Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Сборник заданий по высшей математике с образцами решений (математический анализ). Учебно-методическое пособие
.pdf
Образец решения
(
)
−
π
(
)
π
2
π
2
(
)
(
)
(
)
π
π
−
(
)
2
2
(
)
π
π
−
∈
(
)
⎧
xf
()
Разложить в ряд Фурье функцию
Функция
xf определена на отрезке длины
=
⎨
⎩
()
π
,0,1
поэтому, чтобы разложить её в ряд Фурье, её надо периодически с периодом
вую ось, причём равенство между функцией
продолжить на всю число-
xf и
суммой ряда Фурье будет выполняться только для точек непрерывности функции
жутке
,
, а в точках разрыва, лежащих в этом
xf , лежащих в проме-
промежутке, ряд будет сходиться к полусумме предельных значений справа и слева в точке разрыва.
- график периодического продолжения
функции
xf .
0,,0
.
,
- график ряда Фурье
∞
a
0
∑
=
1
n
()
xf ,
где
∑
=
1
n
π
1
()
=
0
∫
π
−
π
++=
;
dxxfa
=
n
∞
a
0
sincos
nxbnxa
nn
π
1
()
cos
∫
π
−
π
,
x ,
;
nxdxxfa
=
n
Вычислим эти коэффициенты для данной функции
ππ
()
cos
sin
11
1
∫∫
0
1
−
()
π
0
1
n
π
−
1
n
() ()
−
π
π
1
1
==⋅==
xdxdxxfa
πππ
ππ
1
cos
∫∫
0
ππ
sin
∫∫
0
0
1
nxdxnxdxxfa
πππ
nxdxnxdxxfb
111
π
nx
n
0
cos
π
nx
0
1
n
++
sincos
nxbnxa
nn
π
1
()
sin
∫
π
−
π
.
nxdxxfb
xf :
0sin
====
1
n
ππππ
=−−=−===
1cos
n
π
(
)
n
n
n
(
)
n
=
n
≠
12−=k
n
(
)
(
)
−
1
2
k
(
)
π
π
−
∈
2
2
3
(
)
π
π
−
∈
(
)
1 −−
()
()
При чётном
При нечётном
ного числа), тогда
()
Итак,
xf
n
b
11
: 0
−
k
+=
11
=−−−=
b .
n
: 0
b , можно обозначить
=
12
∑
k
π
(здесь использовано равенство
ππ
n
12
−
k
11
−−
()()
12
−
∞
=
−
1
=
ππ
12sin221
xk
,
2
−
kk
x .
.
12
,
Запишем несколько первых частичных сумм этого ряда:
1
2
xS sin
+= ; xxS 3sin
1
π
221
2
отдельных слагаемых и сумм
sin
++=
S ; 1S ; 2S .
0
2
ππ
,
x и построим графики
n 1cos −=
π
n
).
(общий вид нечёт-
1
=S
0
;
Из чертежа видно, что уже сумма
ние исходной функции
xf .
S даёт достаточно хорошее приближе-
2
112
Рядом Фурье для периодической с периодом
lT2
=
(
)
2
l
l
π
π
π
π
lT2
=
(
)
=
l
π
2
l
π
π
(
)
=
lT2
=
l
π
l
π
π
функции
летворяющей условиям теоремы Дирихле, называется ряд
∞
a
0
∑
1
n
l
1
()
=
a
0
dxxf
∫
l
−
l
=
;
a
=
n
nx
()
xf
cos
++
a
l
1
∫
l
−
l
nx
nx
sincos
dx
, где
l
1
;
b
()
xf
=
n
sin
∫
l
−
l
b
nn
l
nx
l
dx
xf , удов-
Если периодическая с периодом
Неполные ряды Фурье
функция
xfy
, удовлетво-
ряющая условиям теоремы Дирихле, вдобавок является чётной, то она раскла-
nx
дывается в ряд Фурье по косинусам
, то есть
∞
()
xf
l
2
=
a
0
∫
l
Если же функция
0
xfy
раскладывается в ряд по синусам
∞
()
bxf
=1sin
∑
n
=
n
a
0
+=
()
;
dxxf
периода
nx
, то есть
nx
, где
∑
=
1
n
a
n
nx
a
cos
l
∫
0
()
xf
cos
, где
nx
dx
l
n
2
=
l
является нечётной, то она она
l
2
b
=
n
∫
l
0
()
xf
sin
nx
dx
l
113
114
Индивидуальное задание
[
]
+
=
[
]
−
=
[
]
−
=
[
]
+
=
[
]
+−=
[
]
−−=
[
]
−
=
[
]
−
=
[
]
+−=
[
]
−
=
[
]
+
=
[
]
+
=
[
]
+
=
[
]
−
=
I. Найти ряд Фурье функций 1-14, заданных графически, записать первые
3 частичные суммы
S и 2S не равны 0, можно ограничиться графиками 0S и 1S ).
