Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Сборник заданий по высшей математике с образцами решений (математический анализ). Учебно-методическое пособие
.pdf
92)
x
x
x
2
sin
x
x
x
1000
x
x
x
x
x
≈
e
x
(
)
+
x
0→x
x
ex~1−
(
)
+
(
)
axaxln~1
−
a
ln
2
e
e
(
)
x
x
x
2
sin
2
x
2
lim
95)
lim
98)
lim
101)
3
x
cos1
−
1→
94)
xxsin
97)
xxcos
100)
sintg
xx
103)
3
x−→
x ∞→
cos1
x
93)
2
0
xxsin
96 )
∞→
cos
x
99)
2
3
+
lim
x
→
xx
0
x
20arctg
102)
lim
x−→
0
lim
x
→
lim
lim
0
0→
Второй замечательный предел и его следствия
n
1
⎞
⎛
+
1lim
⎜
∞→
n
⎝
e
=
— второй замечательный предел
⎟
n
⎠
2,71828...
Следствия
⎛
+
1lim
⎜
∞→
x
⎝
()
1lim
x
→10
x
1
⎞
e
=
⎟
x
⎠
x
ex
=+
lim
→
x
lim
x
x
e
1
−
0
→
x
1ln
0
Таблица эквивалентных бесконечно малых
при
xx ~1ln
x
lim
x
0−→
lim
x
0→
lim
x+→20
lim
0
x
→
1
=
1
=
4cos1
xx
tg5
x
10sin
x
20arcsin
55
xx
4coscos23
−−
46
xx
tg
b
bxx
~11 −+
()
a
x
x
~1log + xx
1
~11 −+
Образцы решений
2
−
x
⎛
⎛
⎜
x
⎜
2
⎛
−
1lim
а)
⎜
∞→
x
x
⎝
б)
lim
x
0+→
arctg
2
x
e
в)
lim
x
0−→
⎜
⎞
⎟
⎠
1
⎜
1lim
=
⎜
x
∞→
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎝
x
51ln
lim
=
0→
x
2
x
=
lim
x→
0
−
⎞
2
⎞
⎟
⎟
+
xx5
=
2
−
=5
⎟
x
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
2
⎠
1
⎟
1
⎟
1
2−
=
=
2
11
x
x
x
x
n
n
x
(
)
x
(
)
x
3
sin
x
6
sin
x
(
)
x
2
x
6
x
x
9
x
7
(
)
x
35
x
6
x
(
)
(
)
=
(
)
()(
)
2
−
⎞
=
⎟
xx
1
+
⎠
г)
lim
x
x
x
1
−
⎞
⎛
⎜
⎝
x
∞→
=
⎟
x
1
+
⎠
⎛
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
1 lim
+=
⎜
x
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎝
x
⎛
lim
⎜
x
⎝
−
2
x
+
1
x
+
⎞
−
2
⎞
⎟
⎟
1
⎟
⎟
⎟
1
+
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
2
−
⎠
x
2)1(
−+
⎞
⎟
1
+
⎠
x
1
−
2
e
⎛
1 lim
+=
⎜
∞→∞→∞→
x
⎝
1
==
2
e
Примеры для самостоятельного решения
104)
107)
110)
113)
116)
119)
122)
125)
128)
131)
x
x
x
lim
x
lim
x+→
lim
x
lim
x
lim
→
x
lim
→
x
1
⎛
⎞
+
105)
1lim
⎜
⎟
∞→
x
⎝
⎠
2
⎛
⎞
+
108)
1lim
⎜
⎟
∞→
x
⎝
⎠
3
⎛
⎞
−
111)
1lim
⎜
⎟
∞→
x
⎝
⎠
x
21ln
0−→
2
0
2
∞→
0−+→
3
0
⎛
1lim
⎜
±∞→
⎝
0
114)
61ln
xx
3
5tg
x
xx
13
−+
x
11
123)
2
xx11
−+
2
x
1
⎞
+
129)
⎟
2
x
⎠
7
x
1
−
e
117)
120)
126)
2
32
−+−
xx
121
lim
lim
lim
lim
lim
132)*
1
⎛
−
1lim
⎜
x
∞→
x
⎝
+
1
n
⎛
⎜
n
∞→
n
⎝
()
x
1lim −
0
x
→
x
5
e
1
−
→
x
0
5
5
0
→
x
lim
+∞→
3arctg
x
0→
0
→
x
→
0
lim
x
0
→
⎞
106)
⎟
⎠
⎞
109)
⎟
⎠
1
x
112)
115)
32
1181
−−−
xx
32
121
−+−
xx
xxx−+
1
121)
x
2
xx−+
2
()
41
()
151
127)
sin
x
sin1lim +
2
xx
−+
22
−
tgxx
72ln
+
124)
1
133)*
⎛
⎜
x
∞→
⎝
⎛
lim
⎜
n
∞→
⎝
lim
0+→
lim
0
x
→
118)
lim
0
x−→
lim
x
0+→
⎛
⎜
∞→
x
⎝
x
130)
lim
x
1
1lim
+
n
+
n
x
−
e
−
lim
x
+
1lim
2
→
x
0
→
Непрерывность функции
Функция
существует конечный предел
lim xfxf
x , т.е
ке
0
xf
называется непрерывной в точке
xf
lim
.
