Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Сборник заданий по высшей математике с образцами решений (математический анализ). Учебно-методическое пособие
.pdf
Теорема
)()()(BpApBAp
+=+
n
n
nmnmn
+
+++=+++
3130
6130
21613
=++
+
=++
+
+++=+++
=++
+
Вероятность суммы 2-х несовместимых событий равна сумме их вероят-
ностей.
— теорема сложения для 2-х
несовместимых событий.
Доказательство
Пусть n — число возможных исходов испытания; m
благоприятных событию А, m
Тогда
— число исходов,
— число исходов, благоприятных событию В.
2
Bp
)(;)( == .
m
21
m
Ap
1
Число исходов, благоприятных либо событию А, либо событию В равно
+ m2). Вероятность события (А+В) равна
(m
1
BAp +=+=
mm
=+
2121
)()()(
BpAp
.
Аналогичная формула справедлива и для суммы нескольких попарно несо-
вместимых событий
)A(p ApApAAAp
nn
Пример
...)()()...(
2121
В урне 30 шаров: 10 красных, 5 синих и 15 белых. Найти вероятность появления цветного шара.
Решение
А — появление красного шара,
В — появление синего шара,
10
)( ==Ap
5
)( ==Bp
.
.
События А и В несовместны,
(А+В) — событие, состоящее в появлении цветного шара,
1
)()()( =+=+=+ BpApBAp
Теорема
Сумма вероятностей событий А
, А2, ... Аn, образующих полную группу,
1
равна 1, т.е.
1)(...)()(
Ap ApAp
n
Доказательство
21
По определению полной группы событий, никакие два из событий А
, не могут произойти одновременно и при одном испытании одно и только
... А
n
одно из них обязательно происходит, т.е. А
достоверным. Значит
Значит
21
21
2121 nn
ApApAp .
n
+ А2+ ... +Аn является событием
1
1)...(
AAAp . В силу их несовместимости
n
)(...)()()...(
ApApApAAAp
.
1)(...)()(
141
, А2,
1
Использование понятия противоположного события
A
45
2
! 2 ! 8
⋅
A
454445
BA⋅
10
9
45
(
)
=
⋅
Пример
В партии из 10 деталей 8 стандартных. Найти вероятность того, что среди
наудачу выбранных 2-х деталей хотя бы одна
Решение
стандартная.
Хотя бы одна означает, что стандартных может быть 1 деталь, либо 2.
1 способ
2 способ
Противоположным
щее в том, что из 2-х выбранных деталей ни одна
роятность этого
2
10
Вероятность искомого события
121
⋅
8
C
10
2
C
CC
2
44
8
=+
2
C
45
10
к искомому событию A является событие, состоя-
не является стандартной, ве-
1
, т.к. этому благоприятствует 1 случай из
109
! 10
==C
=
45
случаев.
1
1)(1)( =−=−= ApAp
.
Произведение событий
Произведением 2-х событий А и В называется событие
совместном появлении
этих событий.
Рассмотрим предыдущий пример.
Вероятность того, что 1
ая
деталь нестандартна
2
, что 2ая деталь тоже не-
, состоящее в
стандартна
1
.
Значит, вероятность того, что они обе нестандартны
210191
⋅ =
результат был получен с помощью других рассуждений.
Если события несовместимы, то их произведение - невозможное событие, и
0
BAp — для несовместных событий
142
. Тот же
Условная вероятность
⋅
n
(
)
m
(
)
nknmm
BA⋅
(
)
(
)
(
)
B
(
)
(
)
⋅
)()/()(BpBApBAp
⋅=⋅
)()/()(ApABpBAp
⋅=⋅
)()()(BpApBAp
⋅=⋅
BA⋅
Условной вероятностью события А при условии В (обозначается р(А/В))
называется вероятность события А при условии, что В произошло
зом,
здесь использовано классическое опреде-
)(
BAp
=
)/(
BAp
Пусть производится n испытаний. Событие В произошло m раз, т.е.
m
B p =)(
.
Пусть событие А произошло k раз при условии, что известно, что В уже
A
A
p =⋅=⋅
B
A
p BA p ⋅=⋅
p =
B
()
B p
B p
го
— 0,8, 2го — 0,7.
осуществилось, т.е.
а В осуществилось m раз.
Найдем
что осуществились и А, и В, т.е.
Итак, получена формула
Таким образом, справедлива формула:
Аналогично
Событие А называется независимым от события В, если появление события В не изменяет вероятности события А, т.е. его условная вероятность равна
безусловной р(А/В)=р(А). В этом случае предыдущая формула принимает вид
Примеры
Решение
1) Найти вероятность поражения цели двумя стрелками вместе, если вероятность попадания 1
А — попадание 1
В — попадание 2
— попадание обоих стрелков вместе.
