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ivanov666
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Предмет:
Файл:Сборник заданий по высшей математике с образцами решений (математический анализ). Учебно-методическое пособие
.pdf
59) 2 60)
4
ctgt
−
a
ϕ
()()(
)
(
)
()(
)
8
4
+−=
x
y
214
3
π
+−=
x
y
at
3
e
10
t2cos
2
t
cos
t
a
x
!
n
)(0);(
−∞→+∞→∞
+
x
x
)(0);(
+∞→−∞→∞
−
x
x
)();(0
−∞→∞++∞
→
x
x
1
x
y
5
ctgt
−
61)
63)
65)
66)
67)
68)
sin
cos1
−
2
x
()
+
1
x
2
x
3
x
1
()
2
70) а)
64)
ϕ
⎛ +
2
⎜
⎝
2sin
xx
−
ln1xxxx−
+= xy
−
1
()
+
xx
3
⎛
xex
⎜
⎝
−+
6
++ xctgx
x
75
5
31
⎛
⋅
⎜
+
⎝
69)
2
; б)
62)
⎞
1ln2
x
⎟
2
x
⎠
⎞
222
⎟
⎠
7
−
+
1
−
−
()
xxx
cos
6213
x
⎞
⎟
⎠
71) 2
72) 12 73)
120xa
74)
−
7
75)
76) 0 77) а)
78) а)
79) а)
1
− ; б) )812(
2
x
1
a
e
; б)
n
2tet
+
xne−
− )1( ; в)
1−−−
n
n )!1()1(
; г)
n
b
tctg
−
xxxctgxx
;
sinlnsincossin
1
−= xy
−
; б)
; в)
3
)1(1x+
t
sin2
80)
81) 0
82) 0 83)
84)
85)
181
0
y
RH2
=
3
2
3
3
5
1
x
10
xC+
uuC−+
2
674
3
1
1
2
−−+
ctg
tg xx
C
tg xx
C
−
+
−−+
ctg xx
C
xxC−+
sin
x
1
2
4
2
12++x
C
16
1
33
88) 94)
y = x
-4
-2
x
V
95)
3
HR ==
96)
π
Неопределенный интеграл
3
1)
xC+
2)
− +
C
3)
6)
8)
10)
12)
14)
16)
18)
20)
22)
4)
2
7)
zzzC−−+21ln
arcsin xC+
3
9)
11)
13)
15)
arctg x
2
sin
x
C− +
17)
19)
C+
21)
−
82 3
()x
+
23)
C
4
−
97)
Глава 3
−−++
ln xxC++2arctg
32R
53
⋅ +xC
x
10
3xx
⋅−⋅+xxC
()tg xx C++
Cln+ 5)
x
ln
exC
7634
4
tg
x
C+
16
()xC++1
5
−−+
11
5
83
()xC
182
24)
1
3
2
3
1
3
5
18
x
C21++
3
8
1
4
1
4
1
cos
x
33⋅+sinxC
2
3
2
3
3
1
sin3xC+
1
3
1
2
1
2
1
2
1
2
1
3
1
3
e
C
+
a
3
ln
a
ln
3
1
2
1
5
1
3
−−+
()xC
−−+
26)
28)
3
82
123()xC
25)
27)
29)
23
1
()xC++
36
5
⋅ ++()xC
42
3
⋅ ++()xC
2
1
4
sin xC+
30)
32)
(ln )xC+
34)
()arctg x
36)
38)
21++tg xC
40)
−−
42)
ln( )12++xC 45)
44)
46)
ln xx C
ln( )xC++
48)
ln( )eC
50)
52)
ln sin xC+
31)
C+
33)
3
35)
3
+ 37) − +
C
39)
3sin xC+
41)
12sin( )xdx
2
38− ++
2
1
x
++1 51)
43) − +cos( )eCx
47)
49)
53)
4
sin xC+
3
(ln )xC+
22(arcsin )x
−−+
23cos( )xC
ln arcsin xC+
21ln xC− +
3
1
ln xC++
− +ln cosxC
− +
3ln cos xC
C
54)
56)
58)
60)
62)
ln ln xC+
a
e
− +
arcsinxC3+
55)
x3
C
+ 57) − +
−
x13
59)
C
61)
3arctg xC+
