Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Сборник заданий по высшей математике с образцами решений (математический анализ). Учебно-методическое пособие
.pdf
Глава 5. Кратные и криволинейные интегралы
ax=
bx=
(
)
ϕ
=
(
)
ϕ
=
(
)
α
=
y
β
=
y
(
)
ϕ
=
(
)
ϕ
=
(
)
(
)
Двойной интеграл в декартовых координатах
1. Область 1-го типа ограничена прямыми
,
и кривыми
() ()
∫∫ ∫∫
D
=
2. Область 2-го типа ограничена прямыми
,
yx
2
и кривыми
.
() ()
Геометрический смысл двойного интеграла
xy
и
1
ϕ
x
b
2
,,
ϕ
()
x
a
1
y
ϕ
2
=
∫∫∫∫
()
yD
ϕβα
1
xy
.
2
dyyxfdxdxdyyxf
yx
и
1
dxyxfdydxdyyxf
,,
Площадь области
=DdxdyS
∫∫
Объем цилиндроида
∂
z
⎞
⎛
S
.
пов
+=
1
⎟
⎜
∫∫
∂
D
x
⎠
⎝
=
∫∫
D
2
2
⎞
⎛
z
∂
dxdy
⎟
⎜
+
⎜
y
∂
⎝
⎟
⎠
dxdyyxfV ,
площадь поверхности
71
Образцы решений
(
)
(
)
0=x
0=y, 2
=
+
y
x
0≥x
а) Вычислить
со сторонами
∫∫
D
,
∫∫ ∫∫
D
2
⎛
⎜
∫
⎝
0
, где
()
,
2
()()
2 dxxxx
, yxyxf += , а область D - треугольник
.
x
−
2
2
0
0
1
2
−+−=
3
22
()
+=
2
3
⎞
=
⎟
⎠
dxdyyxf ,
б). Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:
4=y
;
.
Решение
Для правой части фигуры
yx =
;
yx 2=
.
y
2
4
0
y
4
2
∫
0
4
3
в) Изменить порядок интегрирования в интеграле
Решение
2
1 xy −=
- уравнение верхней полуокружности. Выразим x из этого
22
−
x
2
2
⎛
2
dyyxdxdxdyyxf
4
3
2
0
⎜
∫
⎜
0
⎝
2
4
2
x
3
x .
0
43
0
4
0
y
2
y
4
8
3
∫∫
−−1110
3
2
3
−
x
2
y
+=
yxdx
0
3
0
1
()
2
2
xy = ; 24 xy = ;
4
∫∫∫∫
0
2
()
едydyy
==⋅===
3
),(xdyyxfdx
.
⎞
⎟
⎟
⎠
2
4
0
2
=
8
=−−− x
3
=−=⋅==
dyyyxdydxdyS
)2(222
уравнения.
2
1 yx −−= - уравнение левой полуокружности;
2
1 yx −= - уравнение правой полуокружности.
2
111
x
−
∫∫ ∫ ∫
0
−
=
2
1
y
−
1
0
),(),(
dxyxfdydyyxfdx
2
1
y
−−
72
Примеры для самостоятельного решения
D
3=x, 5=x
042
3
=+−
y
x
012
3
=+−
y
x
D
D
x
y
=
xy2
=
1=x
a
a
1
=
+
y
x
=
ϕ
x
y
=
Расставить пределы интегрирования в
∫∫
D
по следующим об-
dxdyyxf ),(
ластям:
- параллелограмм со сторонами
1)
,
.
,
2
xy ≥ , 24 xy −≤
.
- область, определяемая неравенствами
2)
3)
- треугольник со сторонами
,
4) Найти площадь фигуры, заключенной между параболой
b
y =
x
прямой
5) Вычислить объем тела, ограниченного параболоидом вращения
.
22
yxz += , координатами плоскостями и плоскостью
.
Двойной интеграл в полярных координатах
cosryrx
⎧
⎨
=
⎩
∫∫ ∫ ∫
D
sin
ϕ
ϕ
212
=
ϕ
r
)(
ϕ
r
)(
ϕ
1
Образцы решений
.
2
y
2
b
x
= и
rdrrrfddxdyyxf
)sin,cos(),(
ϕϕϕ
,
а) Вычислить
∫∫
D
ограниченной линиями:
по области D,
dxdyyx
)(22+
,
3xy =
,
822=+ yx в 1 четверти.
π
22
3
=
dxdyyx
∫∫
D
)(22+
π
0
4
б) Расставить пределы интегрирования в
ным координатам, если D – круг
π
3
2
∫∫∫
π
4
22
4
r
ϕϕ
drdrrd
4
⎛
16
−==
⎜
⎝
0
∫∫
D
πππ
4
⎞
=
⎟
3
43
⎠
, перейдя к поляр-
dxdyyxf
),(
yyx 422≤+ .
