Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Сборник заданий по высшей математике с образцами решений (математический анализ). Учебно-методическое пособие
.pdf
Частные производные функции трех переменных
),,(zyxfU
=
()(
)
x
x
−
+
∂
Δ
()(
)
−
+
∂
Δ
()(
)
z
z
−
+
∂
Δ
∂
∂
∂
полный
dxx=
Δ
dy
y
=
Δ
∂
∂
+
=
=
y
=
=
′
′
′
′
−
x
=
=
y
=
=
5,0
=
=
dx
x
Δ
5,0
−==
dy
y
Δ
⋅
−
⋅
=
=
40=h
h
Пусть
- функция трех переменных, тогда частные производ-
ные функции находятся по формулам:
U
=
lim
→
Δ
0
x
∂
U
=
lim
→
Δ
0
y
y
∂
zyxfzyxxf
,,,,
′
U
=
Δ
y
Δ
x
zyxfzyyxf
,,,,
′
U
=
y
U
lim
=
→
Δ
0
z
dU
∂
dx
U
+
y
∂
U
=
x
∂
dy
Δ
U
dz
+
z
∂
Применение дифференциала для приближенных вычислений
;
, тогда
Δ
z
dx
dzz
=≈
x
∂
Образец решения
Вычислить приближенно изменение функции
2
x до 5,2
1
Решение
x и
2
от 4
y до 5,3
1
y .
2
z
()()()()
∂
=
x
∂
z
()()()()
∂
=
y
∂
dzz
Δ
При изменении
+−
()
3
xy
−
+−
−
()
3
xy
y
10
=≈
()()
dx
xy
−
3
от 2
10
+
3
−
x до 5,2
1
,
410
5,0
≈z
Δ
234
⋅−
() ()
+⋅
⋅−
3333
−+−
3333
−+−
x
dy
22
xy
x и
2
210
()
22
234
xyyxyxxy
xx
xyyxyxxy
yy
=−⋅
Примеры для самостоятельного решения
23) Вычислить приближенно
02,2
04,1 .
24) В усеченном конусе радиусы оснований равны
высота
3 мм,
R на 4 мм,
см. Как изменится объем конуса, если увеличить
2
на 2 мм?
zyxfzzyxf
,,,,
′
=
U
z
-
z
dy
+
y
∂
yx
=
z
10
=
()
−
=
()
от 4
5,75,0
при изменении x от
xy
33−
y
22
3
xy
−
10
x
22
3
xy
−
y до 5,3
1
R см, 20
,
алдифференци
1
y
2
30
R см,
2
R на
1
61
Производная сложной функции
(
)
=
(
)
ϕ
=
(
)
ψ
=
()(
)
ψ
ϕ
=
∂
∂
(
)
=
(
)
=
∂
∂
(
)
=
(
)
ϕ
=
(
)
ψ
=
∂
∂
∂
∂
∂
t
ex=
tyln
=
dt
∂
∂
dt
t
dt
∂
∂
t
tet
ln
ln
(
)
t
t
ln
xysin
=
x
∂
dx
∂
∂
∂
+
ez=
uvx=
v
u
∂
v
∂
x
∂
∂
u
∂
v
∂, v
u
∂
vuv
∂
yxfz ,
I. Если
II. Если
III. Если
а)
Решение
z =
x
y
),( ttfz
равна
,
,
dz
=
dt
yxfz ,
,
yxfz ,
,
,
Вычисляем частные производные:
z
По формуле (1):
б)
Решение
∂
2
z
=
x
2
По формуле (2):
полная производная
в)
Решение
∂
z
xy
=
ye
,
dz
=
∂
22
yxz += ,
dz
dx
dtdxx
x
2222
yx
+
z
+
=
∂
x
dt
x
=
yx
+
.
xy
,
z
xe
=
y
∂
x
xy
, v
∂
y =
,
=
tx
,
ty
, то производная сложной функции
z
∂
z
⋅
+⋅
dtdxx
xyy
, то
vux ,
z
=
u
∂
∂
∂
∂
z
=
∂
∂
v
(1)
dtdyy
∂
z
dz
+
=
∂
x
dx
,
z
⋅
uxx
∂
∂
z
⋅
∂
vxx
∂
vuy ,
,
z
⋅
+
∂
∂
∂
∂
z
⋅
+
∂
∂
Образцы решений
z
⋅
dtdyy
∂
. Найти
dz
.
z 1
;
=
yx
∂
dx
t
=
e
t
x
e
=
−
=
2
ty
y
z
dz
и
∂
.
