Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Сборник заданий по высшей математике с образцами решений (математический анализ). Учебно-методическое пособие
.pdf
41312
1
41312
n
1
=
α
1
41312
n
n
1<S
41312
n
01,0
n
n
41312
1
n
1001>+n, 99>n
100
S
100199
41312
n
2
n
!
n
1
n
(
)
3
(
)
!
k
б) ...
1
1
1
−nn
)1(...
+−++−+−
Ряд из абсолютных величин
гральному признаку (при
1
1 ++++++
). Исходный ряд сходится по признаку Лейбни-
1
...
...
расходится по инте-
ца, так как является знакочередующимся, члены его монотонно убывают и
стремятся к нулю, т.е.
1
1 >
...
ряд сходится условно, причём его сумма
11
>>>>>>
...
+
1
и 0
lim =
∞→nn
. Значит, этот
.
в) Сколько надо взять членов ряда, чтобы вычислить сумму
1
1
S
Если взять сумму
SS
1
S
n
() ()
1
−=−
n
ляется знакочередующимся рядом. Потребуем, чтобы
. Значит надо брать сумму
с указанной степенью точности:
1
−
n
)1(...
членов ряда
1
1
−+
1
+
1
...
+−++−+−=
с точностью до
1
1
+
nn
1
+
?
1
n
1−
)1(...
−++−+−= , то разность
1
...
2
, так как эта разность сама яв-
<+
1
+
nnn
членов ряда, чтобы вычислить
1
1 −++−+−≈S
...
1
<
01,0
+
1
, откуда
.
Примеры для самостоятельного решения
Сходятся ли данные ряды и, если сходятся, то абсолютно или условно:
∞
15)
∑
n
=
∞
19)
∑
=
n
20) Сколько надо взять членов ряда, чтобы вычислить сумму
n
()
1
−
1
n
()
1
−
1
∞
а)
∑
=
1
k
∞
б)
∑
=
1
k
1
n
1
−
−
1
k
−
1
с точностью до 0,001
k
−
1
k
−
1
с точностью до 0,001
16)
∞
()
1
−
∑
=
1
n
1
n
17)
3
∞
()
−
∑
=
1
n
n
n
1
18)
+
∞
()
−
∑
=
1
n
2
n
1
101
* Функциональные ряды. Область сходимости. Правильная сходимость
x
Xx∈
3
−
3123<−<−x
21<<−
x
3
(
)
(
)
1=xи 1−=
x
1=x
1kk
k
Функциональный ряд
– это ряд вида
∑
∞
)(
xU
, где )(xUn - некоторые
n
=1
n
функции.
Областью сходимости
тех
, для которых ряд
Функциональный ряд правильно сходится
если существует сходящийся числовой ряд с положительными членами
∞
a
, такой, что для любого nвыполняется неравенство
∑
n
=1n
функционального ряда называется множество
∞
)(
xU
=1
сходится.
n
∑
n
на некотором множестве Х,
axU ≤)(
для всех
nn
.
Ряд
∞
a
называется числовой мажорантой для ряда
∑
n
=1n
∑
∞
)(1xU
.
n
=
n
Образцы решений
а) Найти область сходимости ряда и его сумму в области сходимости:
12
−
1
+
⎛
+
⎜
3
⎝
2
12
−
⎞
⎟
3
⎠
⎛
...
++
⎜
⎝
n
12
−
xxx
⎞
...
+
⎟
3
⎠
Ряд представляет собой геометрическую прогрессию, она сходится при
12<−x
1
3
1 <
или 1
;
a
=
=
Сумма
S
1 −
−
q
−
1
б) Найти область сходимости ряда
12
x
<−
1
−
x
3
=
12
.
x
24
∞
k
∑
()
kx
=
21kk
+1
Воспользуемся признаком Даламбера для ряда из модулей членов данно-
∞
k
го ряда
lim
k
∑
k
∞→
k
1
=
1
k
+
:
2
()
+
1
kx
2
k
kxk
11
++
=
2
()
()
lim
k
kkx
11
++
+
k
⋅
∞→
k
x
2
+
k
⋅
()
k
1
111
=
2
++
x
11
Для сходимости надо потребовать
Рассмотрим отдельно случаи при
∞
k
;
∑
- расходится (сравниваем с
2
=
+1
11<
или
x
1>x
.