xx=→
0
0
, который равен значению функции в точ-
xx
→
0
x (или при 0xx
0
Если функция непрерывна в каждой точке некоторой области, то она на-
зывается непрерывной в этой области
.
12
x
3
⎞
⎟
x
⎠
⎞
⎟
1
⎠
xx31ln
1
x
+
x
3
⎛
⎞
⎜
∞→
⎝
2
251ln
1
x
()
0
()
⎟
+
x
1
⎠
3cos1
x
x
x
⎞
⎟
⎠
x
2
31lim
x+
15sin41
−+
x
3ln23ln
−+
x
), если
Точки разрыва функции
(
)
()(
)
−
=
()(
)
+
=
()()(
)
≠+=
−
(
)
()(
)
+≠−
()(
)
−−+
(
)
(
)
−
(
)
+
∞
(
)
()()(
)
+=−
=
baxy
+
=
xysin
=
xycos
=
=
xtgy
=
x
ctgy
=
(
)
[
]
(
)
[
]
(
)
bxa≤≤
(
)
[
]
xf существуют конечные односторонние преде-
лы в точке
+→
xx
0
кой устранимого разрыва.
xf существуют конечные односторонние преде-
лы в точке
x называется точкой разрыва 1-ого рода.
0
ронних пределов:
xf в точке 0x хотя бы один из односторонних
пределов
или равен
ого рода или точкой бесконечного разрыва.
Для непрерывности функции
00
чтобы
xfxfxf
000
Элементарные функции
; cbxaxy ++=
2
;
непрерывны на всей числовой оси;
xy =
; xy
log
;
a
ределения.
Свойства непрерывных функций
Функция
xf , непрерывная на отрезке
свойствами:
xf
ограничена на
1)
Mxf ≤
при всех
xf достигает на
2)
bа, , т.е. существует некоторое число M такое, что
;
bа, своего наибольшего и наименьшего значения;
I. Устранимый разрыв
0lim
xfxf
и при этом
0
0
00 xfxfxf
II. Разрывы 1-го рода
x и при этом
0
. Если для функции
x :
0
−→
xx
0
0
, то
x называется точ-
000
0
. Если для функции
0lim
xfxf
0
00
xfxf
00
Скачок функции — это разность односто-
00
xfxf .
00
II. Разрывы 2-го рода
0
xf или
0
, то
x называется точкой разрыва 2-
0
xf в точке 0x необходимо и достаточно
. Если для функции
0
xf не существует
0
.
3
xy = ; 4xy = ; xay = ;
;
и др. – каждая в своей области оп-
;
bа, , обладает следующими
и
, то
–
13
3)
(
)
(
)
=
α
(
)
=
β
(
)
≤<≤
β
α
BA<
BCA<<
γ
=
x
(
)
βγα
<
<
(
)
=
γ
(
)
=
[
]
()(
)
<
⋅
(
)
(
)
=
2
+
(
)
(
)
0223=−+xx
(
)
(
)
+∞∞−
∈
(
)
<−=
(
)
>
=
(
)
2
432
xf принимает все промежуточные значения между наименьшим и
наибольшим, т.е. если
ково бы не было число С,
ние
отрезка
В частности, если непрерывная функция
bа, значения разных знаков, т.е.
ba, находится хотя бы один корень уравнения
такое что,
Af
и
, найдется по меньшей мере одно значе-
Cf
Bf
,
.
ba
и
xfy
принимает на концах
0
bfaf , то в интервале
0
xf :
, то, ка-
Для приближенного нахождения этого корня используют метод половин-
ного деления (метод дихотомии). Рассматривают значение функции в сере-
дине отрезка, т.е. в точке
+2ba
⎞
⎛
f
ния
⎜
⎝
же процесс до тех пор, пока длина интервала не станет меньше удвоенной
степени точности. Тогда в качестве решения можно взять любую точку полученного интервала, обычно при этом берут середину этого интервала.
