Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы механики. Учебное пособие
.pdf
Пусть
Рис. 1
4.6
лива. Тогда, очевидно,
расходовано, то
M - масса конструкции ракеты, а TM - масса топ-
к
MMM . Если все топливо из-
Tк0
MM . Тогда из (14.11) получим формулу
к
Циолковского, определяющую скорость ракеты, после израсходования всего ее топлива
)M/M1ln(uvv
. (14.12)
кT01
Эта формула верна в безвоздушном пространстве и вне
поля сил тяжести. Из формулы (14.12) видно, что предельная
скорость ракеты зависит: 1) от ее начальной скорости; 2) от
относительной скорости истечения продуктов горения; 3) от
относительного запаса топлива
кT
го. Как видно из (14.12), скорость ракеты в конце периода горения не зависит oт режима работы ракетного двигателя, т. е.
от того, с какой скоростью сжигается топливо.
Важное практическое значение формулы Циолковского
состоит в том, что она указывает возможные пути получения
больших скоростей космических полетов. Этими путями яв-
ляются увеличение
M/M ,
кT
и
v .
u
0
14.6. Задача двух тел
Примеры взаимодействия друг с
другом двух движущихся материальных точек встречаются часто. Если
считать Луну и Землю материальными точками и абстрагироваться от
взаимодействия их с другими планетами Солнечной системы, Солнцем и
звездами, то приходим к задаче двух
тел. Второй пример - взаимодействие
ядра атома водорода и электрона.
Кроме того можно привести много примеров взаимодействия
частиц при рассеянии частиц и в других явлениях. Точное решение задачи двух тел можно получить и с использованием
201
основного уравнения динамики, и с применением уравнения
12
21
1
2
r
r
1
2
12
21
12
21
2
1
Лагранжа 2 рода, и с применением уравнения Гамильтона или
принципа Гамильтона. Далее рассмотрено простейшее из указанных решений на основании основного уравнения динамики.
Задача о взаимодействии друг с другом трех и более тел,
не может быть точно решена кроме специальных случаев.
Далее вместо фразы материальная точка для краткости
используется просто точка.
Пусть )2,1i(m
- массы точек, ir
i
- их векторы - радиу-
сы относительно точки O. Пусть точки взаимодействуют друг
с другом с силами притяжения, которые могут иметь гравита-
ционную, электрическую или магнитную природу. Пусть
F
-
сила, с которой точка 1 действует на точку 2 и
F
- сила, с ко-
торой точка 2 действует на точку 1. Из рис. 14.6 следует
rrr
. Вектор
направлен из точки 1 в точку 2 и опреде-
ляет положение точки 2 относительно точки 1. Опыт показывает, что силы взаимодействия между точками могут зависеть
только от
и
r
равносильно предположению о влиянии положения точки
, которое субъективно, на физический процесс взаимодейст-
O
. Предположение о том, что эта сила зависит от
r
вия точек, который объективен. Такое предположение нарушает принцип трансляционной симметрии явлений. Трансляционная симметрия - тип симметрии, при которой свойства рассматриваемой системы не изменяются при сдвиге на некоторый вектор, который называется вектором трансляции. Принцип трансляционной симметрии фундаментальный принцип
познания, который подтверждается экспериментально.
В соответствии с третьим законом Ньютона
то есть силы
F
и
F
имеют одинаковые модули, противо-
F
=-
F
положные направления и лежат на одной прямой, проходящей
через взаимодействующие точки. При гравитационном притя-
жении точек модуль силы
2
, где G - гравитаци-
r/mGmF
,
202
онная постоянная. Векторы сил определяются выражениями
21
12
dt
dt
i
12
21
, r/rFF
r/rFF
.
Пусть в начале движения, которому соответствует время
, заданы начальные условия - то есть начальные положе-
0t
ния точек )0t(rr
i0i
)0t(rr
. Решение поставленной задачи заключается в
i0i
и их начальные скорости
определении по заданным начальным условиям законов движения точек, то есть векторов ускорений
точек, а также функций )t(r
менения векторов
r
.
i
, которые являются законами из-
i
)t(r
, скоростей
i
)t(r
i
Как известно, траекторией точки называется кривая, описываемая концом вектора, определяющего ее положение в
пространстве, при ее движении. Функция
r
определяют поло-
i
жение точки с номером i относительно точки O, то есть определяет траекторию этой точки. При движении точки О функция
r
определяет относительную траекторию точки i.
i
14.6.1. Решение задачи двух тел на основании
второго закона Ньютона
Рассмотрим простое решение этой задачи с использованием второго закона Ньютона [7]. Применяя к движению каждой точки второй закон Ньютона, получаем уравнения движения точек
2
rd
mamF
1
11121
2
(14.13)
rm
11
2
rd
mamF
2
22212
2
где
2
i
2
i
- линейное ускорение точки
rdt/rda
i
Сложение этих уравнений с учетом того, что
модули сил одинаковы, дает выражение
203
, (14.14)
rm
22
.