63)
183
xsin
−
x
a
2
x
eC
+
arcsinxC2+
C
5arcsin xC+
64)
133
2
1
2
2
a
6
2
ln
2
121
4
125
4
xxC
−
+
2arctg
14131
2
3
−
−
121
2
121
+
1
2
224
sin
2
2
4
8
2
10
14
6
3
381
4
1
32
6
x
x+−cos1cos
3
Cxxx++cos
sin
2
4
Cexexx+
−
Cexexx+−−
3
ln33
ln
66)
68)
arcsin
1
arcsin
arcsin 2
x
65)
C+
2
x
C+
67)
x
+ C 69)
arctg xC+
1
arctg
xxC− ++44ln
2
3
x
C+
70)
72)
−−−−−−+
74)
3
x
75)
76)
ln
1523
78)
ln
80)
82)
cos2xdx
84)
∫
86)
87)
1
90)
92)
21xxC− ++ln
21xxC+ − +ln
432
xxxx xCln
2
48 2− + − ++ln
xx x C
x
1
77)
C−+
x
x
+
1
x
+
x
arctg
23arcsin( )xC++
85)
x
C
ctg +−
1
87)
4cos
1
3sin
2
71)
73)
79)
C
C−+
81)
83)
1
Cxx +−− 2cos
Cxx +− 7sin
4xx xC− ++sin sin
−− −+xxC63ln
1
x
ln
xC++1
1
ln
3
5
x
x
C
+
2
−
x
arctg
ln xxxC− + − ++245
xx
− +
x
tg +−
2
1
sin
1
sin
5sin
1
sin
6
89) Cxx ++ sin
91) Cxx +−
93) Cx +
+
C
2
2
C
Cx
1
3
1
94)
96)
3
1
2sin
98)
ln
xx
100)
−
1
n
+
C
95)
1
−−
x
()
n
Cxxx +− 2cos
97)
99) C
nn
++
11
C
+
101)
2
1
+
184
xx
3
x
+−
.
2
Cxxx +−−21arccos
102)
(
)
(
)
8
414
2
(
)
35
(
)
235
(
)
a
2
2
x
2
4
C
ex+
C
ex+
2
3
2
2
9
1
3
2
3
104)
105)
106)
107)
2
2
x
1
x
()
1
2sin
+− cossin
Cxxx
+++ 2cos
Cxxe
Cxx +++−+ 11ln212
Cxarctgxxxarctg ++−
103)
Carctgxxxx ++−+ 221ln
x
−222
Cxxe
+++−
2
108)
109)
x
ln
x
110)
111)
112)
6
113)
2
114)
115)
116)
117)
arcsin
1
− arcsin
x
()
−co s
118)
2
119)
1
sin
120)
()
++−+11
5
6
xa
2
x+−−
23
11
C
+
Cxx ++− 1ln22
Cxarctgx +− 22
2
3
44
1ln442
x
xx
22
Cx
22
arcsin242
Cxxxx ++++− 168651
663
Cxxx +++−
+−−
Cxa
x
C
++−−
Cxxxxxxx +−++++++ 1ln6632
3
2
Cex+−−
)1(
2
Cx +
22
94
121)
122)
xxxC−− + − +ln
23
xx
394
Cxx
++−+− 1ln
185
123)
2
−
41216
8
9
9
+
2
3
x
16
16
4
x
x
111
2
2
2
−
x
4332
4
3
3
12
3
5
4
1
2
()
()
Cxarctgxx +++++ 122ln
3
2
124)
()
125)
2
126)
127)
128)
129)
130)
131)
132)
133)
134)
135)
136)
2
1
22
xx x xx C− ++ − + − ++ln
3112
3
1
x
ln
x
+
23
xx
x +−++− 1ln
ln
2
x
3
2
2
x
ln
11
+
ln
x
2
1
1ln
1
ln
1
++−
1744ln
13
269
Cxx ++−− 132ln
11
63
C
+
12
1
2
7
x
−
1
+
x
+
1
1
2
()
Cx
+++−
12ln
C
1ln
xx +
−+−−
Cxx ++− 1ln
x
arctgxx +
22
11
6
x
arctgxx
3393ln
9
1
−
+
−
22
+
++−−−+ 12ln
C
32
33
Cxxx
C
Cxxxxx +++++−++ 221ln4223
11 2
++−−++++ 2ln32ln5ln24
C