а) Найти один из корней уравнения
Решение
Заметим, что
Найдем его середину
Теперь рассмотрим интервал
f .
3
3
⎛
⎞
⎛
=
⎜
⎟
⎜
⎝
4
4
⎝
⎠
и
af или
⎟
⎠
223−+= xxxf - непрерывная функция при
f ,
3
⎞
2
⎟
⎠
020
1
=x
27
3
2
64
4
ba
, затем берут тот интервал, в котором значе-
+2ba
⎞
⎛
f
⎜
⎝
Образцы решений
f . Значит, корень лежит в интервале
1
⎛
: 01
f .
⎜
2
⎝
1
⎛
⎜
2
⎝
1
2
и
⎟
⎠
011
3
1
⎞
⎛
⎞
=
⎟
⎜
⎟
2
⎠
⎝
⎠
⎞
1;
, его середина
⎟
⎠
5
0
<−=−=−⋅+
64
bf разных знаков и повторяют тот
с точностью до 0,1.
;x .
1
1
2
2
2
<−=−⋅+
8
1
1
+
2
=
=x
,
1;0 .
14
872
3
81438
16132
8,0≈x
=
=
=
3<x
03>−x
3>x
03<−x
(
)
−
∞
=
=
−
=
=
−
=
(
)
=+−=+
(
)
()(
)
≠
−
=
()(
)
=−=
−
1
3
⎞
Берем теперь интервал
3
7
7
⎞
⎛
⎞
⎛
=
f
⎟
⎜
8
⎠
⎝
2
⎟
⎜
8
⎠
⎝
⎛
, его середина
1;
⎟
⎜
4
⎠
⎝
7
2
=−⋅+
8
−
512
128343
Значит, корень лежит в интервале
его длина
7
<==−
2,0125,0
0
>
.
7
3
⎞
⎛
;
,
⎟
⎜
8
4
⎠
⎝
, т.е. удвоенной степени точности. Значит, про-
+
4
=x
,
=
цесс можно закончить. Возьмем в качестве решения середину этого интервала
3
+
874
=x
б) Исследовать функцию
1
x .
2
Решение
Функция
левый и правый односторонние пределы.
03xx
−→
03
x
Поскольку один из односторонних пределов
функция терпит разрыв 2-ого рода (бесконечный разрыв).
В точке
в) Исследовать функцию на непрерывность:
Решение
≈=
8,0
. Итак,
1
15
, т.к.
, т.к.
xxf−=3
()
1
∞+
3
−
1
3
−+→x
+∞==
1515lim
∞−
01515lim
==
1
x функция непрерывна:
2
()
15
в точке 3
x не определена. Найдем в этой точке
1
⇒
⇒
1
xxf−=3
на непрерывность в точках 3
x и
0
xf равен
0
1
−→x
3
x
1
1
2
()
xf
, то в точке 3
151515lim
==
⎧
⎪
2
=
⎨
⎪
⎩
−≤+
xпри x
>+−
1
x
1
,xпри x
1,2
≤<+
11,1
.1,3
,x-при x
Данная функция определена при всех значениях x. Разрывы могут быть в
точках
x и 1
1
x . Найдем в этих точках левый и правый односторонние
2
1
пределы (полезно сделать чертеж).
1
x
1
01
−−→xx
2
01
+−→xx
limlim
xx 0101
Скачок функции в этой точке равен:
+−→−−→
1212lim
2111lim
=+=+
xfxf
⇒ 1
x - точка разрыва 1-ого рода.
1
xfxf
0101
−−→+−→
xx
112limlim
.
15
=
x
(
)
(
)
()(
)
=+−=+−=
()()(
)
=
=
=
=
=
=
=
2
x
x
1
zabi=+
i21=−
az=
Re
bz=
Jm
zabi=+
biaz−=
zabi=+
b=0
za=
ab==0
z=0
=
+
=
+
=
=
=
+
=
+
+=++⋅
+
−=−+⋅
−
2
1
01
−→
x
1
<
x
01
+→
x
1
>
x
2
xxf
01
−→
x
xxf
01
+→
x
0101
xx
+−→−−→
Примеры для самостоятельного решения
2111limlim
=+=+=
2313limlim
1limlim
fxfxf
⇒ в точке 1
x функция непрерывна.
2
134). Исследовать функции на непрерывность в точках
1
а)
б)
()
()
5
4−=xxf
1
2
3−=xxf
; 5
; 2
x и 7
x и 3
x .
1
1
2
x .
2
Исследовать функции на непрерывность.