F
=-
F
и
0rmrmFF
221112
21
21221
1
dt
dt
dt
dt
221
1
221
1
2
1
21221
1
dt
dt
. (14.15)
Вектор )mm/()rmrm(R
направлен в центр
масс системы – точку S. Поскольку массы точек постоянны,
2
d
rmrm
2211
2
2
Rd
)mm()rmrm(
212211
2
21
или
. (14.16)
0R
Вектор скорости центра масс
constRdtRR
где
- вектор скорости центра масс в начале движения.
R
0
0
,
Следовательно, центр масс двух взаимодействующих точек движется с постоянной скоростью, то есть равномерно и
прямолинейно.
Импульс системы также сохраняется, поскольку
d
vmvmppp
d
)rmrm(
2211221121
constR)mm(R)mm(R)mm(
0212121
.
Скорость движения центра масс можно найти по начальным условиям
0R)mm(
const)mm/()vmvm(R
212021010
. (14.17)
Проинтегрировав уравнение (14.15) два раза, получим
Vrmrm
CtVrmrm
,
, (14.18)
где V и C - пока неизвестные постоянные векторы - постоянные интегрирования.
Если
d
rmrm
mmM - суммарная масса системы, то
RMR)mm()rmrm(
,
Rd
M)rmrm(
и
VRMRM
022112211
204
CtVRMrmrm
221
1
R
R
1
12
21
2112
, (14.19)
то есть вектор
центр масс системы движется в направлении вектора M/V
скорости центра масс системы постоянен и
.
Соотношения (14.16)-(14.19) описывают поведение век-
тора
, то есть поведение центра масс системы S. Для опре-
деления конкретного движения центра масс нужно определить
6 скалярных постоянных величин, составляющих V и C вдоль
осей координат. Однако соотношения (14.16) - (14.19) не позволяют определить положение конкретной точки во время
движения.
Деля (14.13) на
m , а (14.14) на 2m , и вычитая второе
уравнение из первого, получим
Подставляя сюда
d
rr
12
2
dt
2
Пусть
12
2
)rr(
rd
2
dt
21
. Величина называется приведен-
mmmm
21
F
(rr
21
FF
, получаем
m
21
(r
F
12
.
)
m
m
2
1
1
m
21
. (14.20)
F)
12
1
ной массой системы. Очевидно, что
1
m
Тогда из (14.20) следует
1
1
m
21
mm
21
mm
21
mm
21
mm
21
. (14.21)
2112
r/rmGmFr
3
.
r/rmGmFr
3
или
Тогда
3
. (14.22)
r)t(r/rGMr
где
3
- функция взаимодействия точек; M -
0r/GM)t(
суммарная масса системы.
205
То есть ускорение точки 2 относительно точки 1 в любой
r
1
1
1
1
r
r
момент времени направлено вдоль вектора
.
Интегрируя 2 раза это уравнение, получаем общие решения этого уравнения
где векторы
dtr)t(r
и
- произвольные постоянные интегриро-
0
, (14.23)
1
tdt)dtr)t((r
, (14.24)
01
вания.
Для определения конкретного движения точки 2 относительно 1 нужно найти два вектора
постоянных величин, определяющих проекции
и
0
или 6 скалярных
и
0
на ко-
ординатные оси.
С учетом начальных условий из (14.23) и (14.24) получается уравнения для определения
Векторное произведение
и
0
rrr)0t(r
,
01020
.
101020
, то есть
0)t()rr()rr(
rr)0t(r
ускорение точки 2 относительно точки 1 в любой момент времени направлено вдоль вектора
.
Векторное произведение
.
))r()dtrr(())dtr(r()rr(
11
По определению последний интеграл есть сумма бесконечно малых величин dtr
правленный вдоль
, каждая из которых есть вектор, на-
. Поскольку 0dt)t()rr()dtrr(
этот интеграл равен нулю. Следовательно
)r()rr()rr(
.
10
Пусть )rr(h
образуемой векторами
. Вектор
0
rr
. Следовательно, друг относитель-
0
перпендикулярен плоскости,
h
но друга движение точек происходит в плоскости, проходящей
перпендикулярно вектору
. Поскольку система двух точек
h
206
замкнутая, в ней выполняются законы сохранения полной ме-
r
221121221
1
M
M
1
2
1
2
M
M
M
M
M
M
ханической энергии, импульса и момента импульса. Следовательно, момент импульса точек системы должен быть постоянен и равен моменту импульса в начальный момент времени.
Тогда const)rr()r)0(r(h
0000
, то есть вектор
h
0
оп-
ределяется начальным относительным положением точки 2 –
вектором
вектором
и ее начальной относительной скоростью –
r
0
r
.
0
Соотношения (14.22) - (14.24) описывают поведение век-
тора
, то есть описывают движение точки 2 относительно
точки 1. Движение точки 1 при этом остается не определенным.
Для определения движений точек относительно точки O
можно использовать соотношение
.
