Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы механики. Учебное пособие
.pdf
Примером криволинейного движения материальной точки
const
dt
является движение небольшого тела массы m, брошенного с
начальной скоростью 0v под углом к горизонту.
Дифференциальные уравнения движения можно составлять в проекциях не только на оси декартовой (прямоугольной
системы) координат, но и на оси криволинейных систем координат.
8.9. Движение точки, брошенной под углом
к горизонту в однородном поле тяжести
Пусть сопротивление воздуха отсутствует. Если дальность полета и высота траектории тела малы в сравнении с радиусом Земли, то поле сил тяжести можно считать однородным, полагая g=
.
Поместим начало координат О в начальном положении
точки. Направим ось Оу вертикально вверх; горизонтальную
ось Ох расположим в плоскости, проходящей через Оу и век-
тор 0v а ось Oz перпендикулярна первым двум осям (рис. 8.9).
Пусть угол между вектором 0v, и осью Ох равен .
На точку действует только сила тяжести
G
ции которой на оси координат равны, 0mgx , mgmg
0mgz . Подставляя эти вели-
чины в уравнения (8.16), и учи-
2
dv
тывая, что
xd
и т. д.,
2
dt
после сокращения на m получим
gvy
,
Рис. 8.9
0vx
,
Умножая обе части этих
уравнений на dt и интегрируя их, находим
Cgtv ,
2y
Cv .
3z
Начальные условия имеют вид: при t= 0
81
gm
, проек-
y
x
0vz
,
.
Cv ,
1x
z
0
1
,0z,0y,0x
.0v,sinvv,cosvv
z0y0x
Из начальных условий следует
0C,sinvC,cosvC
.
30201
Подставляя эти выражения в полученные выше решения, и
заменяя
cosvx0
v,v,v , на
zyx
, gtsinvy
0
, y и
x
,
.
0z
, получим уравнения
Интегрируя эти уравнения, получим
040
Подстановка начальных данных дает 0CCC
2
Cz ,C0,5gt sintvy ,Ccos tvx
65
, и
654
.
уравнения движения точки М принимают вид
0z ,0,5gt sintvy ,cos tvx
00
2
. (8.18)
Из последнего уравнения следует, что движение происходит в плоскости Oxy.
Имея уравнения движения точки, можно методами кинематики определить все характеристики данного движения.
1. Траектория точки. Исключая из первых двух уравнений
(8.18) время t, получим уравнение траектории точки
2
xtgy . (8.19)
gx
22
cosv2
0
Это - уравнение параболы с осью, параллельной оси Оу.
Таким образом, брошенная под углом к горизонту тяжелая
точка движется в безвоздушном пространстве по параболе.
2. Горизонтальная дальность. Определим горизонтальную
дальность X, т. е. измеренное вдоль оси Ox расстояние ОС.
Полагая в равенстве (8.19) у= 0, получаем уравнение для определения координаты точки пересечения траектории с осью Ох
Тогда 0x
,
tg(x
2
12
.
0
gx
cosv2
22
sincosv2gx
0)
.
82
Первое решение соответствует точке О, второе точке С.
2
Следовательно,
xX , и
201
. (8.20)
2sinvgX
Из формулы (8.20) видно, что такая же горизонтальная
дальность Х может быть получена при угле , для которого
21802
, т. е. если угол
90 . Следовательно,
при данной начальной скорости 0v , в одну и ту же точку С
можно попасть по двум траекториям: пологой (настильной)
(
) и крутой (навесной) (
45
45
).
При заданной начальной скорости 0v , наибольшая гори-
зонтальная дальность в безвоздушном пространстве получается, когда
, т. е. при угле
12sin
.
45
3. Высота траектории. Высота траектории H следует из
(8.19) при
201
cossinvgX5,0x
2201
sinvg5,0H . (8.21)
4. Время полета. Из первого уравнения системы (8.18) следует, что полное время полета T определяется равенством
cosTvX0 . Подставляя сюда Х, получим
При угле наибольшей дальности
2
v
0
X
, X25,0
H
g
1
. (8.22)
2
v
0
,
g4
sinvg2T
0
получаем:
45
v
T0
2
. (8.23)
g
Полученные результаты практически вполне применимы
для ориентировочного определения характеристик полета снарядов (ракет), имеющих дальности порядка сотен километров,
так как при этих дальностях (и при угле 45) снаряд основную
часть своего пути проходит в стратосфере, где сопротивлением
воздуха можно пренебречь. При меньших дальностях на результат будет сильно влиять сопротивление воздуха атмо-
83
сферные потоки (ветры). При дальностях свыше 600 км силу
r
тяжести уже нельзя считать постоянной, а гравитационное поле Земли однородным, поскольку силы тяготения, вызванные
Землей, образуют поле центральных сил - сил, сходящихся в
одной точке - центре Земли.
8.10. Задачи для самостоятельного решения
8.10.1. Клеть массой m поднимается с помощью каната,
навернутого на барабан радиуса R, вращающийся вокруг не-
t
подвижной горизонтальной оси по закону
t
)t(ch)e
. Определить силу натяжения каната как
e(5,0
функцию высоты подъема h (рис. 8.10).