1
II. Разложить в ряд Фурье функции, предварительно периодически про-
должив их на всю числовую ось:
xy 2.
1.
S , 1S , 2S , нарисовать их графики (если все слагаемые в
0
о;2 на 1
xy
о;1 на 1
xy 4.
3.
xy 6.
5.
7.
9.
11.
13.
III*. Построить чётное и нечетное периодическое продолжение функций
1-14 из задания II и найти соответствующие ряды Фурье.
xy 10.
xy 14.
о;1 на 12
о;1 на 1
о;1 на 2 xy
8.
о;1 на 3
xy 12.
о;2 на 32
о;3 на 5
xy
о;2 на 1
xy
xy
о;2 на 1
о;1 на 3xy
о;2 на 15
xy
xy
о;3 на 12
о;2 на 14
115
Глава 8. Дифференциальные уравнения
x
(
)
(
)
′′′
(
)
()(
)
()(
)
(
)
≡
(
)
≡
(
)
ϕ
=
(
)
ϕ
=
(
)
Φ
(
)
ϕ
=
(
)
Во многих вопросах геометрии, физики, естествознания, техники, боль-
шую роль играют дифференциальные уравнения.
Дифференциальным уравнением
зависимую переменную
, искомую функцию y и её производные различных
порядков.
Порядком
дифференциального уравнения называется порядок старшей
входящей в него производной.
n
0,...,,, =
yyyyxF
– общий вид дифференциального уравнения n-ого
порядка.
Дифференциальное уравнение вида
называется линейным
.
если
Если
xf , то неоднородным.
/
0
xf , то соответствующее уравнение называется однородным,
0
Всякая функция
xy
, которая при подстановке в уравнение обращает
его в тождество в некотором промежутке, называется решением
ального уравнения.
Решить
или проинтегрировать дифференциальное уравнение – значит
найти все его решения в данной области.
График решения называется интегральной кривой
Общим решением
решение
ных
21
ccc ,...,,
, каков порядок уравнения.
n
дифференциального уравнения называется такое его
cccxy ,...,,,
, которое содержит столько произвольных постоян-
n
21
Если общее решение задано в неявном виде соотношением
cccyx ,...,,,,
= 0, то оно называется общим интегралом.
n
21
Всякое решение дифференциального уравнения, которое получается из
общего решения при фиксированных значениях произвольных постоянных, называется частным решением
21
,...,,,
1
. Если
cccxy ,...,,,
– общее решение, то
n
0020
cccxyϕ= – частное решение.
n
называется уравнение, связывающее не-
nn
−
1
...
10
n
xfyxayayxa
=+++
дифференци-
.
116
Образец решения
=
+
′
′
xysin
=
xycos
=
′=″
xycos
=
+
=
+
=
=
−
=
xxy
cos2sin
−
=
(
)
=
′
(
)
ϕ
=
(
)
=
Φ
c
(
)
ϕ
=
c
(
)
(
)
=
′
=
=
F
0
yy – дифференциальное уравнение 2
Проверим, что
тельно,
()
и
0sinsin =+″xx , так как
– решения этого уравнения. Действи-
()( )
Аналогично доказывается, что
Нетрудно проверить, что
уравнения при любых константах
c и 2c .
1
Значит, по определению, так как уравнение 2
xcxcy cossin
– общее решение этого уравнения.
21
Если придать
пример
1
c ; 2
1
При других значениях
c и 2c некоторые фиксированные числовые значения, на-
1
c , то получим
2
c и 2c получается другое частное решение диффе-
1
го
порядка.
xxx sincossin −=
.
– тоже решение этого уравнения.
xcxcy cossin
также будет решением этого
21
го
порядка, то
– частное решение.
ренциального уравнения.
Дифференциальные уравнения 1го порядка
Общий вид дифференциального уравнения 1
Общее решение
уравнения 1го порядка имеет вид
го
порядка:
0,,
yyxF
cxy ,
, где c – про-
.
извольная постоянная.
Общий интеграл
которое получается при интегрировании исходного уравнения. Здесь где
уравнения 1го порядка – это соотношение
0,,
cyx ,
–
произвольная постоянная.
Геометрически
общее решение
cxy ,
представляет собой семейство
интегральных кривых, то есть совокупность линий, соответствующих различным значениям постоянной
.
Если задать точку
, yxM , через которую должна проходить инте-
000
гральная кривая, то из бесконечного множества интегральных кривых выделяется определённая интегральная кривая, соответствующая частному решению
данного дифференциального уравнения.
Задача Коши
Задано дифференциальное уравнение
ные условия
но функции
(задача с начальными условиями)
1го порядка
yy
при
0
xx
. При опредёленных предположениях относитель-
0
эта задача имеет единственное решение.