. Найти
+⋅
- частная производная.
z
⋅
y
∂
u
. Найти
x
=
, u
∂
dy
dx
x
= x
z
∂
y 1
∂
+
yx
+
z
и
.
∂
y
=
,
∂
dy
z
⋅
(2)
dx
y
uyy
(3)
vyy
x
;
e
− =
−=
2
y
+
z
y
∂
dy 1
2222
yx
,
−=
2
y
=
.
tt
t
2
cos
⋅
=
tte
1ln −
.
2
xxx
cossin
-
22
xx
sin
+
62
z
∂
∂
∂
∂
∂
v
v
v
2uue
∂
∂
∂
∂
∂
e
u2−=
txsin
=
dt
)
arcsin(
yxz
−
=
tx3
=
dt
v
vuy23
−
=
uz∂
∂
vz∂
∂
x
xz∂
∂
dx
(
)
∂
∂
(
)
∂
∂
По формулам (3):
=
z
=
u
∂
∂
u
z
=
⋅
+
⋅
uxx
∂
uveve
uyy
∂
∂
22
1
uu
⋅+⋅
=
z
z
=
v
∂
∂
2
u
=
v
z
=
⋅
+
⋅
vxx
∂
uvee
vyy
∂
∂
22
u
⎛
uu
−⋅+
⎜
v
⎝
Примеры для самостоятельного решения
25)
yx
,
,
3
ty = . Найти
du
.
2
⎞
= 0.
⎟
⎠
1
xyxy
xevye
=
⋅+⋅
2
u
⎞
⎛
xyxy
xeuye
=
−⋅+⋅
⎟
⎜
2
v
⎠
⎝
26)
27)
28)
2
yxz ln
= ,
arctgz =
y
x =
,
,
u
,
2
xy = . Найти
,
29) Показать, что функция
z
z
−
x
y
∂
x
(ϕ - дифференцируемая функция).
0=
∂
y
30) Показать, что функция
11
⋅
∂
z
⋅+
∂
(ϕ - дифференцируемая функция).
=
2
y
yzyxzx
3
4ty = . Найти
. Найти
dz
,
ϕ
dz
.
,
.
.
22
yxz +=
удовлетворяет уравнению
22
yxyz −⋅=
ϕ
удовлетворяет уравнению
Частные производные высших порядков функции двух переменных
2
∂
f
=
2
∂
2
∂
f
=
∂∂
∂
=
∂
f
=
∂∂∂
3
f
∂
...
, если эти функции непре-
2
xy
∂∂
⎞
⎛
∂∂∂
⎟
⎜
,
⎟
⎜
∂
yfyy
⎠
⎝
⎞
⎛
∂∂∂
⎟
⎜
,
⎟
⎜
∂
yfxxy
⎠
⎝
23
⎞
⎛
⎟
⎜
и т.д.
⎟
⎜
∂∂∂∂
yxfxxyx
⎠
⎝
причем
∂
∂
∂
f∂∂∂
=
yx
∂∂
2
∂
f
2
∂
2
∂
f
∂∂
3
f
=
3
xx
22
f
,
xy
∂∂∂
⎞
⎛
=
=
2
∂∂∂
⎛
⎜
∂
x
⎝
∂
,
⎟
⎜
∂
xfxx
⎠
⎝
∂∂∂
⎞
⎛
,
⎟
⎜
∂
xfyyx
⎠
⎝
f
⎞
,
⎟
2
⎠
33
f
∂∂∂
f
∂
=
2
xyx
yx
∂∂
рывны.
63
Образец решения
∂
(
)
x
)
sin(xyz
=
x
z
d
x
∂
∂
x
Найти частные производные второго порядка от функции
Решение
z 1
cos ⋅=
x
∂
2
z
∂
∂
=
∂
∂
2
z
∂
∂
=
∂
∂∂
2
z
∂
∂
=
yy
∂
∂
cos
−=⎟⎟
1
yy
2
y
x
322
sin
cos
⎛
x
x
y
⎟
⎜
−⋅=
,
2
⎟
⎜
y
⎠
⎝
⎞
x
−=⎟⎟
⎠
⎛
1
x
⎜
⎜
yy
⎝
2
xyx
−=⎟⎟
4
y
x
11
sin
22
y
yyy
⎞
x
−+−=⎟⎟
sin
y
⎠
x
sincos
y
∂
,
cos
x
x
cos
z
∂
y
⎛
⎞
1
⎜
⎜
yy
⎝
⎠
⎞
x
⎠
⎞
x
y
⎠
x
yy
⎛
1
⎜
cos
⎜
yxx
⎝
⎛
1
⎜
⎜
yyyx
⎝
⎛
⎜
−
⎜
y
⎝
⎞
Примеры для самостоятельного решения
2
31) Для функции
32) Для функции
33) Дана функция
ln yxz += найти
22
найти
y
arctgz =
. Доказать, что
z∂∂
,
2
2
∂
.