8.10.2. Материальная точка массой m= 0,5 кг совершает
движение согласно уравнениям;
2
; 1ty
1t2x
2
;
3
;
1tz
причем координаты точки выражены в метрах, время - в секундах. Определить величину и направление силы, действующей на точку, в момент
с.
1t
8.10.3. Материальная точка массой m = 2 кг описывает
криволинейную траекторию по закону )t5,0sin(12s
(s вы-
ражено в м, t- в сек). В данный момент она занимает положе-
ние М и имеет скорость v=3 м/сек, причем
радиус кривизны траектории в точке М равен
6 м. Найти в этот момент силу, действующую
на эту материальную точку.
8.10.4. Материальная точка массы т
движется в плоскости Оху в сопротивляющейся среде под действием силы притяжения
Рис. 8.10
к центру О, равной
- вектор -радиус этой точки. Найти силу со-
, где k = const,
rkmF
противления среды F как функцию скоро-
сти, если известны уравнения движения точки:
84
1
nt
1
1
R
t
R
F
v
)tk(sinaex
, )tk(sinbey
nt
где
22
nkk .
8.10.5. Материальная гонка массы m = 0,5 кг движется
под действием постоянной силы F=10 Н. В начальный момент скорость точки равна
v 2 м/с. Определить скорость
0
точки в тот момент, когда она пройдет расстояние s = 5 м.
8.10.6. На материальную точку, совершающую прямоли-
нейное движение, действует сила
, равномерно убывающая с
течением времени и по истечении T с. обращающаяся в нуль.
Какой скорости достигнет точка при
T с. и какой путь она
пройдет за это время, если в начальный момент (t= 0) скорость точки равна нулю, а ее ускорение равно 0a>0 (рис. 8.5)?
8.10.7. Материальная точка М массы m движется прямо-
линейно в положительном направлении оси Ох. Точка отталкивается от неподвижного центра О силой
, пропорциональной массе m и расстоянию от центра О, причем коэффициент
пропорциональности равен k= 4. Найти закон движения точ-
ки, если начальное расстояние ее от центра О равно
начальная скорость
v 2 м/с (рис.
0
x 5 м, а
0
8.5).
8.10.8. Материальная точка
массы m= 0,1 кг движется прямоли-
Рис. 8.11
нейно под действием постоянной силы
0,3 Н. Движение происходит
в среде, сила сопротивления которой выражается линейной
функцией, скорости
2
v 0,1 0,2v R , где
- скорость точки.
Найти закон движения точки, если начальная скорость и начальная координата равны нулю (рис. 8.11).
8.10.9. Начальная скорость снаряда 0v = 490 м/с. Под ка-
ким углом к горизонту следует бросить этот снаряд из начала координат, чтобы он попал в точку с координатами y =
700 м, z = 680 м? Сопротивлением воздуха пренебречь.
85
8.10.10. Частица М массы m, несущая положительный
E
заряд электричества e, влетает в однородное электрическое
поле постоянной напряженности
, направленной горизон-
тально в положительном направлении оси x, с вертикальной
скоростью 0v. Описать дальнейшее движение частицы, зная,
что в электрическом поле на нее действует сила
, на-
EeF
правленная в сторону, противоположную напряженности поля.
При решении задачи учесть действие силы тяжести gmG
.
8.10.11. Материальная точка М массой m отталкивается
от неподвижного центра О силой
, где r - расстояние
rcF
точки М от центра О, а c - постоянный коэффициент. В начальный момент расстояние aOMr
v - перпендикулярна к направлению 0OM . Найти закон дви-
0
, а скорость точки
00
жения точки М и уравнение ее траектории. Ось x системы координат провести через точку0M горизонтально, а ось y пер-
пендикулярно оси x вверх.
8.10.12. Точка М массой m= 0,1 кг движется под действием силы, которая притягивает ее к неподвижному центру О
и пропорциональна расстоянию точки от этого центра, причем
коэффициент пропорциональности c = 0,6 H/см Движение
происходит в среде, сопротивление которой пропорционально
первой степени скорости, причем коэффициент пропорциональности =0,5 Н*с/м. Начальные условия: 0x = 0, 0y = 30 м,
v 20 м/с,
x0
v 10 м/с. Найти уравнения движения точки
y0
при отсутствии силы тяжести.
86
Глава 9. ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ ТОЧКИ
Для решения многих задач динамики, особенно динамики
системы, вместо интегрирования дифференциальных уравнений движения удобнее использовать так называемые общие
теоремы, являющимися следствиями основного закона динамики.
Общие теоремы устанавливают более простые и наглядные зависимости между основными динамическими и кинематическими характеристиками движения тел и дают принципиально новые возможности исследования движений механических систем. Эти теоремы широко применяются в инженерной
практике. Кроме того, общие теоремы позволяют изучать отдельные, важные стороны данного явления, не изучая явление
в целом. При использовании общих теорем можно избежать
некоторых операций интегрирования, которые производятся
при выводе этих теорем. Этим самым упрощается процесс решения. В данной главе рассмотрены общие теоремы механики
для материальной точки.