+
Cxxxxx ++++++++ 26913ln
Cxxxx
1
137)
138)
139) Cx
1ln
3
x
1
1
ln
x
−+2
1
4
3
x
2
4
Определенный интеграл
1)
5)
2
−
)122(
2)
T
cos
ϕ
6) 12 7)
0
π
7
1
2
()
6
1
+−
1
ln
xxx
3) )116(5
1
arctgxxx +
++−−+
1ln
3
Carctgx
1
5
1
−e
186
x
12
3
+−++−++ 2ln
−− 4)
5
)1(
8)
C
23
1
9) ee − 10) 2 11)
3
5
7
5
2
π
6
7
π
2
e
2
π
2
21934
1
4
2ln27+
2
3
3
4
16
π
5
2
8
3
a
2ln1
−
2
π
3
3
3
3
3
312
π
22−
3
a
π
2
2
2
a
8
3
3
15
8
π
3
π
3
3
2
3
3
8
4
R
π
3
π
9
π
4
π
5
2
15
8
1
13)
14)
ln
15) 2 16)
4
1
12)
ln
arctg
2
1
18)
17)
ω
22)
21)
32
25)
26) 2ln2
8
1
ln
29)
30)
32) расх. 33)
36)
37)
40) расх. 41)
4
44)
47)
51)
55)
58)
61)
64)
68)
48)
1
52)
3ln −
8
2
ah
π
56) )4(
4
2
ba
π
59)
3
R
π
62)
4
R
π
65)
1
2
(
+−ee
2
1 −
π
5
1
1
1
4
),34(
ππ
3
)4
69)
2
19) 1
2
a
23)
−
27)
2ln153ln8 +−
−
20)
24)
1π−
28)
13
31)
2π−
1
34) расх. 35) расх.
38) 2 39)
42) 2,25 43)
−+
)38(
45)
2
49)
a
53)
22
bb+−−
2
yx
,0 ==
cc
π
3
−+ e
2
66)
6
2
a
π
70)
−
46) 2
2
a
π
50) π
54) baab
bee
57)
a
60)
22)1(
63)
62
67) )11717(
4
HR
π
71)
2
2 −+
4
64
ab
8
ππ
3
+−
ln
.
33
4
1
−+ee
,
4
6,
ππ
4
22
ππ
4,0a
yx
==
cc
3
π
−
5
π
R
187
1)
+∞<<∞−
≤≤−
≥
≤
x
y
−
>
x
y
−
=
−
x
x
′
′
−
=
′
=
′
(
)
x
()(
)
()(
)
+
=
(
)
08,1
≈
2575
≈
см
dt
∂
(
)
(
)
()(
)
−
(
)
2)
3)
4)
5)
Глава 4
x
⎧
⎨
⎩
x
⎧
⎨
⎩
x
⎧
,
⎨
00y
≥
⎩
- вся плоскость Оxy
+∞<<∞−
y
- внутренняя область квадрата
1111y
≤≤−
x
⎧
- 1и 3 координатные четверти
⎨
00y
≤
⎩
- правая полуплоскость относительно прямой
2yxy
′
z
=
x
()
+
,
z
2
2yxx
′
=
y
()
+
6)
2
без границы
y
′
−=
z
x
1
′
=
,
z
y
2
′
z
9)
=
x
′
z
=
x
7)
12)
15)
dz
16)
17)
18)
19) 0,08
21) да,
23)
du
25)
z
∂
27)
u
∂
z
28)
x
∂
2
z
∂
31)
2
x
∂
32)
34)
35)
x
z
,
22
yx
+
y
′
,
z
=
y
22
yx
+
23 +=
yx 2
22+=
1
=
⎛
⎜
2
y
⎝
1
+
2
32
cos
2
yxd
y
′
=
y
+
x
22
yx
+
322
ydyxdxyxdz
dyxxydxedz
ydxxdy
−
⎞
=
⎟
x
⎠
2
ydxxdyxydz
tt−=−
()
u
()
2
v
y
−=
=
22
yx
+
2
xy
−
yx
+
()
22sin
6cos3tte
vu
23ln2
+−=
2
2
2yxyx
dz
=
dx
,
22
2
z
∂
2
22
=
yx
∂∂
,
xyxyxy sincos
12 dyexdxdyxyedxeyzd
8)
22
yx
10) xyyz
ydxxdy
−
222
yx
+
x
x
22
dyydyxxydxyyxdz
212573 −++−=
20) да,
22) нет
24) на
2
u
3
()
−
22
+
−
()
2cos22sin2 ydyxydxdyzd +=
−
23
4yxxy
+
∂
,
vuv
∂
2
22
,
