Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Сборник заданий по высшей математике с образцами решений (математический анализ). Учебно-методическое пособие
.pdf
Глава 3. Неопределенный и определенный интеграл
′
=
xab∈ (,
)
FxC()
+
fxx()
sin=2
1
x
3
′
3
8
′
=
=
1
2
′
2
3
′
Первообразная. Неопределенный интеграл.
Функция F(x) называется первообразной функции f(x) на проме-
жутке (a, b), если выполняется соотношение
Теорема
.
Множество всех первообразных данной функции f(x) имеет вид
где F(x) — некоторая первообразная, а С — произвольная постоянная.
Иными словами, все первообразные отличаются друг от друга на
константу.
Образцы решений
Найти первообразные функций.
fx x()=
а)
Решения.
fx x x()==
а)
неё была равна
5
3
x
5
+
53
53
+
1
8
3
3
xx
==
8
1
; б)
5
3
. Надо найти такую функцию F(x), чтобы производная от
5
3
. Такой функцией является
3
83
, т.к.
8
; в)
8
3
⎛
⎞
3
xx
⎜
⎟
⎝
⎠
8
Итак, всё множество первообразных имеет вид
Fx fx() ()
fxx()=
5
3
= .
13
+
для всех
.
83
xC+
.
.
,
б) Подберем F(x) так, чтобы
Видим, что
1
⎛
− +
⎜
⎝
2
в)
fx
Fx x C() cos= − +
⎞
2
13
= −− ⋅=
⎟
⎠
1
=+
x
+
Убедимся в том, что
Действительно,
Fx x x x
13
()() ()()
′
Fx fx x() () sin2.
2
, т.к.
1
22 2cos ( sin ) sinxC x x.
2
1
−
2
.
x() ( )=
Fx x()=+
=+
2
3
⎛
13
⎜
⎝
13
1
⎞
2
⎟
⎠
.
1
231
= ⋅⋅+ ⋅ +′=
2
−
2
13 13
1
+
13
.
x
Совокупность всех первообразных функции f(x) называется
неопределённым интегралом
fxdx Fx C() ()
образом,
∫
=+
от f(x) и обозначается
fxdx()
∫
. Таким
, где F(x) — какая-либо первообразная
функции f(x).
31
Операция нахождения неопределенного интеграла называется
fxdx()
(
)
(
)
′
(
)
dfx(
)
′
=
′
(
)
()(
)
αα=+
1
x
x
cos
x
sin
интегрированием
f(x) называют подынтегральной функцией,
выражением.
Интегрирование и дифференцирование — взаимно обратные операции.
f x g x dx f x dx g x dx() () () ()±= ±
1)
∫∫∫
kfxdx k fxdx⋅ = ⋅
2)
3)
4)
5)
Напомним, как связаны дифференциал функции
fx():
Для сложной функции
Для того, чтобы облегчить нахождение первообразных вводят таблицу
неопределённых интегралов.
() ()
fxdx fx() ()
∫
fxdx fxdx() ()
d
∫
′ =+
fxdx fx C() ()
∫
1.
.
Свойства неопределенных интегралов
∫∫
=
=
Таблица неопределенных интегралов
+∫1
α
x
α
xdx
.
.
.
.
df x f x dx() ()
fxϕ()
df x f x d xϕϕϕ() () ()= ′⋅
C
+ ≠−
1,( ) .
— подынтегральным
.
и производная
dx
2.
∫
3.
∫
sin cosxdx x C= − +
4.
∫
5.
∫
6.
∫
7.
∫
xC=+
ln
cos sinxdx x C=+
dx
2
dx
2
xx
edx e C
=+
.
tgx C
=+
ctg x C
= − +
.
.
.
.
.
32
8. adx
a
ln
xaa
a
1
+
−
x
ch
x
sh
a
′
′
1
x
x12
+∫cos
2
3
3
5
55555
5
ln
ln
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
x
=+
∫
dx
∫
∫
22
∫
∫
22
xa a
=+
22
ax
−
dx
=+
dx
=+±+
22
xa
±
dx
=
2−
∫
∫
dx
∫
2
dx
∫
2
C
.
x
arcsin .
arctg
ln .
1
ln
+= Cx chdx x sh
+= Cx shdx x ch
+=
Cx th
C
a
x
C
.
22
xxaC
xa
xa
.
C
+
+
.
.
.
+−=
Cx cth
.
x
a
Проверка каждого из этих соотношений может быть осуществлена с
помощью операции дифференцирования, например, проверим соотношение 10:
x
1111
⎛
arctg
⎜
⎝
a
C
+
a
⎛
⎞
arctg
=
⎜
⎟
⎝
⎠
a
′
x
⎞
= ⋅
⎟
⎠
aa
+
1
x
⎛
⎞
⋅
= ⋅
⎜
⎟
2
⎝
⎠
x
aaaxaaxa
2
2
111
⋅ =
22 22
+
+
Получена подынтегральная функция, стоящая в левой части равенства 10.