yxz∂∂
Дифференциал второго порядка функции двух переменных
2
z
∂
2
zd
=
2
dx
2
x
∂
z
∂
2 dy
+
dxdy
yx
∂∂
или
⎛
2
dxzd
=
⎜
⎜
∂
⎝
∂
∂
dy
+
x
∂
Образец решения
2
Найти
в точке (2;1) функции 523
z
2
∂
2
∂
z
2
y
2
∂
∂
∂
z
=
∂∂
yx
226
xyxy
++=
,
26
+=
,
z
∂∂
xy
xy
21222+=
∂
2
∂
y
∂
.
x
z sin=
.
y
⎞
⎛
x
=⎟⎟
⎜
−⎟⎟
22
⎜
y
⎠
⎝
2
2
∂
∂
,
2
yxz∂∂
yz∂
2
2
∂
∂
∂
⎞
⎟
⎟
y
⎠
z
z
+
2
2
∂
y
x
22
z
∂
+
2
2
2
y
∂
z
222
+++= xxyyxz
z
y
z
2
6x
=
,
2
x
1
y
+−
y
.
0
=
,
xyx
262+=
x
x
sincos
32
y
y
64
(
)
(
)
z
d
ez=
(
)
−
=
)(x
y
0),
(=yxF
≠
′
dx
(
)
′
)(x
y
′
′
(
)
′
dx
ayxy
=
−
ln
Если
2
zd
2
∂
=
x
∂
()
1;2
2
z
2
dx
2
z
∂
2 dy
+
dxdy
yx
∂∂
∂
+
∂
24528 dydxdydxzd ++=
22
z
2
y
22
2
=
2222
6212226 dyxdxdyxydxy ++++= .
Примеры для самостоятельного решения
Найти
34)
35)
36)
2
для функций
yxz2sin= .
xy
.
xxyz
ln в точке (1;2).
Дифференцирование неявно заданной функции одной переменной
Функция
yxF
y
задана неявно, если она задана соотношением
0),(
, то производная
dy
вычисляется по формуле:
yxF
dy
dx
x
−=
′
()
y
,
yxF
,
Образец решения
Функция
Найдем
y
dy
−=
dx
dy
−=
dx
2
задана уравнением 0
xy
22
yeeF
2−=
x
xy
exeF222 −=
- частная производная по переменной у,
yxF
,
x
′
()
yxF
,
y
2
−
xee
x
−
xe
y
- частная производная по переменной х,
xy
22
yee
2
−
−=
2
22
yy
=
22
yy
e
, но поскольку из условия
xy
22
exe
−
)12(
−
xy
)12(
−
yx
22
=−xyyexe ;
yexeyxF22),( −= .
xy
yexe22= , то
Примеры для самостоятельного решения
dy
Найти
для следующих неявно заданных функций:
.
xy
37)
38)
39)
0222=++ axyyx
0=+yxeye
65
Дифференцирование неявно заданных функций двух переменных
),(yxfz
=
0),,(=zyx
F
≠
′
x
∂
∂
′
∂
′
z
x
∂
∂
=
′
=
′
′
′
∂
′
x
∂
∂
x
∂
∂
czbya
),(yxfz
=
(
)
(
)
<
⇒
(
)
>
⇒
(
)
′
′
′
=
′
′
=
′
′
=
(
)
Функция
. Если 0
задана неявно, если она задана соотношением
′
,
z
и
∂
z
∂
y
∂
вычисляются по формулам:
yz∂
F
y
−=
′
F
z
F , то производные
z
F
z
x
−=
∂
F
x
z
Образец решения
Функция
Решение
∂
∂
∂
задана уравнением
3 axyzz =+ . Найти
33
3),,( axyzzzyxF −+=
yzFx3
,
F
z
−=
F
x
F
z
−=
F
y
3
x
−=
′
z
y
−=
′
z
33
xzFy3
, xyzF
z
yz
xyz
+
33
xz
3
xyz
+
33
332+=
yz
−=
−=
22
xyz
+
xz
22
xyz
+
z
и
∂
.
yz∂
Примеры для самостоятельного решения
40) Найти
41) Найти
z
и
∂
∂
, если 0=− xyze
yz∂
z
и
, если 1
yz∂
z
2
x
2
.