⎧
⎪
⎪
⎪
=
()
xf
⎨
⎪
⎪
⎪
⎩
3
+
x
г)
+
135) а)
()
xf
136) а)
≤
0,sin
⎧
⎪
=
⎨
⎪
⎩
y
=
,x x
≤<
10,2
>
.1,
x x
2
x
б)
−
,x x
б)
2
=
y
Комплексные числа
Комплексным числом
называется выражение вида
действительные числа, i — мнимая единица, т.е.
При этом a называется действительной частью
значается
ется
Запись
Число
, b называется мнимой частью комплексного числа, обознача-
.
называется алгебраической формой комплексного числа.
называется комплексно-сопряженным к числу
Свойства комплексных чисел
1) Если
2) Если
3) Комплексные числа
aa
12
, то
, то
и bb
.
12
— действительное число.
.
zabi
111
и zabi
222
называются равными, если
Действия над комплексными числами в алгебраической форме
zabi
zz aa ibb
1)
zz aa ibb
2)
()()
12 12 12
()()
12 12 12
111
; zabi
222
x и 2x .
1
≤−
0,3
,x x
π
≤<
0,
,2
x
,x x tg
4
π
>
.
4
x
y =
x
, где a и b -
.
комплексного числа, обо-
.
16
3) zz abiabi aa bb iabab
⋅=+⋅⋅+⋅=−+⋅
+
−⋅+
+
⋅−⋅
+
⋅
+
zabi=+
(,)
r
ϕ
=
ϕ
)
sin
(cos
ϕ
ϕ
irbiaz
+⋅=+=
zri
=⋅+
(cos
sin
)
ϕ
ϕ
ϕ
r
r
a
ϕ
−<≤πϕ
π
ϕ
ϕ
+⋅=
ϕ
ϕ
+⋅=
(
)
(
)
k
n
=
−
0121,,,...,
4)
()( )( )( )
1 2 1 1 2 2 1 2 12 12 21
))((
z
1
=
z
2
iba
11
=
iba
⋅+
22
ibaiba
2211
=
))((
ibaiba
⋅−⋅+
2222
+
2
222
ba
(в последнем равенстве числитель и знаменатель дроби домножены на
число, комплексно-сопряженное знаменателю).
Геометрическая интерпретация комплексных чисел.
Геометрически комплексное число
изображается точкой с координа-
тами (a, b) или вектором
, идущим из начала
координат в эту точку.
Ось Ox называют действительной осью
, ось Oy - мнимой осью.
Комплексно-сопряженные числа изображаются точками, симметричными
относительно оси ox.
Перейдем на плоскости Oxy к полярным координатам
cosrbra
⎧
⎨
⎩
ϕ
sin
=
.
и
Запись
носит название тригонометрической формы
комплексного числа.
Здесь
22
bar += , rz= называется модулем комплексного числа z, ха-
рактеризует расстояние точки от начала координат.
называют аргументом комплексного числа,
cosϕ =
a
;
)()(
babaibbaa
21122121
.
sin ϕ =
b
;
b
ϕ
tg =
.
— это угол вектора с осью ox. Обычно выбирают тот угол ϕ, для кото-
рого
.
Действия над комплексными числами в тригонометрической форме
)sin(cos
irz
zz rr i
⋅ = ⋅ ++ +cos( ) sin( )ϕϕ ϕϕ
1)
12 12 1 2 1 2
zzr
121
= ⋅−+ −cos( ) sin( )ϕϕ ϕϕ
2)
3)
4)
()
r
2
nn
zr n in
=+cos sinϕϕ
⎛
nn
cos
=
rz
⎜
⎝
Справедлива формула:
,
1111
12 12
i
— формула Муавра
πϕπϕ
sin
2
+
k
⎞
⎟
n
⎠
ϕ
i
ϕϕ
ei =+ sincos
- формула Эйлера.
17
2
+
k
+
i
n
,
irz
)sin(cos
2222
С ее помощью тригонометрическая форма комплексного числа
zri
=⋅+
(cos
sin
)
ϕ
ϕ
rez=
(
)
erz
=
erz
⋅
=
k
n
=
−
0121,,,...,
3
1
+
i
313
1
3
3
−
+
(
)
iiii=⋅=
i21=−
iii
1=⋅=−
iii
i
=⋅=
−
iii
1=⋅
= i41
=
zi=−1; z=−
2
zi=
zi=−1
4
может быть записана в виде:
ϕ
i
- показательная форма комплексного числа
Действия над комплексными числами в показательной форме
ϕϕ
+
i
21
⋅=⋅
r
()
1
e
r
2
ϕ
innn
nn
2121
ϕϕ
−=i
21
i
errzz
k
πϕ
2+
n
,
1)
2)
3)
4)
z
1
z
2
erz = ,
11
ϕ
i
1
erz =
22
ϕ
i
2
.
