Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Сборник заданий по высшей математике с образцами решений (математический анализ). Учебно-методическое пособие
.pdf
Глава 2. Дифференциальное исчисление функции
(
)
=
(
)
Δ
x
Δ
0→Δ
x
x
Δ
()(
)
x
−Δ+
0
=′c
constc=
(
)
′
v
u′±
′
(
)
′
vuvu′+′
′
v
′−′
0≠v
(
)
=
(
)
ϕ
=
()()(
)
′
()()(
)
ϕ
ϕ
′⋅′
(
)
′
(
)
′
x
(
)
′
a
x
ln
x
ch
(
)
′
x
sh
(
)
′
x
cos
x
sin
1
x
(
)
′
1
x
(
)
′
одной переменной и его применения
Производной функции
приращения функции
Для сложной функции
Основные правила вычисления производных
Производная функции
xf
к приращению аргумента
′
()
xf
=
lim =
x
→Δ 0
± vu
uv
u
⎞
⎛
⎟
⎜
v
⎠
⎝
ϕ
Таблица основных производных
αα
=
α
xx
′
()
x1ln =
xfy
в точке x называется предел отношения
f
lim
x
→Δ 0
Δ
(
=
=
=
2
ufy
,
xf
=
1 −
Δ
)
vuvu
(
xu
при
xfxxf
)
xxf
x chx sh =
x shx ch =
.
()
log =
x
a
′
()
tg =
x
′
()
ctg −=
x
xx
ee =
1
xx
ln=
xx cossin =
xx sincos −=
2
1
2
aaa
21
()
()
()
arcsinxx−=
()
arccosxx−−=
()
arctg
()
arcctg
1
′
1
′
=
x th
x cth
′
′
x+=
x+−=
2
1
−=
2
1
′
′
′
2
1
1
2
1
1
2
1
2
Дифференциалы первого порядка
(
)
=
dxx=
Δ
x
(
)
(
)
′
()(
)
′
=
′
=
(
)
x
Δ
()(
)
x
x
x
0→Δ
x
(
)
x
x
(
)
′
x
2
−=x
(
)
(
)
()()(
)
′
′
(
)
(
)
xy5
cos
ln
=
Дифференциалом первого порядка функции
часть ее приращения, линейная относительно приращения
переменной
Дифференциал функции
функции
.
равен произведению производной этой
xf
xf
на дифференциал независимой переменной dx:
dxxfxdf
или
dxydy
Образцы решений
1) Найти производную, пользуясь только определением:
2
Приращение функции
Составим отношение
его предел при
Итак,
xx 22=
y
Δ
=
Δ
Δ
y
:
=
Δ
2
xxxy −Δ+=Δ
, приращение аргумента
2
−Δ+
Δ
2
limlim
00
22
xxx
Δ
2
=
Δ+Δ
xxx
Δ
2
xxx
0
→Δ→Δ→Δ
2) Найти производные, пользуясь таблицей производных
3
а)
б)
xy ;
5
x
y
+
в)
1
1
2
y
;
52−= xxy ;
′
2
−
3
−=−= xx
()()()()
=
−+
′
=
2
−
1
3
′
′
x
()
2
3
xxy +=+=
xxxx
+
2
−+−
−
3
3
′
+−−
2552
3
2
x
x
=
() ()
+
2
1
3
3) Найти дифференциалы функций
a)
=
10
2
2+= xy
;
9
′
()() ()
⎜
⎝
2
⎛
⎞
′
+⋅+=
⎟
⎠
9
22
б)
′
dxydy 5tg555sin
=
;
1
⎛
=
() ()
⎜
x
5cos
⎝
⎞
′
dxx
5cos
⎟
⎠
1
⎛
⎜
x
5cos
⎝
⎞
⋅−⋅=
⎟
⎠
xfy
называется главная
независимой
2
xy = .
.
2
2
xxxxx
−Δ+Δ+
и найдем
()
xxx
22lim
=Δ+=
.