Значит, доказано равенство.
Образцы решений
Найти неопределенные интегралы от следующих функций:
C
x
dx
∫
; е)
;
7
x
2
cos
∫
2
3
x
2
1
3
CxC
2
xx
dx
.
23
.
.
а)
г)
Решения.
а)
б)
; б)
dx
∫
3
x
dx
2
x9
−
; д)
∫
1
1
∫∫
3
x
11xx x
−−
555
∫∫ ∫
−
3
==
dx x dx
dx dx dx C C
= ⋅ ==⋅ += +
−
51xdx
; в)
∫
dx
1
− +
1
3
x
+= +=⋅ +
1
1
− +
1
5
33
1
2
xdxxdxx
1221212
+
cos
cos
cos
2122cos
cosxx=+
cos
21212121212
+
x
x
1
2
+
cosxx
cos
cos
sin
2
x
xdx⋅
2
x
(arccos
)
arccos
2
x
164+
x
в)
∫∫∫∫
7
x
2
x
== = =−+=−⋅ +
dx
7
x
1
−−
7
2
dx x dx x dx
11
13
−
2
x
2
11
2111
C
.
C
11
x
dx
г)
∫∫
222
−
x
93
dx
д)
∫∫∫
dx
=
== =+
=+
−
x
22
x
arcsin .
C
3
tgx C
(здесь использовано соотношение
е)
dx
cos
∫∫ ∫∫
=
x
2
x
dx dx xdx x x C
=+ =+ +
cos sin
Примеры для самостоятельного решения
xdx
1)
∫
10xdx
4)
∫
xxe x
7)
∫
10)
∫
13)
tg2xdx
∫
()
12
16)
∫
xx
2) xdx
5)
x
32
− +
dx
−
+
22
()
1
dx
3
2
x33
8)
11)
14)
2
xdx
17)
+
∫
23
∫
∫
∫
2
3)
dx
6)
x2
12−
z
⎛
⎞
9)
dz
⎜
⎟
⎝
⎠
z
2
1
+
cos
+
x
1
+
dx 12)
2
dx
2
∫
xdxctg
15)
()
1
∫
()
xx
Метод подведения множителя под знак дифференциала
Образцы решений
Найти неопределенные интегралы от следующих функций:
а)
г)
ж)
()xdx−∫2
45−∫xdx
tgxdx
∫
; б)
cos (cos )xd x
∫
; д)
; з)
; в)
sin ( )22xd x
∫
xdx
∫
∫
; е)
2
1−
x
dx
; и)
2
−
x94
9
.
dx
∫
2
()12−∫udu
23
xx
∫
∫
2
sinxdx
∫
;
dx
∫
xdx
∫
)
.
4
−
dx
x
x
22
2
;
.
34
Решения.
10
−=−′=
10
()x−2
2
cosxt
=
2
2
2xt
=
5
2
dxdx()45
5
−=−
1
5
2
1
2
x
(arccos
)
arccos
arccos
xt=
t
а)
б)
в)
г)
99
() ()()
xdxxdx
222
∫∫
()
Здесь использованы соотношения
10
t
9
tdt
∫
cos (cos )
xd x
∫
(если обозначить
sin ( ) cos22 2xd x x C
∫
(если обозначить
1545
= −⋅
C
=+, где роль t играет
2
cos
x
=+
C
, то получим tdt
= − +
.
, то получим
1
1
2
3
()
2
x
−
CxC
+=−−+
3
)54(54
∫∫∫
2
45
()
15
10
x
−
2
C− = −−=
+
.
dx x dx dx()()
22 ,
.
t
sin costdt t C = − +
∫
1
2
3
xdxdxxdxx
.
22
C
cos
x
C ∫=+= +
).
).
=−−−=−=− )54()54(
(здесь использовано соотношение
откуда
dx d x= −−
xdx
= ⋅
д)
∫∫ ∫
2
1
−
x
2
()x
−
1
= ⋅
2
1
1
(здесь использовано соотношение
45() ).
1
2
1
2
2
1
−
dx
()
2
1
−
x
2
Cx C
+= − +
1
1
= ⋅− −=
xdx
()()
2
.
xdx d x = −
dx
е)
∫
ln arccos
=+
xC
.
(если обозначить
dt
tC xC
=+= +ln ln arccos
∫
).
35
,
1
−
2
2
2
11
2
()
1
).