А и В — независимые события.
ление вероятности.
)(
Bp
k
, так как благоприятных событию А/В случаев k,
k
или
го
го
, а это не что иное, как вероятность того,
.
A
=
p
B
формула умножения вероятностей для зависимых событий.
формула умножения вероятностей для независимых событий.
стрелка, р(А)=0,8.
стрелка, р(В)=0,7.
BA p
()
B p
.
. Таким обра-
143
56,07,08,0)()()(
=⋅=⋅=
⋅
BpApBAp
ABBABAC++=
A
)()()()(ABpBpApBAp
−+=
+
=−+=−+=
)()()()()()()()(BpApBpApABpBpApC
p
=+−⋅=
080708070
94
,,,,,
.
)()()(BpApAB
p
⋅
=
⋅++⋅+⋅=
2) Найти вероятность поражения цели хотя бы одним из 2
роятность поражения цели 1
Решение
А — попадание 1
В — попадание 2
ым
— 0,8, 2ым — 0,7.
го
стрелка, р(А)=0,8.
го
стрелка, р(В)=0,7.
х
стрелков, если ве-
С — попадание хотя бы одного стрелка.
События AB BA BA ,, несовместны, поэтому
.94,07,08,07,02,03,08,0
=⋅+⋅+⋅=
По-другому:
вероятность поражения цели хотя бы одним стрелком равна единице минус вероятность промаха обоих стрелков, т.е.
94,03,02,01)()(1)(1)( =⋅−=−=−= BpApBApCp
т.к. они
независимы
Теорема сложения для совместимых событий
Пусть А и В совместимы. Тогда
)()()()()()()()()()(
=++=++= BpApBpApBpApABpBApBApCp
AB B
т.е. вероятность появления хотя бы одного из 2
х
событий А и В равна
сумме их вероятностей минус вероятность их совместного появления.
Пример
Решение предыдущей задачи №2 тогда имеет вид:
Здесь
, так как А и В независи-
мые события.
Формула полной вероятности
Пусть события В1, В2, ... Вn образуют полную группу попарно несовмес-
тимых событий и событие А может произойти только при условии появления
одного из событий В
Тогда
(**)
формула полной вероятности
, В2, ... , Вn.
1
144
2211 nn
)()/(...)()/()()/()(
BpBApBpBApBpBApAp
Примеры
=
=
=
=
15
5
3
15
5
3
=⋅+⋅+⋅=
=⋅=
⋅
⋅
⋅++⋅=
⋅
1) Имеется 2 набора деталей. Вероятность того, что деталь 1
дартна, равна 0,8, 2
го
— 0,9. Найти вероятность того, что взятая наудачу
го
набора стан-
деталь (из наудачу выбранного набора) стандартная?
Решение
А — извлеченная деталь стандартна,
— извлеченная деталь из 1го набора,
В
1
— извлеченная деталь из 2го набора,
В
2
BAp BAp .
5,0)()(
BpBp
21
9,0)/(;8,0)/(
21
.85,05,09,05,08,0)()/()()/()(
BpBApBpBApAp
2211
=⋅+⋅=⋅+⋅=
2) В группе спортсменов 20 лыжников, 6 велосипедистов и 4 бегуна. Вероятность выполнить квалификационную норму для лыжника равна 0,9, для
велосипедиста 0,8, для бегуна 0,75. Найти вероятность того, что спортсмен, выбранный наудачу, выполнит норму.
Решение
А — спортсмен выполнит норму,
⎞
⎛
— это лыжник,
В
1
В
— велосипедист,
2
В
— бегун,
3
2
)(
2
9,0
1
)( ;
1
8,0
75,0
321
2
)( ;
=== BpBpBp
2
;
A
p
⎜
⎝
⎛
A
p
⎜
⎝
⎛
A
p
⎜
⎝
=++=⋅+⋅+⋅=
9,01=
⎟
B
⎠
⎞
8,02=
⎟
B
⎠
⎞
75,03=
⎟
B
⎠
.86,01,016,06,0
)()/()()/()()/()(
BpBApBpBApBpBApAp
332211
Вероятность гипотез. Формулы Байеса
Пусть событие А может произойти при условии появления одного из попарно несовместимых событий В
называть события В
гипотезами
i
Из формулы полной вероятности (**), учитывая, что
найдем вероятность гипотезы В
=
)/(
ABp
i
отсюда
i
)(
Ap
=
)/(
ABp
формулы Байеса (или формулы гипотез)
, В2, ... Вn, образующих полную группу. Будем
1
(i = 1, 2, ... , n).