73
Решение
=
ϕ
ϕ
sin
4=r
,
0
π
ϕ
≤
≤
ϕ
sin40
≤
≤
r
(
)
0≥x
0≥y
(
)
(
)
(
)
(
)
⎧
Т.к.
⎨
⎩
имеет вид
cosryrx
=
, то уравнение окружности
ϕ
sin
ϕ
sin42rr =
ϕ
sin4
π
=
D
∫∫∫ ∫
00
Примеры для самостоятельного решения
Расставить пределы интегрирования в
координатам:
6) D – круг
122≤+ yx
7) D – четверть круга
8) D – круг
9)* Вычислить
xyx 222≤+
22
−
xRR
()
++
1ln
∫∫
0
0
Физические приложения двойного интеграла
=
∫∫
D
dxdyyxm ,
ρ
- масса тела
dxdyyxx
,
ρ
∫∫
M
oy
x
c
y
c
=
ox
=
oy
0
0
==
m
M
ox
==
m
ρ
∫∫
D
()
ρ
∫∫
D
,
ρ
()
∫∫
D
JJJ
+=
D
dxdyyx
,
()
ρ
∫∫
D
()
,
ρ
∫∫
D
()
,
ρ
∫∫
D
2
,
dxdyyyxJ
2
,
dxdyxyxJ
()
+=
oyox
- координаты центра масс
dxdyyxy
dxdyyx
- моменты инерции
22
dxdyyxyxJ
122≤+ yx ,
или
22
dyyxdx
, при этом
.
.
ϕϕϕ
)sin,cos(),( rdrrrfddxdyyxf
, перейдя к полярным
∫∫
D
,
.
dxdyyxf ,
.
=
ox
∫∫
D
=
oy
∫∫
D
dxdyyxyM
,
ρ
()
dxdyyxxM
,
ρ
- статические моменты
74
Образцы решений
0=z
0=x
0=y
3=x
6=y
)1(
=
ρ
=
2
2
R
)1(
=
ρ
=
ϕ
а) Вычислить площадь той части поверхности
ся над прямоугольником, лежащим в плоскости
,
,
,
.
xyz 2=
x
′
z
=
y
y
2
++
+
пов
.
3
dx
0
′
()
306
=
dxS
⎛
x
⎜
⎜
2
⎝
3
2
2
32
3
′
()
+
zz
yx
+
xy
2
0
2
+=
y
3
0
x
22
yx
y
11
x
306
⎛
⎜
dxdy
∫∫∫∫
⎜
0
⎝
6
3
⎞
2
2
⎟
⎟
23
x
⎠
0
3
=⋅+= xx .
234
0
2
=++=
y
22
y
x
+=
x
y
22
3
⎛
⎜
32
∫∫
0
xy
⎜
⎝
⋅
3334
3
xyxy
xy
2
⎞
⎟
dy
=
⎟
⎠
⎞
34
⎟
+=
⎟
x
⎠
б) Найти координаты центра масс полукруга радиуса R
−
ydxdy
∫∫
D
y
c
dxdy
∫∫
D
R
−
0
R
2
R
22
xR
ydydx
R
1
−
()
∫∫∫
2
−
R
===
2
ππ
R
в) Найти момент инерции круга радиуса
.
22
dxxR
1
R
относительно касательной
222
)( RRyx =−+
2 RRRyyx =+−+
Ryyx 222=+
xyz 22= , которая находит-
и ограниченным прямыми
y
2
′
z
22
dx
=
=
⎛
⎜
2
⎝
x
+
xy
2
x
c
2
xR
2222
xy
22
yx
362412338
=+=⋅+
0
R
3
x
⎞
−=
⎟
3
⎠
−
R
2
xy
y
===
x
22
4
41
3
R
3
R
=⋅=
πππ
3
y
2
R
.
cosryrx
⎧
⎨
=
⎩
sin
ϕ
75
2
ϕ
sin2
Rrr==
Rr
ϕ
sin2
sin2
452
21436
a
2
xysin
=
4
π
a
h
z
ϕ
2
D
π
2
sin2
0
4
8
R
π
0
4
R
r
2
4
5
ϕ
sin2
0
=⋅⋅⋅⋅=
2
0
2
1
2
0
4
R
ππ
π
2
22
sin2sin
0
442
ϕ
sin2
RR
3
ϕϕϕϕ
==⋅==
drrdrdrrddxdyyI
∫∫∫∫∫∫
0
ππ
2
64
==⋅=⋅=
ϕϕϕϕϕϕϕ
dRdRd
sin8sin16sin
∫∫∫
0
(Здесь использовано соотношение
2
n
xdx
Справедливо также, что
cos
0
2
n
xdx
sin
0
ππ
2
−
n
1
=
cos
∫∫
n
0
ππ
2
−
n
1
n
−
=
n
n
−
2
xdx
2
xdx
sin
∫∫
0
.