117
0,,
yyxF и началь-
Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
dx
c
(
)
cxy
+
=
sin
arctg
(*)
1=y
0=x
(*)
0=x
1=y
c
+
=
0
sin1arctg
4
π
4
π
(*) cxy
+
=
sin
arctg
4
π
4
π
(
)
α
+
=
α
θ
0=t
θ
θ
=
θ
dy
() ()
ygxf
Уравнение вида
нием с разделяющимися переменными.
Метод решения – разделение переменных
Произведя домножение на
Вычислим неопределённые интегралы от левой и правой части, они отличаются на произвольную константу
dy
1)
dx
dy
2
y
1
+
dy
+
y
1
2) Найти частный интеграл предыдущего уравнения при начальных усло-
виях
при
2
cos1
()
cos
=
=
cos
∫∫
2
xy
xdx
xdx
. Подставляем в общий интеграл
⋅=
называется дифференциальным уравне-
.
()
dxxf
()
012≠+ y )
⋅⋅=
dx
()
yg
dy
() ()
dx
dx
⋅+=
1
y
+
– это общий интеграл уравнения.
ygxf
dx
, получим
()
yg
dy
=
()
yg
dy
= dxxf
∫∫
()
yg
Образцы решений
(домножаем на dx и делим на
2
и
2
1 y+ ;
; получа-
;
c=
или
=c
ем
Возвращаясь к общему интегралу
=c
частный интеграл
3) Скорость охлаждения тела пропорциональна разности между темпера-
турами тела и среды. При некоторых расчетах считают, что коэффициент пропорциональности линейно зависит от времени:
Найти зависимость между температурой тела
, а температура окружающей среды
0
.
, получаем при
sinarctg
+= xy
.
tkk
1
(
k ,
0
и временем t, полагая, что при
.
1
118
0
– const).
θ
dt
d
(
)
α
+
=
θ
θ
2
α
θ
θ
=
0=t
(
)
=
−
θ
θ
2
α
2
α
=
′
4=y
2−=
x
=
′
xdxdy2
=
dx
2−=
x
4=y
c+=44
0=c
()
θθ
−= k
, причём поскольку
1
tkk
1
0
, то
θ
d
()()
1
dt
d
()
0
θθ
1
d
∫∫
−
θθ
1
()
ln
θθ
θθα
tk
10
dttk
α
+=−1
()
+=
dttk
α
1
0
k
0
tk ++=−
01
Подставим начальное условие
ln
c
10
dt
⋅−+=
θθ
−
1
2
ct
при
0
Отсюда
k
2
() ()
ln
θθ
()( )
⎛
⎜
ln t
⎜
⎝
⎞
θθ
−
1
⎟
⎟
θθ
−
⎠
10
θθ
−
1
e
=
θθ
−
10
()
()
4) Для дифференциального уравнения
0
ln
tk
01
lnln t
θθθθ
α
k
0
+=
tk
0
2
α
2
0
tktk
+
0
2
α
2
0
+
tktk
0
2
e
θθθθ
−=−
101
α
2
0
+
tktk
0
2
e
θθθθ
−+=
101
−++=− t
k
0
tk
+=−−−
0101
2
θθ
или
10
2
;
xy 2
а) найти общее решение;
б) построить несколько интегральных кривых;
в) найти частное решение, удовлетворяющее условиям
2
cxy +=
— общее решение
dy
xy 2
= xdxy 2
2=
x
∫
xy =
2
2
xy =
— частное решение
При
при
.
119
Примеры для самостоятельного решения
′
(
)
′
′
′
−
=
−
′
(
)
11x
1=y
0=x
x
xz
y
=
dx
dx
z
dx
dx
1)
3)
5)
7)
9)
2)
2
1 xyxy −=
2
yyyx =+
6)
xyy21
′
=
⎛
−
S
e
⎜
⎝
y
dS
⎞
+
11 =
⎟
dt
⎠
4)
8)
′
+
y
=′10
+ yyxx
1
−
1
−
yxy+
122+=
2
y
0
=
2
x
aytgxy
yxy 23=
10) Найти линию, проходящую через точку
3;2 и обладающую тем
свойством, что отрезок любой её касательной, заключённый между координатными осями, делится пополам в точке касания.
11)
y
12)
y
2
+
y
′
=
′
=
;
2
+
2
y
+
2
()
11xxy
+
при
Дифференциальные уравнения,
однородные относительно переменных
Дифференциальное уравнение называется однородным относительно переменных, если его можно преобразовать к виду
dy
dx
y
⎞
⎛
=
f
⎟
⎜
x
⎠
⎝
Для решения делается замена
y
=
z
, откуда
; z
dy
dz
x
+=
.
(Здесь
– новая функция).
Подставив в уравнение, получим
x =+⋅
x −=⋅
dz
dz
()
()
zfz
или
zzf
Это уравнение с разделяющимися переменными; разделив переменные,
получим
dz
()
−
dx
и интегрируя
=
x
zzf
dz
()
=
∫∫
− x
zzf
dx
.
120
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]