∞
1
)
∑
=1
k
102
1−=
x
(
)
1
k
k
(
]
−∞−
(
)
+∞
3
n
311
3
x
(
)
3
n
(
)
k
+
x
nx
x
)1(
(
)
+
−
R
=
)1(
область сходимости
x + R
∞
−
1
;
∑
k
Итак, область сходимости :
в) Показать, что числовой ряд
мажорантой функционального ряда
2
x
Т.к.
2
+
k
- сходится условно (по признаку Лейбница)
2
+
1
=
1,
;
;1 .
∞
1
∑
n
∞
1
∑
n
1
=
<
для
∞∞−∈ ,x
, то
является сходящейся числовой
n
=
⋅1
n
2
⎛
⎜
⎝
⎞
.
⎟
2
xxn
+
13
⎠
n
2
x
1
⎛
⎜
n 3
⎝
⎞
<
⎟
2
nx
13
+
⎠
1
⋅
, ряд
n
∑
n
∞
1
схо-
n
=
⋅1
дится (по признаку Даламбера). Значит, функциональный ряд сходится правильно на
∞∞− ,
.
Примеры для самостоятельного решения
Найти области сходимости рядов:
∞
21)
∑
1 5
n
=
∞
24)
∑
=
112k
n
2
−
x
⎞
⎛
⎜
⎝
⎟
⎠
k
25)
k
22)
∑
∑
n
∑
k
∞
x
=1k
∞
k
kx
=1k
∞
1
n
=1
23)
Степенные ряды
Степенным рядом
называется ряд вида
∞
n
∑
n
=
0
n
n
−=+−++−+−+
)(...)(...)()(
xxaxxaxxaxxaa
00
(1)
Областью сходимости
2
02010
a – некоторые числа)
(
n
n
степенного ряда называется множественно точек
, в которых ряд сходится.
Теорема.
Областью сходимости ряда
a
R
сти,
n
lim
=
, при этом R называется радиусом сходимости (в частно-
∞→
n
a
1
+
n
может быть равно 0 или ∞).
является интервал
Rx Rx
, , где
00
кретном примере применением одного из признаков сходимости.
x - R
0
x
0
0
Вопрос о сходимости ряда на концах интервала решается в каждом кон-
При
0
x ряд
0
примет вид
103
2
(
)
−
xycos
=
xysin
=
(
)
(
)
!
!3!2!
1
n
(
)
∞∞−
(
)
∞∞−
(
)
∞∞−
3
2
n
(
]
−
()()(
)
!
!
2
+−−++−
n
ααααα
(
)
−
321
n
n
1
n
1
+
n
11<<−
x
1=x
312
n
1−=
x
312
n
)1;1[
−
()()(
)
32221
n
n
210
n
n
область сходимости ряда (2) –интервал
Степенной ряд
цировать и интегрировать, его сумма является непрерывной функцией.
внутри интервала сходимости можно почленно дифферен-
Основные элементарные функции
α
x+1 и другие можно разложить в степенные ряды вида
x
e
1
sin
xx
1cos
x
() ()
1ln
xx
32
53
!5!3
!4!2
...
32
n
xxxx
...
++++++=
1
−
n
()
1...
−+−+−=
()
242
xxx
n
()
1...
()
n
n
∞
=+++++
......
12
−
n
xxx
−
n
n
...
+−+−+−=
! 2
n
xxx
1
−
+−+−+−=+
n
xaaxaxaa
(2)
∑
n
=
0
n
a
n
lim
=
n
∞→
a
1
+
n
n
xa
:
n
ey = ,
R R,
, где
R
x
∑
,
∞
=0n
,
...
+
! 12
...1...
,
1,1
,
.
,
x+1ln ,
α
()
11
++=+
α
1
2
...
xxx
Образцы решений
Найти область сходимости степенных рядов.
а)
1
=
a
n
32
;
a
=
1
+
n
n
xxxx
......
+++++
1
;
+
1
При
При
a
R
n
∞→
n
a
1
+
n
1 +++++
ряд ...
ряд ...
n
==
limlim
1
1
...
1
1 +−++−+−
n
1
+
lim
=
∞→∞→
nn
n
1
расходится (по интегральному признаку)
1
n
)1(...