)()/(
BpBAp
ii
, но )()/(...)()/()(
при условии, что А произошло )/( ABp
i
11 nn
145
)()()/()()/(
ABpApABpBpBAp
,
iiii
11 nn
)()/(
BpBAp
ii
⋅++⋅
BpBApBpBAp
)()/(...)()/(
(i=1, 2, ... , n)
.
i
BpBApBpBApAp
,
Пример
=
=
=
3
15
15
150
3
15
15
=⋅+⋅+⋅=
150
150
150
Для участия в соревнованиях из 1
6 студентов, из 3
ьей
группы попадет в сборную команду института соответственно 0,9, 0,7
3
ьей
— 5 студентов. Вероятность того, что студент 1ой, 2ой и
ой
группы выделено 4 студента, из 2ой —
и 0,8. Наудачу выбранный студент попал в сборную. Из какой группы вероятнее всего он был?
Решение
А — студент попал в сборную команду,
— студент из 1ой группы, 9,0)/(
В
1
В
— студент из 2ой группы, 7,0)/(
2
— студент из 3ей группы, 8,0)/(
В
3
4
)(
4
9,0
1
2
3
7,0
)/(
=
ABp
)/(
=
ABp
)/(
=
ABp
6
)(;
6
8,0
⋅
)(
Ap
⋅
)(
Ap
⋅
3
)(
Ap
321
118
1
=⋅+⋅+⋅=
)()/(
BpBAp
11
=
118
)()/(
BpBAp
22
=
118
)()/(
BpBAp
3
=
118
)(;
⋅
⋅
=== Bp Bp Bp
4109
15
6107
⋅
15
5108
15
1
.
18
=
59
=
=
BAp
1
BAp
2
BAp
3
21
59
20
59
)()/()()/()()/()(
BpBApBpBApBpBApAp
332211
Т.к. )/(
дент был из 2
ABp больше остальных значений, значит, вероятнее всего, сту-
2
ой
группы.
Биномиальное распределение Бернулли
Пусть производится n независимых испытаний и в каждом возможно 2 исхода: событие А может произойти или не произойти. Пусть вероятность произойти равна р (не произойти (1-р)). Рассмотрим вероятность того, что при n
испытаниях событие А произойдет ровно k раз, обозначим её
k
n
n
knkk
−
ppCP
−= )1(
— формула Бернулли (или формула
биномиального распределения)
n
Здесь
k
C
=
n
.
)!(!!knk
−
146
k
P . Оказывается
n
Пример
2
3274
)1,0(≤p
p
n
⋅
!
k
p
n
⋅
=
λ
1
=⋅=
λ
p
n
⇒
!
3
Что вероятнее, выиграть у равносильного противника 3 партии из 4
из 8?
Решение
Вероятность выигрыша в одной партии у равносильного противника рав-
1
.
на
13
1
1
4
8
1
5
>
⎝
⎛
5
⋅= CP
⎜
8
⎝
, значит
1
⎛
3
3
⋅= CP
⎜
4
⎞
⎛
⎞
⎟
2
⎠
1
⎞
⎟
2
⎠
=
⋅
⎜
2
⎝
1
⎛
⋅
⎜
2
⎝
⎟
4
⎠
35
⎞
=
⎟
⎠
5
3
PP > .
8
4
7
678
⋅⋅
=
35
32
226
⋅⋅
Распределение Пуассона (редких событий)
Пусть выполнены те же условия, что и в биномиальном распределении
Бернулли, но р мало
, а n велико, причем
заключенная примерно между 0,1 и 10. Тогда имеет место формула
k
λ
−
e
λ
k
=
P
n
Пример
– формула Пуассона, где
(см. Приложение №3).
Завод отправил потребителю 5000 доброкачественных изделий. Вероятность того, что изделие в пути повредится, равна 0,0002. Найти вероятность того, что окажется ровно 3 негодных изделия.
Решение
n = 5000 (велико)
р = 0,0002 (мало), k = 3
1
−
e
3
P
06,0
5000
≈=
постоянная величина,
.
х
или 5
Случайные величины
Случайной называют величину, которая в результате испытания принимает
одно из возможных значений, заранее не известное и зависящее от случайных
причин.
Пример
величина, которая может принимать значения от 0 до 100.
нимает отдельные значения.
значения из некоторого промежутка (конечного или бесконечного).