, то получим
x
2
2
2
122
122
(
)
1
2
2xt
=
1
1
2
1
2
taa
a
1
+
+
sin
cos
x
cos
x
x
1
+
x
ж) tg
∫∫ ∫ ∫
2
sin
dx
2
==⋅
x
cos
dx
x
sin
2
cos
x
⎛
⎞
2
d
⎜
⎟
x
⎝
⎠
2
2
= −⋅
d
(здесь использованы соотношения
dx dx=
з)
∫∫
⎜
⎟
⎝
⎠
2
dx
= ⋅
222
x
−
94
⎛
⎞
2
xdx
;
sin cos
22 2
dx
32
−
()
⎛
⎞
= −
⎜
⎟
⎝
⎠
= ⋅ +
x
⎛
d
⎜
⎝
arcsin
x
⎞
).
⎟
⎠
x
C
3
x
⎛
⎞
cos
⎜
⎟
⎝
cos
2
x
⎠
2
= −⋅ +
x
ln cos .
C
2
.
(здесь использовано соотношение
2
()
22 2
+
, то получаем
t
C
121
= ⋅⋅ +=⋅ +
если обозначить
dt
⋅
∫
2
xdx
∫∫
16
+
= ⋅ +=⋅ +
22
3
4
x
2312
t
−
dx
1
= ⋅
x
24
()
dx d x=
arctgxCarctgxC
44184
2()
;
x
Carcsin arcsin
).
3
22
.
(здесь использованы соотношения
xdx d x =
2
()
;
dt
∫
22
=+
arctg
t
C
).
Примеры для самостоятельного решения
sin (sin )xd x
18)
∫
dx
()1
20)
∫
+
1
22)
24)
26)
28)
30)
32)
34)
36)
dx
∫
x()23
−
82−∫xdx
xxdx12−∫ 27) xx dx
xdx
∫
2
x
3
sin (sin )
xd x
∫
xdx
∫
2
ln (ln )xd x
∫
()arctg x dx
∫
19)
2
21)
2
x
23) ()83
5
25) 21
29)
1+
31)
33)
35)
2
37)
2
3
tg xd x
()tg
∫
15
()xdx+∫1
5
−∫xdx
2
xx dx+∫
235
3
xdx
∫
4
3
1+
x
3
sin cos
xxdx⋅∫
xdx
∫
2
3
sin
x
ln x
dx
∫
∫
6
2⋅ +∫
dx
32
1 −
xx(arcsin )
36
38)
x
1
+
+
x
(arcsin
)
arcsin
()2
3
3
8
x
x−−
+
x21
−
x21
+
x
1
+
e
+∫1
xxln
x192+
x41
+
x
4
+
x
x
x
x−+
+
−
+
+
+
155
6
565
55()(
)
∫
40)
cos3xdx
∫
cos( )12−∫xdx
42)
dx
44)
∫
46)
∫
48)
∫
edx
50)
52)
ctg x dx
∫
54)
∫
56)
adx
∫
58)
edx
60)
∫
62)
∫
64)
∫
66)
∫
68)
∫
2
2
()1
2
xdx
2
xdx
49)
x
51)
x
dx
55)
x3
57)
x− +∫31
59) exdx
x
⎞
⎛
d
⎟
⎜
⎠
⎝
3
x
⎛
−
1
⎜
⎝
3
dx
63)
dx
x49
−
xdx
24
ax
−
x
2
dx
x
14
−
39)
+ x tgxdx1cos
41)
43)
45)
47)
cos ( )33xd x
∫
sin( )23xdx−
∫
eedx
∫
∫
∫
∫
tg x dx
∫
53)
tg x dx3
∫
∫
adx
∫
61)
2
⎞
⎟
⎠
∫
∫
65)
2
67)
∫
∫
xx
sin( )
dx
dx
2
xdx
3
sin
xdxexcos
x−
2
x
⋅∫
dx
2
x125
−
dx
2
x4
−
xdx
2
xdx
6
Выделение “целой части” подынтегральной функции
Образцы решений
x
а)
∫∫ ∫∫ ∫
dx
x
=
dx dx
= −⋅+= −⋅
dx
dx
x
6
=
= −⋅ ++xxC65ln
;
37
3
213
2
1
3
2135332−+
+
+
+
x
x
x
x
+
+
13593
2
3
21359
x
(
)
x22
−
x
x−2
x
x−2
x
x22
−
x+2
2
x
24x
−
4
xxx22
2
−
−
x
x
2
2
2
−
−
xdx+∫4
xdx21+
3
3+−
x
x
+
−
2
2
1
x
+
x
1
−
x
2
+
()
= −
32
3
−
1
б)
x
dx
∫∫∫ ∫∫
= −
x
dx
2
+ −−
x
3
1
= − +
dx dx
dx
=
= − +
dx
∫
= − + ⋅ ++
xxC
32x
ln
.