Итак, область сходимости
б)
a
−
1
=
n
−
2
+
;
a
n
1
+
+
1
=
()
1
+
32
−
...
++
n
11
n
1
=
, 1<x ;
K
n
...
+
x
сходится (по признаку Лейбница).
.
n
2
−
xxxx
104
...
+
1,1
+
R
121<−<−
x
31<<x
1=x
312
n
3=x
312
n
)3,1[
()()(
)
!
!
33!
23!
1
n
!1n
(
)
+
(
)
∞∞−
e
x
2
!
!
32!
22!
1
n
(
)
∞∞−
3
(
)
∞∞−
x
3
(
)
∞∞−
11x
1=a
11<<−
x
При
a
∞→
n
a
n
12 <−x
;
n
==
1
+
ряд
n
1
limlim
∞→
n
1
=
n
;
1
1 +−++−+−
1
n
()
1...
...
ряд сходится
1
При
1 +++++
ряд ...
Область сходимости
3
+
a
n
a
n
∞→
a
1
+
n
−
+
()
n
==
limlim
n
−
в)
an= ;
R
n
Область сходимости
! 11+=n
!
...
.
32
−
nn
, .
1
ряд расходится
−
3
xxxx
++
...
()
∞→∞→
∞=+=
1lim
n
n
...
+
Разложить следующие функции в степенные ряды вида
области их сходимости.
xe2
г)
Используя разложение функции
димости при этом не изменится) и получим:
2
2
x
1
e
x
sin
sin
Т.к.
sin
на
3
−=
3
⋅
д)
то заменив
xx
x
, получим
5
+
5
⋅
3322
2
...
52
!5!2
()
1...
!53!3333
−+−
x
nn
xxxx
...
++++++=
1
−
n
()
1...
−+−+−=
()
1
−
n
12
−
n
, заменим x на
xxx
xxxxx
()
n
n
∞
n
xa
и указать
∑
n
=0n
(область схо-
,
12
−
n
...
+
! 12
−
12
−
+
n
! 123
−
; ,
...
;
е)
1
3
+
Т.к.
1<q ), то приняв
1
=
1
+
1<q
⇒
a
1
−
q
1
33
−−
xx
()
13<− x
⇒
,
13<x
aqaqaqa
3
xq −= , получим:
⇒
105
12
−n
(геометрическая прогрессия,
......
+++++=
3963
nn
...)1(...1
+−++−+−=
xxxx
ж)
4
3
432
434
n
4
343
x
arctg
1
2
753
n
]1 ;1
[
−
1=x
1
2
71513
n
1−=
x
1
2
71513
2793
...2793132+−+−xxx
k
!
()(
)
!
!
21!
1
n
()
3
=
4ln
3
1 ≤<− x
−+
1
⇒
3
1(4ln34ln
4
2
2
⋅
3
2
+
4
3
xxx
3
⋅
≤<− x
3
⎛
++=+=+ xxx
1ln4ln)
⎜
4
⎝
n
−
1
()
−+−
1...
⎞
=
⎟
⎠
n
3
n
.
...
+
x
n
⋅
з) Используя почленное дифференцирование или интегрирование, разложить в степенной ряд функцию
1
()
′
=
xarctg
1
+
1
=
()
1
−−
22
xx
почленно интегрируя, получим
xx arctg
1
1 +
при
при
и) Вычислить
=
т.к.
ряд
1
1
ряд
69 с точностью до 0,001.
69
6469
64
⎛
⎜
⎜
18
⎜
⎜
⎝
5
8
16
521
⎛
⎜
64
⎝
1
521
2
+⋅+ K
64
5
⎞
⎛
−+≈
⎟
⎜
64
⎠
⎝
3
⎞
001,0
<
⎟
⎠
5
⎛
64
⎞
⎟
⎠
18
⎜
⎝
5
⎛
⎞
⋅
⎜
⎟
64
⎝
⎠
32
⎞
⎟
⎠
18
1
⎛
−⋅
⎜
2
⎝
!2
521
⎛
+
⎜
64
⎝
и используем следствие из теоремы Лейбница.
()
−++−+−=
()
+=+=⋅=
+
8...
и найти область сходимости ряда:
n
2642
n
() ( )
xxxx
12753
+
n
xxxx
n
1...
n
1...