Среди 100 новорожденных число родившихся мальчиков — случайная
Случайная величина называется дискретной
Случайная величина называется непрерывной
147
(прерывной), если она при-
, если она принимает все
Примеры
=++
+
)()(xXPxF
<
=
′
=
′
0)(≥x
f
a
x
1
y
y=f(x)
b
x
1
y
y=f(x)
1) В предыдущем примере случайная величина является дискретной.
2) Поезда метрополитена идут с интервалом 2 минуты. Пассажир выходит
на платформу в произвольный момент времени. Рассмотрим случайную
величину Х — время ожидания поезда. Х равномерно распределена на
1
отрезке [0, 2], т.к. вероятности ожидать поезд 1 минуту, 1/3 минуты, 1
/2
минуты и т.д. одинаковы. Х —непрерывная случайная величина, т.к.
принимает любые значения в промежутке [0; 2].
Закон или функция распределения случайной величины
Законом распределения
кое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими вероятностями.
Для дискретной случайной величины можно задать таблицу:
Х x
p p1 p2
где x1, x2 , ... , xn — значения случайной величины, p1, p2 , ... , pn — соответствующие вероятности, причем
Для непрерывной случайной величины вводится функция распределения (или интегральная функция распределения)
равная вероятности того, что случайная величина Х принимает значения, меньшие чем х. Кроме того, вводится дифференциальная функция распределения
f(x) (или плотность вероятности), которая определяется как
)()( xfxF
.
Для функции f(x) выполняются следующие соотношения:
1)
;
2) Если все значения случайной ве-
личины лежат на отрезке [a, b], то
b
∫
a
.
1)( =
dxxf
Если значения лежат на всей оси, то
a = -∞, b = +∞ и
+∞
∫
∞−
= 1)( dx xf
дискретной случайной величины называется вся-
x2
1
. . .
. . .
1...
ppp
21
n
xn
pn
, т.е. функция,
148
)(xF
, т.е.
Вероятность того, что все значе-
x
y
y
=
f(x)
x
x
yy=
f(x)
x
y
f(x)
ния случайной величины Х лежат в
интервале (α, β) равна
β
=<<
βα
∫
α
dxxfXp
)()(
a
b
Вероятность того, что случайная величина Х, все значения которой лежат на отрезке [a, b], примет
значение, меньшее, чем х, равна
x
,
dttf )(
∫
a
т.е.
x
=< )()(
∫
a
dttfxXp
a
b
Если же значения случайной величины лежат на всей оси, то
x
=< )()(
∫
∞−
Математическое ожидание
dttfxXp
y
=
x
Для дискретной случайной величины Х математическим ожиданием
М(Х) называется величина
n
=
pxXM1)(
,
∑
ii
i
=
— значения случайной величины,
x
i
— соответствующие вероятности
p
i
Для непрерывной случайной величины Х, определенной на отрезке [a, b]
b
⋅=
dxxfxXM )()(
∫
a
или
+∞
⋅ dxxfx )(
∫
∞−
если a = -∞, b = +∞
Здесь f(x) — плотность вероятности случайной величины Х.
Смысл математического ожидания таков
: среднее арифметическое наблюдаемых значений случайной величины приближенно равно математическому ожиданию (чем больше n, тем точнее).
149
Дисперсия
(
)
6
6
6
6
6
6
6
6
(
)
6
6
6
6
6
6
(
)
4
4
4
4
4
4
Дисперсией случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания, т.е.
2
)()( XMxMXD −=
Для дискретной величины
n
()
−=
∑
i
=
1
2
pXMxXD
)()(
,
ii
для непрерывной случайной величины
b
()
−=
∫
a
Дисперсия характеризует разброс
2
dxxfXMxXD )()()(
значений случайной величины вокруг
её математического ожидания.
Можно также искать дисперсию по формуле:
Примеры
22
))(()()( XMXMXD −=
1) Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х
— числа очков, выпавших при одном бросании игральной кости.
Решение
Случайная величина Х является дискретной.
x
pi
i
1 2 3 4 5 6
1
1
1
1
1
1
1
=
Все
p (i = 1, ... , 6), так как вероятность выпасть любой грани одна и та
i
же, а граней 6.
6
)(
∑
=i
Для вычисления дисперсии составим таблицу значений величины
)( XMxi−
1
pxXM математическое ожидание.
ii
1
2
xi
pi
)( XMxi−
1 2 3 4 5 6
1
25
2
1
9
5,3)654321(
=+++++==
1
1
150
1
1
1
9
25
1
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]