9.1. Импульс и кинетическая энергия точки
Основными динамическими характеристиками движения
точки являются импульс и кинетическая энергия.
Импульсом точки называется векторная величина vmp
равная произведению массы точки на вектор ее скорости. На-
правлен вектор p так же, как и скорость точки, т. е. по касательной к траектории точки.
Кинетической энергией точки называется скалярная величина T=
2
mv5,0 , равная половине произведения массы точки
на квадрат ее скорости.
Следует помнить, что при определении T можно исполь-
зовать только скорость материальной точки относительно
данной системы, то есть относительную скорость. Поэтому
кинетическая энергия точки относительно ИСО определяется с
,
87
точностью до некоторой неизвестной постоянной величины,
F
F
1
зависящей от массы точки и скорости движения этой системы.
Единицами измерения этих величин в СИ являются 1
кг*м/с (для
Необходимость введения двух динамических характеристик вызвана тем, что ни одна из них не отражает все особенности и характеристики движения точки.
Например, зная импульс автомобиля (т. е. величину
vmp
на него силу при торможении, можно определить время движения автомобиля до остановки, но по этим данным нельзя
найти пройденный за это время путь. Наоборот, зная начальную кинетическую энергию автомобиля и тормозящую силу,
можно определить тормозной путь, но нельзя найти время
торможения.
Импульс силы используется для определения действия силы на тело за некоторый промежуток времени.
Пусть
силы на точку. Элементарным импульсом силы называется
вектор
Вектор элементарного импульса направлен так же, как и
сила.
p
) и 1 Дж (Джоуль) = 1 Н*м= 1 кг*м2/с2 (для T).
, а не величины m и
9.2. Импульс силы
- элементарный промежуток времени действия
t
в отдельности) и действующую
v
. (9.1)
tFp
Импульс p силы
за конечный промежуток времени
t,0 определяется интегрированием соответствующего эле-
ментарного импульса
t
1
dtFp
. (9.2)
0
88
В частном случае, если модуль и направление силы
F
F
dt
dt
постоянны (
са p= F
= const), то
t .
1
. В этом случае модуль импуль-
tFp
1
Учитывая, что интеграл - это предел суммы, а проекция
суммы векторов на ось равна сумме проекций слагаемых на ту
же ось, проекции импульса на оси координат
t
111
(9.3)
zz
0
.dtFp,dtFp,dtFp
t
xx
0
t
yy
0
По этим проекциям можно определить вектор p и найти
его модуль и углы, образованные им с осями координат.
Для решения основной задачи динамики важно выделить
те силы, импульсы которых можно определить заранее, не зная
закона движения точки под действием этих сил. Из равенств
(9.3) видно, что такими силами являются только постоянные
силы и силы, зависящие от времени.
Для определения импульсов сил, зависящих от координат
или от скорости движения точки, надо дополнительно знать
закон ее движения, т. е. уравнения
tfz3 . Тогда выразив х, у, z или
v,v,v через t, можно оп-
zyx
tfx1 ,
tfy2 ,
ределить интегралы (9.3). Не зная закона движения точки, т. е.
не решив предварительно основной задачи динамики, импульсы таких сил определить не возможно.
9.3. Теорема об изменении импульса точки
При постоянной массе точки с учетом того, что, ускорение
точки dt/vdva
, основной закон динамики (9.3) предста-
вим в виде
.Fp
pd
)vm(d
(9.4)
k
Уравнение (9.4) выражает одновременно теорему об изменении импульса точки в дифференциальной форме: производная по времени от импульса точки равна векторной сумме действующих на точку сил.
89
Пусть точка массы m (рис. 9.1),
движется под действием силы
kFR
v
, а при
0
и имеет при t= 0 скорость
t - скорость 1v
1
. Умножим
обе части (9.4) на dt и проинтегрируем
по времени в пределах от 0 до
t . При
1
интегрировании по скорости, предела-
Рис. 9.1
vmd
при постоянной массе равен
t
1
0
ми интеграла будут соответствующие
скорости
v
v
0
v
и
v
0
. Так как интеграл от
1
, то
vm
t
11
.dtFvmvm)vm(d)vm(d
k01
0
По определению стоящие справа интегралы - это импульсы действующих сил. Поэтому
.pvmvmp
(9.5)
k01
Соотношение (9.5) выражает теорему об изменении импульса точки в конечном (интегральном) виде: изменение импульса точки за некоторый промежуток времени равно векторной сумме импульсов всех действующих на точку сил за тот
же промежуток времени.
Для вычислений вместо векторного уравнения (9.5) часто
пользуются уравнениями в проекциях на оси координат
,pmvmvp
kxx0x1x
(9.6)
,pmvmvp
kyy0y1y
.pmvmvp
kzy0z1z
В случае прямолинейного движения, происходящего вдоль
оси Ох, теорема выражается первым из этих уравнений.
9.4. Работа силы. Мощность
Для оценки действия силы на перемещающееся тело, кроме импульса силы используется работа силы. Работа характе-
90
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]