−++−+−
()
−+++−+−
5
⎞
⎟
64
⎠
1
2
5
16
⎛
⎜
⎝
...
+
+
1
...
сходятся по
+
1
1
+nn
1...
1
2
=
1
⎞
⎛
−⋅
⎟
⎜
2
⎠
⎝
!3
25
4096
...
+
признаку Лейбница.
+
3
⎞
−
⎟
32
5
2
⎛
⎞
⎠
⋅
+
⎜
⎟
64
⎝
⎠
306,8
≈−+≈−
−+−++−+−=
, т. к.
⎞
⎟
⎟
≈
⎟
⎟
⎠
1 ;1...1...1
Примеры для самостоятельного решения
Найти области сходимости рядов
1
26)
∞
k
∑
xk!
k
=
1
+
1
+
28)
30)
32
xxx
...
++++
27)
29)
2
+
++
...
n
+
1
xxx
...
+
∑
k
∞
2
k
x
k
=1
106
Разложить в степенные ряды функции и указать их области сходимости:
sin
x
x5cos
(
)
+
x51
4
3
x
e
x
10 cos
+
=
∞→n
=
z
xe−
31)
32)
1
35)
36)
−
2
1
−
33)
37)
x
22
34)
38)
Вычислить с точностью до 0,01
3
9 40)
39)
2,0
2
x∫−
dxe
0
41)*
0
∞
Ряд
∑
n
=nn
ся числовым рядом в комплексной плоскости
Если
∞
=
n
Ряды в комплексной плоскости
......
+++++=
uuuuu
3211
ibau
, то
nnn
∞
()
n
=
n
nn
с комплексными членами
∞
n
∞
+=+=
∑∑∑∑
n
=
.
biaibau
(1)
n
=
1111 n
Ряд (1) называется сходящимся
ный) предел последовательности
ряда S:
∞
b
сходятся.
∑
n
=1n
u
n
∞
∑
u
=1n
Ряд
Если предел
n
()
∞→∞→
n
1k
=
сходится в том и только том случае, когда ряды
n
S не существует (хотя бы один из рядов
n
ходится), то ряд (1) называется расходящимся
, если существует конечный (комплекс-
S частичных сумм и он называется суммой
n
n
kk
k
n
k
n
+=+==
iaibaSS
n
b limlim limlim
k
∑∑∑
∞→∞→
1k1
==
∞
a
∑
=1n
.
Необходимый признак сходимости
Если ряд (1) сходится, то его общий член
u
становится при больших n сколь угодно малым):
n
∞
u
Ряд
Степенным рядом
∞
или
∑
n
=
1
называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд
∑
n
=1n
в комплексной плоскости называется ряд вид
n
()
zza
−
0
(здесь
n
a ,
,
z - комплексные числа).
n
0
u при
n
стремится к 0 (т.е
0u lim
n
∞→n
x31ln
x
t
sin
dt
∫
t
0
u называет-
n
∞
или
b
∑
n
=1n
∞
u
∑
=1
n
∑
n
∑
∞
∞
=1
=1n
n
n
a
n
рас-
.
za
n
и
n
107
Теорема Абеля
≠
=
=
3
2
n
(
)
()()(
)
!
!
21!
1
+−−++−
n
ααααα
α
(
)
e
()(
)
z siniz +=cos
ziz
eizsin
cos+=
2
i
2
Если степенной ряд
сходится во всех точках z для которых
zz
в точке
, то он расходится во всех точках z, для которых
1
∞
n
za
сходится в точке 0
∑
n
n
=1
zz <
0
Областью сходимости
zz , то он абсолютно
0
. Если степенной ряд расходится
zz >
степенного ряда
является круг радиуса R, с центром в точке О,
a
n
lim
=
n
n
0
.
∞→
a
1
+
n
область сходимости – круг радиуса R с
Для степенного ряда
центром в точке
z .
0
где
∞
()
∑
n
n
=
1
R
zza
−
Разложение элементарных функций в степенные ряды в комплексной
плоскости:
1
∞
n
za
∑
n
n
=1
...
32
32
!3!2!1
n
zzzz
...
++++++=
n
!
−
n
1
1...
()
−+−+−=
n
()
1...