Образцы решений
i
а) Найти
()(); ;13
+ −
ii
26
i .
Решения.
()()13 33 42
+ − =+ −− =+i i iii i;
i
ii
=
11
i
+
ii
+ −
()()
2
i
=
=+
113232
+
i
;
Рассмотрим степени числа i:
i
33
422
. . . . . . . . . .
45
642
26 4 6 2
iii
Итак,
11 1= ⋅ = ⋅− = −() ( ) .
б) Представить в тригонометрической форме числа
бразить их на комплексной плоскости, найти модуль и аргумент.
Решение.
z =+=11 2
ϕπ= −
zi i= − = ⋅−
12
ππ
⎛
⎛
cos sin
⎜
⎜
⎝
⎝
44
⎞
+ −
⎟
⎠
;
и изо-
⎞
⎛
⎞
⎜
⎟
⎟
⎝
⎠
⎠
18
z=−
2
ϕπ=
(
)
zi=
2
π
π
2
2
z4160+
=
z4160+
=. z416=−
−=⋅
+
1616(cos
sin
)
π
π
i
+++
πππ
π
k=0123,,,
π
π
π
π
π
π
π
π
z = 2
zi= − =+22cos sinππ
z = 1
ϕπ=
zi i== +cos sin
в) Найти все корни уравнения
и изобразить их на комплексной плос-
кости.
Решение.
.
Представим число –16 в тригонометрической форме
Тогда
При k = 0
При k = 1
При k = 2
При k = 3
4
zi
16= ⋅ +(cos sin )ππ и по формуле 4 страницы 17)
2
⎛
4
16
z
=
cos sin
⎜
⎝
k
i
4
zi i
1
zi i
2
zi i
3
zi i
4
2
4
⎛
2
⎜
⎝
⎛
2
⎜
⎝
⎛
2
⎜
⎝
⎛
2
⎜
⎝
k
⎞
,
⎟
⎠
⎞
=+cos sin
⎟
44
3
4
5
4
7
4
⎠
3
⎞
⎟
⎠
4
5
⎞
⎟
⎠
4
7
⎞
⎟
⎠
4
Все эти точки находятся от начала
координат на расстоянии r = 2, т.е. лежат
на окружности радиуса 2 с центром в начале координат.
.
.
22= ⋅ +
= − +cos sin
= −−cos sin
= −cos sin
22= ⋅ +
.
22= ⋅ +
.
22= ⋅ +
.
19
г) Изобразить на комплексной плоскости точки, удовлетворяющие неравенству
=
=
±
⋅
=
−
=
+
()()234
−⋅−
i
i
4
3
i
5
2
3ii
−
i
i
i
=
=
−
2
z38
=
Rez>
2; Jm z=−3
434
⋅
−
)1(
i
232
+
zi−≤22
Решение.
Точки z, отстоящие от точки
zz R− =
.
z
на расстояние R, удовлетворяют равенству
0
.
0
zi
2
В нашем случае
0
— центр
окружности. Т.к. имеет место неравенство, то искомые точки лежат внутри круга
zi
2
радиуса 2 с центром в точке
.
0
Примеры для самостоятельного решения
137) Найти zz
zi
2
25
12
.
138) Найти
3
15
;
139) Найти
;
; zz
12
;
37
.
;
z
1
; для комплексных чисел zi
z
2
6
;
;
−−i
62
i
.
3
1
140) Представить в тригонометрической и показательной форме
zi
22= −
1
; z
2
3
; zi
2
3
123
; zi
=+ .
4
141) Доказать формулы 1) – 4) с помощью тригонометрической и показа-
тельной формы.
142) Вычислить по формуле 3), перейдя к тригонометрической форме
⎛
⎜
⎝
143) Найти все корни уравнения
⎞
i
3
+
⎟
22
⎠
40
.
и изобразить на комплексной
плоскости.
144) Изобразить множества точек, удовлетворяющих неравенствам
12≤ <z
145) Вычислить, перейдя к тригонометрической форме
()116+ i ;
;
zi− = 2; z + ≤13
12
⎛
123
−−
⎜
⎝
⎞
i
⎟
2
⎠
;
3
ππ
3
; cos sin
+ i
.
.
146) Вычислить, перейдя к показательной форме
()116+ i ;
⎛
2
⎜
⎜
2
⎝
⎞
2
⎟
+
i
;
⎟
2
⎠
22ii
1
.
−
,
20
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]