xx
+−+
2
−=
7
52
=
2
()
xdxdxx
222
xx
2
+
2222
xxxxxxxxxy 1035255
−=+−=
9
dxxxdxxxdxxxdxydy
22022102210 +=⋅+=
22
Примеры для самостоятельного решения
x
xysin
=
xycos
=
(
)
(
)
()(
)
(
)
(
)
−
′
(
)
−
′
1
+
x
1
x
3
v
ϕ
xxy
ctg
tg
+
=
(
)
x
x
sin
xxy
ln
=
1
ln
x
xxy
arcsin
arccos
+
=
xy2
sin
=
(
)
−
=
(
)
tgx
1
x
x
(
)
=
x
arccos
(
)
−
=
2
x
x
3
sin
−
xax
axa
1) Найти производные, используя определение:
а)
б)
y1= в)
г)
xy =
Найти производные, используя таблицу производных:
2)
5)
2
+−= xxy 3)
2
−
5,2
3
ty +=
5
t
8)
1
x
y
=
10)
14)
y
y arcsin
17)
20)
23) xey
26)
29)
y
y
32)
35)
38)
41)
11)
−
x
15)
1+=x
1
= 18)
21)
x
arccos= 24)
26
21 xy +=
+
x
=
=
=
=
30)
11−
x
arcsin
1
x
−
x
2
ey
3
34 −= xy
2
xey−
42)
153
6)
112−+= vvy
9)
x
y
=
2
x
27) xy
x
33)
+
36)
39)
33
2+= xy
4) 2
2
5,0−= xy
7)
2
u−−=
12)
+
15ttt
Найти
3
2
vv
=
u
−
16)
x
e
y
= 19) xxy arctg
x
y
=
22)
+
25)
2
cos= 28)
ey =
31) xey
y1tg=
y
34)
x
arcsin
=
37)
12cosln
xy 40)
xy arctg=
43)
+−
1
13)
1 xy +=
=
cos
⎛
u
⎜
⎝
2+=xy
3
y
y =
1
1−u ;
2
v
v
−=1
x
2
1
arcsin
x
tgln
+−=xxy
u ;
ρ
30
bxay
m
⎞
⎟
⎠
5cos=
xy sinsin
x
⎛
⎜
2
⎝
13+−= xxxy
1
=
+=
u
1
−
2
⎞
⎟
x
⎠
2
2
ϕ
44)
=
45)
xey3cos
Найти дифференциалы функций:
−
a
eey
+=
47)
48)
x
xey2=
46)
2
4
1 xy −=
49)
23
y
y ctgtg +=
e
=
x
50)
(
)
a
2
(
)
=
ϕ
(
)
ψ
′
(
)
ϕ
≠
′
t
t
t
′
dx
′
(
)
t
tttsin
cos
−
−
=
=
+
=
=
(
)
−
=
ϕ
ϕ
(
)
(
)
x
v
(
)
(
)
()(
)
=
′
53)
56)
4
51 xy −=
51)
y arcsin=
xy3sin= 54)
12−= xxy
57) xxy
x
52)
xy sin=
55) xxxy 3tg3tg
44
cossin += 58)
Производная параметрически заданной функции
tx
⎧
⎨
⎩
=
ψ
()
ty
dy
dx
t
=
′
()
t
ϕ
Образец решения
⎧==
⎨
⎩
t
t
sin
cos
tex
tey
t
′
tetex
cossin
+=
−=
tt
tetey
sincos
dy
y
=
x
Примеры для самостоятельного решения
Найти производные функций, заданных параметрически:
59)
tx
⎧
⎨
⎩
60)
2356ty
−=
cos4
⎧
⎨
=
⎩
61)
tytxsin5
62)
cos
⎧
⎨
=
⎩
63)
tby
sin
⎧
⎨
⎩
sin
ax
()
ϕ
cos1
ay
−=
tax
Логарифмическое дифференцирование
xuy =
Для функции вида
нет табличных производных. Существует
два способа дифференцирования таких функций.
1 способ
xv
xuy =
. Прологарифмируем это равенство:
Теперь дифференцируем по х:
1
′
, откуда
uuvuvy
+
ln
⎛
′
′
=
⎛
v
′
=
⎜
⎝
+
ln
⎜
⎝
v
′
+
uvuy
ln
u
v
uy = ,
1
y
′=′
⋅
2 способ
uvv
euyln== , откуда
uvlnln
′
()
⋅=
⎛
v
uvey
=
⎜
⎝
xy 4cos=
3
sin
ts −=
t
t
t
=
t
′
()
t
⎧
⎨
⎩
+−=
t
)0(
)(
βα
≤≤
t
tte
sincos+−
=
tte
cossin
tx
cos34
sin35
+−=
xuxvy lnln
.
1
⎞
′
uuvuvyy
или, учитывая условие
⎟
⎠
⎞
′
u
⎟
⎠
v
⎞
′
+′u
uvu
ln
⎟
u
⎠
sincos
+
ty
24
Образцы решений
xxylnln
=
′
(
)
′
(
)
3
2
(
)
(
)
()(
)
(
)
=
(
)
()(
)
−
⋅′=
−
xyln
=
=
xyln
=
=
===
x
1
−⋅′=−
)1(10
−⋅=
−
x
y, 1
−
=
x
y
exy
==
ln
′
() ( )
=
xy =
x
а)
1 способ
x
xxy
=
3
()
1ln1+=′xy
3
x
б)
y
y
2 способ
1ln +=
++
xx
2
321−
Здесь целесообразно применить 1 способ:
() () ()
1
1ln3ln −−+++= xxxy
2
2ln
3ln
xxx
ln
xxx
1lnln
+=
xxxxey
31
′
y
y
′
=
y
+
=
+
3
3
−
x
()
()()
+
⎛
++
21
xx
⎜
2
⎝
3
2
−
2211
3
+
33
−
xxx
2
+
−
+
2211
()()
−
33
xxx
⎞
⎟
⎠
Примеры для самостоятельного решения
Найти производные функций:
64)
67)
=
y
xxycos
sin=
65)
75
31
−+
xx
6
−
x
68)
2
x
()
xy
1+= 66)
x
xy1=
Касательная и нормаль к кривой
Уравнение касательной к кривой
xxxfyy
, а уравнение нормали
000
xfy
в точке
Образец решения
Составить уравнения касательной и нормали к кривой
1
x и начертить кривую, касательную и нормаль.
