
1
=C
3
х
элементов по 2 элемента:
2
3
х
элементов по 3 элемента одно:
! 3
3
3
137
Понятие испытания и события
События
на 3 вида: достоверные
Событие называется достоверным
купности условий S оно обязательно произойдет
Событие называется невозможным
вокупности условий S оно не может произойти
Событие называется случайным
ности условий S оно может произойти
Осуществление совокупности условий S будем в дальнейшем называть ис-
пытанием.
Примеры
Бросается игральная кость (кубик). При этом выпадает цифра от “1” до “6”.
а) Выпадение цифры “7” — невозможное событие
б) Выпадение одной из цифр от “1” до “6” — достоверное событие
в) Выпадение цифры “3” — случайное событие
Бросание кости – испытание.
События A
они не могут произойти одновременно.
Примеры
1) A
2) A
События A
событий, если никакие 2 из них не могут произойти одновременно и в результате испытания одно и только одно из них (A
исходит.
В случае 2-х несовместимых событий, образующих полную группу, одно
из них называют противоположным
чертой:
Пример
Произведен один выстрел по мишени. В результате возможны 2 исхода:
попадание (A
парно несовместимых событий.
(или явления), наблюдаемые нами в жизни, можно подразделить
, невозможные и случайные.
, если при выполнении некоторой сово-
.
, если при выполнении некоторой со-
.
, если при выполнении некоторой совокуп-
, а может и не произойти.
.
.
и A2 называются несовместными (или несовместимыми), если
1
— появление герба при одном бросании монеты,
1
— появление решки при одном бросании монеты,
A
2
и A2 — несовместные события.
A
1
— попадание в цель при одном выстреле,
1
— промах при одном выстреле,
A
2
и A2 — несовместные события.
A
1
, A2 ... An образуют полную группу попарно несовместимых
1
) (i = 1, 2, ... , n) обязательно про-
i
по отношению к другому и обозначают
; AA AA ==
2112
) и промах (A2). Эти события образуют полную группу по-
1
.
138
Классическое определение вероятности
n
6
6
n
nnn
1)(
0
<
<
A
p
1)(
0
≤
≤
A
p
10
Рассмотрим серию из n одинаковых по своему характеру испытаний. Результат испытания назовем исходом
будем называть благоприятным
Вероятностью
p события А называется отношение числа благоприятных
исходов (m) к общему числу исходов (n), т.е.
m
Ap =)(
— классическое определение вероятности.
. Исход, при котором наступает событие A,
исходом.
Пример
В урне 6 шаров, из них 2 красных, 3 синих, 1 белый. Шары перемешива-
ют. Вынимают наугад 1 шар. Какова вероятность того, что он белый?
Цветной?
Решение
1
;
p p
Свойства вероятности
о
. Вероятность достоверного события равна 1,
1
т.к.
о
. Вероятность невозможного события равна 0,
2
n
p
1==
т.к.
о
. Вероятность случайного события A есть положительное число, заклю-
3
5
==
цветныебелые
.
:
(все исходы благоприятны).
00==np (благоприятных исходов нет).
ченное между 0 и 1, т.к. число благоприятных исходов “m” удовлетворяет неравенству 0 < m < n.
Деля на “n”, получим
m
<<0
или
Таким образом, для любого события А
.
Примеры
1) Набирая номер телефона, абонент забыл одну цифру (не первую) и набрал
её наудачу. Найти вероятность того, что набрана нужная цифра.
Решение
Абонент может набрать любую из 10 цифр (от 0 до 9), т.е. возможных исходов 10. Благоприятным является только 1 исход (нужная цифра). Искомая вероятность
1
=p
.
139
2) Набирая номер телефона, абонент забыл две последних цифры и, помня
10990⋅=
90
12136
n
n
лишь, что они различные, набрал их наудачу. Найти вероятность того, что
набраны нужные цифры.
Решение
Возможных комбинаций 2
х
цифр
, благоприятная — только од-
на.
1
=p
.
3) Брошены 2 игральные кости. Найти вероятность того, что сумма выпавших очков 4.
Решение
1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6
Сумма очков равна 4 в 3х случаях (они заштрихованы в таблице) из 36
возможных.
3
==p
.
Статистическое определение вероятности
Пусть производится большое количество испытаний n. Число появлений
m
интересующего нас события равно m. Если частота
→ ∞ группируется около некоторого постоянного числа p, то
ют статистическим определением вероятности
появления события при n
m
p ≈
называ-
, т.е. вероятность при больших n
приблизительно равна частоте появления события.
Теорема сложения вероятностей
для несовместных событий
Суммой А+В событий А и В называется событие, состоящее в появлении
или события А, или события В, или обоих этих событий.
Пример
Произведено 2 выстрела из орудия.
А — попадание при первом выстреле,
В — попадание при втором выстреле,
А+В — попадание при 1
но попадание при 2
ом
, или 2ом, или обоих выстрелах (т.е. хотя бы од-
х
выстрелах).
140
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]