2
2
=++
2
2
Экстремум функции двух переменных
Функция
для любой точки
имеет в точке
, yxM максимум (минимум), если
000
yxM , из окрестности точки 0M выполняется условие:
),(),(
yxfyxf
00
),(),(
yxfyxf
00
, yxM точка максимума;
000
, yxM точка минимума.
000
Точки максимума и минимума называются точками экстремума функции.
=
0),(
yxf
⎧
⎨
⎩
Обозначим
1) Если
00
x
′
y
xx
A
Δ
B
- необходимое условие экстремума функции.
=
0),(
yxf
00
),(00yxfA
,
B
C
),(00yxfB
xy
,
yy
,A BAC
0,02<>−==
то
, yxM точка максимума;
000
),(00yxfC
.
66
B
(
)
′
04=−x
x
(
)
0=x
1=x
(
)
(
)
=′′
−=′
′
=′′
(
)
=
′
′
=
−=′′=
=′′
=
−
(
)
(
)
=′′
=
−=′′=
=′′
=
−
,6A 0
>
=
(
)
(
)
−=−+=
(
)
2) Если
3) Если
4) Если
A
Δ
C
B
B
A
,0<=
Δ
B
A
Δ
B
то экстремума нет.
C
B
,0==
то требуется дополнительное исследование.
C
Образец решения
Исследовать на экстремум функцию
Решение
По необходимому условию экстремума:
=
0
z
⎧
x
или
⎨
′
=
0
z
y
⎩
Подставляя
2
yx
⎧
⎨
2
⎩
xy = во второе уравнение, получим:
033
или
xy
=−=−033
2
,
013=−xx ,
или
В точках
Вычислим:
.
0;0
M и
0
1;11M - возможен экстремум.
xzxx6
,
z
xy
,A BAC
0,02>>−==
то
, yxM точка минимума;
000
xyyxz 333−+= .
2
yx
⎧
.
⎨
2
==xy
⎩
3
,
yzyy6
.
а) В точке
Δ
б) В точке
Δ
z
min
0;00M
zA ,
xx
A
B
0)0,0(
B
0
==
−
C
1;11M
zA ,
A
B
6)1;1(
xx
B
6
==
−
C
zB
xy
<−=
033
zB
xy
633
3)0,0(
,
zC
yy
,
09
значит экстремума в точке
3)1;1(
,
zC
yy
,
0936
>−=
6)1;1(
значит
0)0,0(
.
.
0;00M нет.
1;11M точка минимума и
13111;1
Примеры для самостоятельного решения
Найти точки экстремума функций и исследовать их:
42)
4 yxyxz −−−=
43)
22
122+−+++= yxyxyxz
44)* Найти прямоугольный параллелепипед данного объема V, имеющий
наименьшую поверхность.
67
Касательная плоскость и нормаль к поверхности
(
)
()()()()()(
)
=
−′+
−′+
−
′
(
)
−
−
−
(
)
(
)
=
()()()(
)
−=−′+−′
(
)
−
−
−
(
)
(
)
′
(
)
=−′
′
(
)
=
−
′
′
(
)
=−′
()()(
)
=++−+
−
0185
11
=−+
+
zyx
511121
+=−=−
04ln
2
=+−
+
zyx
(2,-3,1)
Для поверхности, заданной неявно:
zyx
0,,=zyxF
0
zzMFyyMFxxMF
- уравнение касательной
000000
плоскости в точке
,, zyxM .
0000
xx
0
′
() () ()
MF
0
yy
0
=
′
MF
0
Для поверхности
xx
0
′
Mf
() ()
0
yy
0
=
′
Mf
0
yx
zz
0
=
yx
=
- уравнение нормали в точке
′
MF
0
zyx
yxfz ,
zzyyMfxxMf
- уравнение касательной плоскости в
00000
точке
zz
0
- уравнение нормали в точке
1
−
,, zyxM .
0000
,, zyxM .
,, zyxM .
0000
Образец решения
Написать уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности
333
Решение
2
+=
3
x
2
3
y
2
+=
3
z
06
=−+++ xyzzyx в точке (1;2;-1).