0
Решение.
xyy .
′
xy1)( =
; 1
x
0
00
;
01ln)(
1
)(
1
==′xy
0
.
Уравнение касательной:
)()(
xxxyyy
,
000
.
2
x
3
=
, yx имеет вид
00
yy −⋅
1
−=−
0
′
xf
()
0
xexy
2sin
()
xx
.
0
в точке
25
Уравнение нормали:
)1(10
−⋅−=−
x
y
1
+−=
x
y
ox
0>x
3
1−=
x
xysin
=
π
=
x
(
)
′
(
)
′
(
)
′
t
′′′
t
t
−
−
′
ttttt
−−−−−
′
′
ttttt
−−−−−
′′′
x
′
′
′′′
n
x
nn...321! ⋅⋅=
−′′
−′′
′
2
?
−
′
′
S
yy −⋅
1
−=−
0
′
xy
0
)(
)(
xx
,
0
,
.
Примеры для самостоятельного решения
69) Написать уравнение касательной и нормали к параболе
точке пересечения её с осью
(при
) и построить параболу, касательную
и нормаль.
70) Написать уравнения касательных к кривым:
а)
y =
3
x
в точке
,
2
4 xy −= в
б)
в точке
Производные высших порядков
′
;
=′′yy
′′′
=
yy
′′
;...
1)
Решение
tey−= . Найти y
.
Находим сначала
32
y1= . Найти
2)
Решение
1−
= xy , 2−−=′xy , 32−=
)( n
y
.
Подмечая закономерность, находим
−
)1()(
+−
n
n
n
! )1(
=−=
xny
Примеры для самостоятельного решения
232+−= xxy , ?
71)
72)
73)
)( attS =
1
y .
22
)1( −= xy , ?
y .
3
,
.
.
() ( )
=
Образцы решения
teey
−=
, отсюда
teeteeey
−=−+=
xy ,
n
1
+
n
! )1(
, где
)( n
y :
⋅−=
−1nn
yy
432−
xy ,
IV
432−⋅⋅= xy
(читается n – факториал).
+−=+−−=
2 ;
5
, . . .
teeteeey
26
x
y =
−
′′′
−
′
′
ttSωcos32)(
+
=
′
′
tgx
y
=
′′′
tty
ln
=
x
x
xyln
=
n
ax→
∞→x
)(x
f
)(x
g
∞
′
x
+∞→x
−∞→x
x
+
0→x
0>x
ax=
∞
=
b
y
=
bkxy
+
=
x
−
=
a
4
xey =
, ?
y .
2
x
, ?)1(
y .
y
: а) xy
y
: а)
)( n
y : а)
π
⎛
⎞
′′
, ?
−
S
⎜
⎟
ω
2
⎝
⎠
2
sin= , б)
, б)
a
ey =
, б)
.
t
tey2=
.
ey−= , в)
, в)
1 xy +=
, г)
2
.
xy = .
74)
75)
76)
77) Найти
78) Найти
79) Найти
Правило Лопиталя
Если при
стремятся к 0 или
или
обе функции
и
, а предел отношения их производных есть конечное число,
то
lim
→
x
)(
xf
lim
ax
∞→
=
→
)(
xg
x
)(
xf
ax
∞→
— правило Лопиталя
′
)(
xg
)()(
Образец решения
0
===
2
xe
2
−xx
x
2
x
e
1
limlimlim
∞→∞→∞→
xxx
xe
2
x
e
lim (рассмотреть отдельно случаи, когда
80)
x ±∞→
lim
81)
+∞→
3
lim . 84) xex
83)
x−±∞→
Примеры для самостоятельного решения
xxln
. 82) xx
x
ex
lnlim
x
0+→
2
lim .
x−±∞→
(
означает, что
→ 0x
и
Исследование функций и построение графиков
Функция может иметь вертикальную асимптоту
)(lim
xf
ax
→
→
→
птоту
x
+
)(
axили
−
)(
axили
, если существуют конечные числа
))((lim kxxfb
), горизонтальную
∞→
.