22
+++=
u
z
v
v
2
2
z
∂
=
2
y
∂
()
22222
xyxyxy
188
=
y
yxz ,
1−
cos2
y
y
,
y
⎞
⎛
−
d
⎟
⎜
x
⎠
⎝
3
2
()
vu
23ln2
3
−
yx
+
−−−=
22
yx
2
22
xxz
ln=
xyxz
cos2
y
u
2
2
()
2
vuv
23
−
36)
+
∂
∂
z
axcx
∂
(
)
−
(
)
−
60511
17
=++
zyx
5711417
+=−=−
01223
=+−
−
zyx
212131−
−
−
−=−
r
r
313
3
2
6
}
4
π
3
(
)
(
)
48
12
38)
40)
41)
43)
46)
2
2;1
()
2
xyy−1
z
=
()
∂
z
∂
1−
zxzx
,
2
∂
−=
1;1
z
2
∂
y
,
– точка минимума
22
dydxzd −−= 37)
z
=
∂
−=
,
()
1−
zyzy
2
yc
2
zb
3
zyx
39)
42)
ayx
−
axy
+
y
1−y
2;2
– точка максимума
44) куб
47)
49)
2
ji
+
,
=
50) точки, лежащие на окружности
2
51)
43
+
x
5
2
()
,
1)
3)
x
3
21
∫∫
x
0
dyyxfdx 2)
∫∫
13
+
2
x
()
4)
dyyxfdx
,
Глава 5
5) 1/6 6)
π
1
7)
9)*
11)
12)
()
∫∫
020
()(){
⎛
1 +
x
−=
⎜
c
⎝
()
sin,cos rdrrrfd
ϕϕϕ
8)
12
,
222
RRR −++
10)
1
⎛
y
⎜
c
⎝
1ln1
π
⎞
⎟
4
⎠
22
1248haah+
13)
zyx
2
22
=+ yx
2
−
42
x
()
,
dyyxfdx
∫∫
2
−
2
x
ab
1
π
()
∫∫
020
π
ϕ
cos2
2
∫∫
π
0
−
2
4
2
a
π
⎞
221
+
−=
⎟
28
⎠
6
a
ϕϕϕ
ϕϕϕ
sin,cos rdrrrfd
sin,cos rdrrrfd
()
14) 8 15)
189
7
2
a
π
8
π
(
)
3
a
δ
r
k
r
r
r
r
r
r
r
r
⋅
α
(
)
rrr
()(
)
rrrrr
r
(
)
rrr
r
(
)
(
)
rrrrr
r
()(
)
r
r
r
rrr
(
)
(
)
(
)
(
)
rrr
rrr
rrr
r
rrrr
(
)
(
)
r
r
r
r
r
4
(
)
(
)
+
=
r
r
H
⋅
π
r
(
)
r
r
(
)
r
r
16)
17)
2
18) 24 19)
p
155
−
20)
2) а)
3) а) поверхности уровня – цилиндрические поверхности, градиент на-
правлен по радиусам, перпендикулярно к ним;
пендикулярно к ним;
перпендикулярно к ним
4)* а)
aaπ4 21)
Глава 6
j
б)
r
г)
ж)
з)
и)
к)
л)
м)
н)
о)
б) поверхности уровня – сферы, градиент направлен по радиусам, пер-
в) поверхности уровня – параллельные плоскости, градиент направлен
(градиент всегда направлен в сторону большей температуры)
д)
3
2 r
crc
,2
2
−
α
2
,rrrccr
−
3
rr
()
rbra
2
2
r
−
()
,
ra
()
r
ra
,
r
r
r
() ()
rbr
4
r
u +=
C
в)
3rr
−
β
α
+⋅
arbbra
,, +
r
7
2
ar
rr
2
,
ra
r
r
r
a
−+
r
rb
,,
е)
5
1
−
β
crcrrrcr
,,
βα
r
()
,
rrrr
()
,,,, ++
6
3
,,7,,3 +
rar
,
b
2
r
rb
brararbr
brbraarbra
r
−
3
2−
α
б)
∫
в)
5)
М - нейтральная точка; 2М - сток; 3М - нейтральная точка.
6)
7) а)
,
3
1
rr,5
()
cr
−
7
Cdrrfru +⋅=
Crcu
б)
9
,12 rc
в)
190
3
,rrc
5
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