()
2
z
⎛
⎜
⎝
z
e
1
zz
sin
z
1 cos
() ()
1ln
α
()
z
11
32
!3!2!1
53
!5!3
!4!2
zz
z
++=+
Заменив z на iz в разложении
iz
1
e
- Формула Эйлера
Следствия
cos
z
=
iziz
−
ee
+
sin
сходятся
⎫
⎪
⎪
−
n
12
zzz
n
()
−
n
242
zzz
! 2
n
zzz
1
−
n
⎪
...
+
⎬
! 12
⎪
⎪
...
+−+−+−=
⎪
⎭
плоскости
n
...1...
+−+−+−=+
...
z
получим
zziziziz
−+−=++++= ...
1...
iz −
e
z
=
...
!4!2
iz
e
−
- формулы Эйлера
108
всейво
йкомплексно
1<z
1...1
n
n
...
+
z
5342
⎛
⎞
zi
⎜
⎟
⎝
⎠
zz
−+−+
!5!3
1<z
⎞
=
⎟
⎠
(
)
e
π
e
π
.12
sin2cos=+
=
π
π
i
(
)
)21
ln(
x
−
Образцы решений
а) Изобразить на комплексной плоскости множества
1
i
+
⎛
⎜
1 2
⎝
n
i
⎞
,
⎟
⎠
n
1
==
()
n
⎞
⎟
⎠
2
.
, а ряд
n
1
2
.1
<=q
∞
1
∑
n
=1
()
сходится как гео-
n
2
б) Выяснить, сходится ли ряд
Составим ряд из модулей
ii
при этом
1
+
⎛
⎜
2
⎝
1
+
⎞
=
⎟
2
⎠
∞
∑
n
=
∞
1
+
⎛
⎜
∑
1 2
n
=
⎝
nn
2
n
2
метрическая прогрессия со знаменателем
Значит, исходный ряд сходится абсолютно.
в) Вычислить
i
2
i
2
Образец заданий на коллоквиуме
1) Числовой ряд, сходимость, сумма, необходимый признак сходимости (с
доказательством).
2) Теорема Лейбница о знакочередующихся рядах, оценка остатка ряда.
Пример.
3) Сходятся ли ряды
∞
+
5
n
а)
∑
n
=
; б)
3
()
+
2
n
1
4) Сходится ряд (абсолютно или условно) или расходится
5) Разложить в степенной ряд
1
6)* Вычислить
2
∫
0
1 x
n
∞
2
∑
2
n
=1
n
dx
с точностью до 0,001.
3
+
n
∞
−11
∑
n
=
n
и указать область сходимости
109
Тригонометрические ряды (ряды Фурье)
(
)
π
2=T
2
(
)
=
π
2=T
[
]
π
π
−
(
)
()(
)
2
ο
ο
−++
[
]
π
π
−
(
)
2
2
2
2
Рядом Фурье
для периодической функции
xf с периодом
ряд
∞
a
0
∑
=
1
π
1
()
=
0
∫
π
−
π
n
1
;
dxxfa
=
n
π
π
∫
−
π
()
cos
++
sincos
nxbnxa
, где
nn
π
1
;
nxdxxfa
=
n
∫
π
−
π
Теорема. (признак Дирихле)
Если функция
монотонна на промежутке
xfy
– периодическая с периодом
,
и имеет на нём не более, чем конечное
число точек разрыва 1 рода, то её ряд Фурье сходится к сумме
каждой точке непрерывности и к сумме
()
sin
xfxf
называется
nxdxxfb
, кусочно-
00
в каждой
xf в
0
точке разрыва. (Функция называется кусочно-монотонной на
ли этот промежуток можно разбить на конечное число
промежутков, в
каждом из которых функция монотонна.)
График периодической функции
xf , удовлетворяющей теореме
Дирихле:
∞
a
График суммы
0
∑
=
1
n
++
sincos
nxbnxa
, где
nn
a и nb вычислены по
n
приведённым выше формулам:
Как видно из рисунков, отличаются лишь значения в точках разрыва.
В дальнейшем будем использовать следующие обозначения частичных
a
a
S =
0
0
0
;
a
xbxa
++=
11
0
;
S 2sin2cossincos
2
сумм ряда:
S sincos
1
,
, ес-
++++=
xbxaxbxa
, ...
2211
110
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]