Выделение целой части можно также осуществить, деля многочлен,
стоящий в числителе, на многочлен, стоящий в знаменателе “углом”.
Образец решения
x
2
Разделим
2
_
_
на
Итак,
x
=++
22
x
dx x dx
=+ +⋅
∫∫∫
() ln .
4
2
.
24
dx
x
24 2
=++⋅−+
xxC
Примеры для самостоятельного решения
69)
71)
73)
75)
x
; 70)
x
dx
∫
∫
∫
; 72)
2
x
11−
dx
; 74)
2
3
x
dx
.
x
∫
x
∫
∫
;
dx
;
4
x
dx
;
38
Интегралы вида
+ +
+ +
∫ ∫
−
(
)
−
−
−
−
3
−
(
)
−
3
2
x
x2710−
+
x
x223+
+
sin
cos
1xx+= 1222+=cos
cosxx 1222−=cos
sinxx
1
2
1
2
1
2
cos
1
62121
2
1
2
+
1
2
6
121
12
dx
2
ax bx c
,
Образцы решений
а)
б)
в)
dx
∫∫∫
222
− +
xxdxx
dx
∫∫∫
xx
()
=
45 2 1221
=
−
6633916
− +
()
dx
22
xxdxx
−
dx
∫∫ ∫ ∫
=
22 2 2
xx
−−=−−+
x
+arcsin
C
.
=
()
()
=
()
−−
dx
xx
()()
Примеры для самостоятельного решения
dx
76)
78)
80)
82)
∫
∫
∫
∫
; 77)
1
xx()−
dx
xx()( )+ −
12 3
dx
2
14
x()− +
dx
− +
()
; 79)
; 81)
; 83)
2
x12 3
Интегралы от тригонометрических функций
Напомним основные формулы тригонометрии:
22
dx
2
ax bx c
dx
− +
x
=
=
∫
xx()+
∫
∫
∫
.
= − +
arctg x C
x
ln ln
x
− +
dx
x
−− +
dx
1
dx
dx
dx
2
xx
45− +
2
()
33
C
+=
3316
=
;
;
;
.
.
x
6
.
+
C
x
dx
43
−−
()
=
x65 65 34
cos cos cos( ) cos( )xy xy xy⋅ =++−
sin sin cos( ) cos( )xy xy xy⋅ = −− +
sin cos sin( ) sin( )xy xy xy⋅ =++−
2
а)
cos
∫∫ ∫∫
+⋅⋅ =+ +
()
()
()
Образцы решений
3
xdx
∫
=
66
x
dx dx xdx x
= ⋅ + ⋅ =+
cos
6cos ( ) sinxd x x x C
39
6
.
54 22 2
231
5
5
3
2
2
2
2
2
x
x
x
x
xxxx
x
sin
sin
cos
sin
cos
sin
cos
x1−∫cos
1
1−+
cos
cosxx
x
cos
б)
sin sin sin ( cos ) (cos ) ( cos
∫∫ ∫ ∫
+=− + − =
= − + − +cos cos cosxxxC
= ⋅ = −− = −− +
424
cos ) (cos ) (cos ) cos (cos ) cos (cos )
∫∫ ∫
35
в)
г)
д)
sin
dx
cos
x
sin2
dx
3
xdx
xx
sincos
∫∫
dx
xx
cos
sin
+
xd
)(sin
x
=
112xdx x xdx x d x x
2xd x d x xd x xd x
2232
−
42
x
cos
2
cos2
sin
22
cossin
dx
tgxd
tgx
∫∫∫
321
cos
xd
cos
)(coscos)(coscos
xxdxxd ++−=+−=
dx
∫∫∫∫
xx
2
dx
53
cos
x
tgd
)
(
2
x
tg
cos
∫∫∫∫
xd
)(sin)(
tgx
∫∫∫∫
sin
ln
x
22
xx
C
x
ln
tg
2
xdx
33
=−−==
xdxxxdxxxxdxx
cos)cos1(cossinsincossincos
.
+====
C
.
=+=
1
sin2
.
C
+−=+=+=
2332
x
Примеры для самостоятельного решения
84)
86)
cos2xdx
∫
; 85)
dx
; 87)
sin2xdx
∫
∫
;
dx
;
cos sinxxdx⋅∫3
88)
90)
sin sin25xxdx⋅
∫
92)
sin4xdx
∫
3
x
sin
94)
dx
∫
4
; 89)
; 91)
; 93)
∫
∫
∫
40
cos cos23xxdx⋅
cos3xdx
⋅ xdxx5sincos
;
;
;
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]