333
yzxF
xzyF
+=
xyzF
6,,
−+++= xyzzyxzyxF
F
x
F
y
F
z
11;2;1
111;2;1
51;2;1
Уравнение касательной плоскости в точке (1;2;-1):
0152111
zyx или
0000
.
Уравнение нормали в точке (1;2;-1):
1
zyx
Примеры для самостоятельного решения
Написать уравнения касательных плоскостей и нормалей к поверхностям
46)
47)
48) Показать, что поверхности
22
xyyxz −+=
в точке (3;4;-7).
3234
014443
=+−+− xzxyzzyx в точке (1;1;1).
2
и 058
=++−− zxxyx
касаются друг друга (то есть имеют общую касательную плоскость) в точке
.
68
Для
(
)
=
r
r
∂
∂
(
)
∂
∂
∂
(
)
(
)
r
(
)
=
r
r
r
∂
∂
∂
(
)
∂
∂
∂
∂
(
)
(
)
r
l
r
∂
∂
r
u grad
(
)
lu∂
∂
(
)
l
r
x
z grad
(
)
x
x
∂
r
r
Градиент, производная по направлению
yxfz ,
- дифференцируемой функции:
z
z
i
z grad
=
x
∂
- градиент функции
j
+
∂
y
yxz , ,
z
z
=
x
l
∂
∂
z
- производная функции
αα
sincos
+
y
∂
в направлении вектора
Для
u
∂
=
l
∂
zyxfu ,,
- дифференцируемой функции:
u
u
u
u grad
=
x
∂
u
+
x
∂
j
i
+
y
∂
u
+
y
- градиент функции
k
+
∂
z
u
- производная функции
γβα
coscoscos
z
∂
в направлении вектора
Используя определение скалярного произведения, последнюю формулу
можно записать в виде:
- вектор, в направлении которого функция
u
(=
)lu, grad
, где
1=l
.
zyxu ,, меняется с
наибольшей скоростью.
- скорость изменения функции
∂
максимальна в направлении градиента и равна модулю градиента:
lu∂
M
u
∂
l
∂
zyxu ,, в направлении вектора
u grad
=
u grad
Образцы решений
arctgz =
1
2
y
+
1
2
z grad
;
()
yx
00
y
. Найти
y
⎛
−⋅
⎜
x
⎝
−=
2
0
в точке
⎞
⎟
⎠
y
+
y
−=
0
i
2
yx
0
,
222
yx
+
x
0
+
2
2
+
yx
0
0
, yx .
00
z
=
y
∂
j
.
1
1
=⋅
2
y
+
1
2
+
yxxx
а)
∂
z
∂
=
x
22
yxz ,
zyxu ,, ,
,
αα
sin,cosl
zyxu ,,
γβα
cos,cos,cosl
.
.
69
б) Найти производную функции 133
(
)
(
)
x
∂
∂
∂
r
r
()(
)
l
r
∂
∂
5
5
(
)
=
rrr
∂
∂
∂
l
r
∂
∂
r
z grad
(
)
(
)
=
(
)
223
++−= xyyxxz в точке
1;3M , в
направлении, идущем от этой точки к точке
z
z
y
∂
()
1;3
+−=
,
xyx
632+−=
−=
22
363 yxyx
,
,
jiz grad
912
4;315;36 =−−=MP
, ji
r
l
∂∂x
∂∂y
z
z
=
()
1;3
()
1;3
MP
MP
u
(=
)lu, grad
12 =⋅−⋅=
4
3
0
9
, то есть в этом направлении функция не
меняется.
в) Доказать, что производная функции
ента равна модулю градиента.
u
u grad
=
x
∂
u
(=
⎛
∂
u
⎜
=
⎜
∂
l
⎝
j
i
+
y
∂
)lu, grad
,
l =
u grad
u, grad
u grad
k
+
∂
z
u grad
u grad
⎞
⎟
⎟
⎠
2
u grad
==
u grad
u
u
Примеры для самостоятельного решения
12
−=
5;6P .
.
9
.
rr
4
3
+==
,
5
5
zyxfu ,,
в направлении гради-
u grad
.
49) Найти
в точке
1;2 от функции
4 yxz ++= .
50) Найти точки, в которых модуль градиента функции
вен 2.
xyarctgz
51) Найти производную функции
в точке
лении биссектрисы 1-го координатного угла.
70
22
3
22
()
2
yxz +=
ра-
1;1M , в направ-
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]