Отсюда следует
m
R
m
1
2
r
1
r
. (14.25)
2
Второе соотношение имеет вид
Разрешая эти соотношения относительно
rrr
. (14.26)
r
чаем
Rr
1
m
2
r
Rr
,
2
m
1
r
. (14.27)
Дифференцируя эти соотношения по времени получаем
Rr
1
2
m
Rr
2
r
,
m
1
Rr
1
r
,
2
m
2
r
Rr
, (14.28)
m
1
r
. (14.29)
Учитывая ранее определенные зависимости )t(r
)t(r
и
, получаем искомые законы движения точек.
)t(R
207
и
M/)rmrm()mm/()rmrm(R
r
, полу-
,
,
)t(R
При
M
Рис.
14.7
Рис.
14.8
mm и мало отличаю-
21
щихся массах точек траекториями точек в относительном движении явля-
ются окружности (рис. 14.7). Центры
окружностей расположены в центре масс системы S. Точки 1
и 2 всегда расположены на прямой, проходящей через центр
масс, а их скорости направлены противоположно друг другу.
При
mm траекториями точек в относительном движении
21
являются эллипсы (рис. 14.8), фокусы которых лежат на одной
линии. Точки 1 и 2 всегда расположены на прямой, проходящей через центр масс, а их скорости направлены противоположно друг другу. В обоих случаях центр масс S движется относительно точки О равномерно и прямолинейно со скоростью
)t(Rv
.
S
14.7. Задачи для самостоятельного решения
14.7.1. Мотор, массой , прикреплен к фундаменту
болтами (рис. 13.3). Масса ротора мотора равна m, а его центр
масс В смещен относительно оси вращения на расстояние AB
= e. Ротор вращается по закону
2
t5,0 Определить верти-
кальное давление мотора на фундамент и горизонтальную силу, приходящуюся на все болты, в момент времени t 1 с.
14.7.2. Доска массой M может двигаться без трения по
наклонной плоскости с углом к горизонту. В каком направлении, и с каким ускорением должна бежать по доске собака массой m, чтобы доска не соскальзывала с наклонной
плоскости?
208
14.7.3. Снаряд массой m= 50 кг, летит со скоростью v=
M
1
800 м/с под углом
30 к вертикали и попадает в платформу с
песком и застревает в нем. Найти скорость платформы после
попадания в нее снаряда, если ее масса
16 т.
14.7.4. Летящий со скоростью v= 600 м/с под углом
к горизонту снаряд разрывается на два осколка равной
30
массы. Один из осколков начинает двигаться под углом
к горизонту. Другой падает вертикально вниз. Найти
60
скорость первого осколка.
14.7.5. Человек прыгает с берега в лодку, которая плывёт
со скоростью
ком, если при прыжке скорость человека была равна
правлена горизонтально перпендикулярно скорости
лодки
m , человека 2m . Погружением лодки после прыжка и
v . Определить скорость лодки вместе с челове-
1
1
v и на-
2
v
. Масса
1
трением о воду пренебречь.
14.7.6. По рельсам со скоростью
катится тележка массы
v
М. Человек массы m прыгает на тележку перпендикулярно
рельсам. Как изменится скорость тележки после
прыжка?
14.7.7. Две частицы массами mm
m2m
2
движутся во взаимно - перпендику-
1
и
лярных направлениях со скоростями соответственно 2v и (рис. 14.9). На частицы начинает
Рис. 14.9
действовать одинаковая сила. Определить величину и направление скорости второй частицы в момент вре-
мени, когда скорость первой частицы стала равной -
v
.
14.7.8. Железнодорожная платформа с установленным на
ней орудием движется со скоростью
v = 9 км/ч. Общая масса
1
M= 20 т. Из орудия выпущен снаряд массой m = 25 кг со скоростью
v = 700 м/с относительно платформы. Определить
2
скорость платформы после выстрела: а) когда выстрел произведен в направлении движения платформы; б) когда выстрел
209
произведен в противоположном направлении. Трением плат-
M
F
формы о рельсы пренебречь.
14.7.9. Из ракеты массы
порциями выбрасываются
продукты сгорания, массы которых m, со скоростью относительно ракеты u. Пренебрегая действием силы тяжести и сопротивлением воздуха определить скорость ракеты после вылета n - й порции, считая ракету сначала находящейся в покое.
14.7.10. Ракету массы M запускают вертикально вверх.
Скорость истечения газов из сопла равна u. При каком расходе топлива (масса в единицу времени) сила тяги двигателя
будет достаточна, чтобы: а) уравновесить действующую на ракету силу тяжести; б) сообщить ракете ускорение a= 19,6 м/c2.
14.7.11. Мяч массой m= 150 г ударяется о гладкую стену
под углом
30 к ней и отскакивает без потери скорости. Найти
среднюю силу, действующую на мяч со стороны стенки, если
скорость мяча v= 10 м/с, а время удара
= 0,1 c.
t
14.7.12. К телу, лежащему на горизонтальной плоскости, в
начале времени
t прикладывают силу
0
, направленную
вдоль плоскости. После чего тело движется до остановки в течение времени t. Найти силу трения.
210
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]