.)
Примеры для самостоятельного решения
10) Найти массу квадратной пластинки со стороной
, если плотность мате-
риала пластинки пропорциональна квадрату расстояния от точки пересечения
диагоналей и на углах квадрата равна 1.
11) Найти координаты центра масс фигуры, ограниченной синусоидой
осью
12) Найти момент инерции равнобедренного треугольника с основанием
высотой
и прямой
OX
=x
относительно вершины.
.
и
Тройной интеграл в декартовых координатах
()
yx
,
2
() ()
Ω
=
D
∫∫∫∫∫∫
,
()
yxz
1
dzzyxfdxdydxdydzzyxf
,,,,
,
z
ϕ
()
yx
,
2
()
x
2
() ()
∫∫∫ ∫ ∫ ∫
Ω
b
=
ϕ
ax
1
()
z
()
yx
1
,
,,,,
76
dzzyxfdydxdxdydzzyxf
2
Ω
x
y
=
353211121514
1
y
()
()
y
z
()
z
()
yx
,2
dzzyxfdxdydxdydzzyxf
,,,,
yx
,1
β
() ()
Ω
Объем тела
=ΩdxdydzV
∫∫∫
=
∫∫ ∫∫∫∫
αϕϕ
обозначим через V:
- геометрический смысл тройного интеграла.
Образец решения
С помощью тройного интеграла найти объем тела, ограниченного парабо-
лоидами
22
yxz += и
22
22 yxz += , цилиндром 2xy = и плоскостью
.
Решение
+
22
1
∫∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
Ω
1
x
∫∫
2
0
x
x
1
()
2
0
x
1
⎛
⎜
∫
0
⎝
1
=
0
x
()
22
22
63
43
xx
xx
−+−=
=−+−
yx
x
2
222
+
yx
yxyxdydx
1
⎛
2
yxdxdyyxdx
⎜
∫∫∫
0
⎝
⎞
dx
⎟
⎠
.
22
+
22
22
1
x
0
x
2222
=−−+=
=
xy
3
y
⎞
+=+=
3
1
4
0
=
⎟
2
⎠
=
xy
1
5
0
yx
zdydxdzdydxdxdydzV
22
+
yx
1
7
4
xxxx
21125433
0
====
1
=−+−=
0
Примеры для самостоятельного решения
13) Вычислить
y
ax
∫∫∫
000
xyzdzdydx
.
77
14) Вычислить объем тела, ограниченного цилиндрами
1−=
x
2=x
x
y
=
xy2
=
1=x
(
)
=
ϕ
(
)
ϕ
(
)
ψ
D
(
)
∫∫
∫∫
(
)
ϕ
=
ϕ
(
)
=
ϕ
drdr
ds
⋅⋅=
ϕ
()(
)
(
)
ϕ
22+= yz и плоскостями
и
.
15) Вычислить объем тела, ограниченного параболоидами
22
2yxz += и плоскостями
,
,
.
Замена переменных в двойном и тройном интегралах
vux
Пусть
⎧
⎨
⎩
()
ψ
=
,
,
vu,
,
vu,
vuy
,
. – дифференцируемые функции в
*
.