(если
x=∞→
bxf
)(lim
Горизонтальная асимптота — частный случай наклонной при к = 0.
одновременно
.
и
).
(если
) и наклонную асим-
xf
lim
x
)(
∞→
k
= и
27
′
′
′
x
1
1−≠
x
1−→
x
∞
→
y
1−=
x
),(
∞
−∞
1
x
0=x
xxx
1
1
=
′
0=x
2−=
x
1−=
x
0
min
max
y
−=−
=
>′′
1−>
x
<
′
′
1−<
x
x
y
y
Исследование функции производится по схеме:
1) Область определения.
2) Область значений функции.
3) Нули функции.
4) Четность (нечетность).
5) Периодичность (если надо).
)(xy
6) Вычисление
и с ее помощью нахождение промежутков воз-
растания (убывания) функции, точек экстремума.
y
7) Вычисление
функции и с ее помощью выяснение выпуклости
вверх (вниз), нахождение точек перегиба.
8) Нахождение асимптот графика.
Образец решения
y+=
2
x
.
1) Область определения
ная асимптота.
2) Область значений
2
x
3) Нули функции:
=
+
4) Четность (нечетность):
ной, ни нечетной.
′
5)
=
y
0
y при
y , 0)0(
max
′′
6)
y
=
0
y при
0
y при
2)1(
)1(
+
x
4)2(
2
−+
xxx
=
2
и
-2
y .
min
+
,
.
x
. При
.
0
при
22
+
.
−
x
)(
=−
xy
)(
−+
xxx
2
)1(
x
=
−
22
2
+
xx
=
)1(
+
x
. y′ не существует при
-1
22
4
)1(
)1(2)2()22()1(
xxxxx
++−++
=
−
2
, значит
22
– вертикаль-
– функция не является ни чет-
)2(
+
xx
=
.
22
)1(
+
x
.
x
y
22
24242
−−++
)1(
+
2
xxxx
=
xx
+
.
33
)1(
28
7) Ищем наклонную асимптоту:
1
−
=
x
y
0
y
y = x - 1
1
x
2
x
x
x
4
x
2
x
2
x
⎛
=−=
kxxfb
lim))((lim
⎜
+
x
1
⎝
Итак,
— наклонная асимптота.
Строим график:
2
lim
xx
x
∞→∞→
1
−=
.
,
1
=
)1(
+
xx
x
xf
lim
=
-1
lim
xxx
)(
==
x
x
−
∞→∞→∞→
x
1
+
1
-1
-4
k
⎞
−
x
⎟
⎠
-2
Примеры для самостоятельного решения
Исследовать функции и построить их графики:
x
85)
87)
89)
91)
93)
xey−= . 86)
x
y
y
y += . 92)
y
. 88)
=
−
1
. 90)
)3)(2(
−−=xx
2
41x
3
x
=
. 94)
2
−
y+=
y
=
xy += .
xey−=
x
29
2
x
x
x
exy2= .
2
+
.
2
1
2
2
.
.
Задачи на наибольшее и наименьшее значение
4
4
a
2
232a
=
′
Va43=
(
)
2
2
2
2
=
−
k
3
2
Образцы решений
а) Объем правильной треугольной призмы равен V. Какой должна быть
сторона основания, чтобы полная поверхность призмы была наименьшей.
полн
2
a
3
HSV
осн
2
a
32
aH
3
+= =
34
Va
−=
, 0
S при
2
2
4
полн
H
⋅=⋅=
, откуда
2
4
32
V
3
aa+
=
2
3
a
или
H =
3
+
3
4Va = .
4
V
2
3
a
Va 34
m падает под дейст-
0
Решение
По условию
S
′
S
полн
б) Дождевая капля, начальная масса которой равна
вием силы тяжести, равномерно испаряясь, так что убыль массы пропорциональна времени (коэффициент пропорциональности k). Через сколько секунд
после начала падения кинетическая энергия капли будет наибольшей.
2
mv
кинетич
1
′
()
032
ktm ,
0
−
0
==
22
()
0
m
2
= .
t
22
tgktm
,
2
g
2
−+−=
0
tgktmtkgW 2
=
()()
0
02
=−+− ktmktt
Решение
W
Примеры для самостоятельного решения
95) Открытый чан имеет форму цилиндра. При данном объеме V каковы
должны быть радиус основания и высота цилиндра, чтобы его поверхность бы-
ла наименьшей?
96) Найти соотношение между радиусом R и высотой H цилиндра, имею-
щего при данном объеме наименьшую полную поверхность.
97) Найти высоту цилиндра наибольшего объема, который можно вписать
радиуса R.
в шар
98) Доказать, что конический шатер данной вместимости требует наи-
меньшего количества материи, когда его высота в
больше радиуса основа-
ния.
30
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]