2
4 yz −= ,
22
yxz += ,
vu, - криволинейные координаты
() ()()
D
=
*
D
ψϕ
), ,,( ,
dvduIvuvufdydxyxf
- формула преобразования при переходе к криволинейным координатам,
ψ
ϕ
∂
∂
u
u
∂
∂
()
где
,
vuI
=
∂
∂
- якобиан (определитель Якоби)
ψ
ϕ
∂
v
v
∂
Частные случаи:
cosryrx
= r
;r :
⎧
⎨
=
⎩
sin
,
ϕ
тогда якобиан
а) Полярные координаты
y
x
∂
∂
r
r
∂
∂
I
=
rrI
,
(по-другому, элементарная площадь
x
∂
∂
ϕϕ
∂
∂
ϕ
=
y
ϕ
sin
cos
ϕ
ϕ
rcos
rsin-
формула преобразования при переходе к полярным координатам примет вид:
∫∫ ∫∫
D
=
*
D
б) Цилиндрические координаты
rdrd rrfdxdyyxf
sin,cos,
ϕϕϕ
zr ;;
:
x
=
rx
ϕ
cos
⎧
⎪
=
ry
ϕ
sin
⎨
⎪
=
⎩
,
zz
∂
∂
∂
ϕ
zrI =
),,(
=
∂
x
∂
∂
z
∂
∂
r
ryr
∂
∂
zyx
∂
∂
∂
∂
zyz
∂
r
ϕϕϕ
∂
z
∂
z
∂
) и
78
Вычислив определитель
(
)
ϕ
dzdrrd
dV
⋅⋅=
ϕ
(
)
ϕ
()(
)
(
)
ϕ
θ
drrdd r
dV
⋅⋅=
θϕθ
sin
θ
sin2rI=
()(
)
0=z
1=z
x
y
=
(
)
ϕ
Ω
, видим, что якобиан
zrI ,,
или рассмотрев элементарный объем
rzrI=,,
и формула преобразования
при переходе к цилиндрическим координатам примет вид:
∫∫∫ ∫∫∫
Ω
=
*
Ω
в) Сферические координаты
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
,sin,cos,, dz d rdr zrrfdxdydzzyxf
cossin
rx
=
ϕθ
sinsin
ry
=
θ
cos
rz
=
ϕϕϕ
;;r :
ϕθ
,
тогда элементарный объем
, якобиан
формула преобразования при переходе к сферическим координатам примет вид:
2
∫∫∫ ∫∫∫
Ω
=
*
Ω
sincos,sinsin,cossin,,
Образцы решений
а) Вычислить
ниченная цилиндром
∫∫∫
Ω
где Ω - область, находящаяся в 1 октанте, огра-
,zdxdydz
222
Ryx =+ и плоскостями
,
,
Решение
б) Вычислить
В цилиндрических координатах
Ω
Т.к. область
π
RR
3
π
010
4
R
−
R
−
- верхняя половина шара, то перейдем к сферическим ко-
π
3
π
4
22
−
xR
−
∫∫∫
22
xR
−
zr ;;
:
π
1
2
3
z
rdrdzdzrdrdzdxdydz
2
0
0
222
yxR
−
22
()
0
dzyxdydx
+
1
d
ϕϕϕ
∫∫∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
π
4
.
R
2
⎛
⎜
⎝
0
ординатам
и
dr d d r r r rfdxdydzzyxf
θϕθθϕθϕθ
3xy =
.
22
RRr
πππ
⎞
.
=
−=⋅⋅===
⎟
4843422
⎠
79
θ
ϕ
θ
cos
cos
sin
r
z
r
x
=
=
=
L
(
)
=
(
)
−
′
(
)
≤
≤
(
)
=
(
)
′
(
)
′
(
)
ρ
(
)
:
ϕθ
sinsin
ry
π
2
π
0200
5
R
=
5
2222
θ
sinryx =+
2
π
π
2
∫∫
020
2
()
−⋅−
()
coscos1
d d
π
2
π
sinsinsin
020
R
θθϕ
5
RR
322
⎛
⎜
⎝
4
==⋅
drrd ddr rrdd
cos
θθϕθθθϕ
θ
∫∫∫∫∫∫
0
35
θ
cos
−−=
⎞
⎟
3
⎠
π
2
=⋅
2
15
0
Примеры для самостоятельного решения
Вычислить, перейдя к цилиндрическим или сферическим координатам:
16)
101
2
−−−ax
dzdydx
17)
∫∫∫
2
0
1
x
−
101
0
22
2
yx
−−
1
x
∫∫∫
0
222
dzzyxdydx
++
Криволинейные интегралы
Криволинейный интеграл 1-го рода
Пусть
прерывная функция). Тогда
линейный интеграл находится по формуле:
- гладкая плоская кривая, заданная явно:
()()
dxxyds21′+=
, а соответствующий криво-
() ()() ()()
∫∫
L
в
a
′
+=
1,,
2
Если L - гладкая плоская кривая, заданная параметрически:
′
tx
и
ty
(
ответствующий криволинейный интеграл находится по формуле:
- непрерывные функции). Тогда
() ()()()()() ()()
∫∫
L
β
=
,,
α
=
′
′
+
xyy
,
dxxyxyxfdsyxf
()() ()()
+
22
tdtytxtytxfdsyxf
4
5
ππ
R
, (
xy не-
bxa
.
txx
⎧
⎨
⎩
22
′
dttytxds
()
tyy
=
, а со-
,
Если
yx,
- линейная плотность кривой, то
80
(не зависит от направления)
mdsyx
=
,
ρ
∫
L
масса кривой L.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]