Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы механики. Учебное пособие
.pdf
Решение (11.22') показывает, что колебания точки склады-
ваются в этом случае из колебаний с частотой k и амплитудой
а, зависящей от начальных условий, и называемых собственными колебаниями, и колебаний с частотой р и амплитудой А,
не зависящей от начальных условий, которые называются вынужденными колебаниями.
Примеры различных колебаний
)t(x
приведены на рис.
11.11.
При действии различных сопротивлений, собственные ко-
лебания быстро затухают. Поэтому основными в рассматриваемом движении являются вынужденные колебания, происходящие по закону (11.22).
Рис. 11.12 Рис. 11.13
Как видно, частота р вынужденных колебаний, равна час-
тоте изменения возмущающей силы. Амплитуду этих колебаний, разделив числитель и знаменатель на k , можно представить в виде
A
где согласно (11.3) (11.20)
Следовательно
действием силы
- это статическое отклонение точки под
0
Q . Как видно, А зависит от отношения час-
0
P
0
22
0
. (11.23)
2
(p/k)-1p-k
2
00
c/Qk/P
.
0
тоты р возмущающей силы к частоте k собственных колеба-
151
ний. График этой зависимости показан на рис. 11.12 кривой,
помеченной значком h = 0 (другие кривые на графике дают
зависимость А от р/k при наличии сопротивления).
Из графика или из формулы (11.23) видно, что, подбирая
различные соотношения между р и k, можно получить вынужденные колебания с разными амплитудами. При
kp
) амплитуда равна
, или очень близка к этой величи-
0
0p
(или
не. Если величина р близка к k, амплитуда А становится очень
большой. Когда
kp
, амплитуда А ста-
новится очень малой, близкой к нулю.
Из сравнения формул (11.19) и (11.22)
следует, что при
kp
, фазы вынужден-
ных колебаний и возмущающей силы все
время совпадают (обе равны рt) . Если же
р > k, то внося минус под знак синуса, из
Рис. 11.14
Следовательно, при
(11.22) получаем
x
.
2
kp
сдвиг между фазами вынужден-
P
0
22
k-p
)-sin(pt
ных колебаний точки и возмущающей силы равен , то есть,
когда сила Q максимальна и направлена вправо, колеблющаяся точка максимально смещена влево и т. д.
11.3.1.1. Резонанс
При равенстве частоты возмущающей силы p частоте
собственных колебаний k, возникает явление резонанса. Фор-
мулами (11.22), (11.23) этот случай не описывается, поскольку
при
kp
х обращается в бесконечность при любом
0t
Можно доказать, что амплитуды вынужденных колебаний при
резонансе со временем неограниченно возрастают (рис. 11.14).
Подробнее общие свойства вынужденных колебаний и, в частности, резонанса рассмотрены ниже.
.
152
При
F
R
это решение следует искать в виде tcosptB x
Тогда ptcosBtpptsinBp2x
kp
sinptA x
не есть частное решение (11.21) и
2
.
2
2
,
и подстановка в (11.21) с учетом того, что p = k, дает
. Отсюда следует, что /p0,5P- B0 и
0
ptsinPptsinBp2
вынужденные колебания при резонансе при отсутствии сопротивления происходят по закону:
P
tcospt
0
- x
или /2)-tsin(pt
2
2p
P
0
x
. (11.24)
2
2p
Как видно, амплитуды вынужденных колебаний при резонансе действительно возрастают пропорционально времени.
Графики x(t) этих колебаний показаны на рис. 11.14. Сдвиг фаз
при резонансе равен
.
2/
11.3.2. Вынужденные колебания при наличии сопротивления
Пусть на точку действует восстанавливающая сила
ла сопротивления
, пропорциональной скорости и возму-
, си-
щающая сила Q (11.19). Дифференциальное уравнение движения имеет вид
0
ptsinQx--cxxm
.
Деля обе части уравнения на m и учитывая обозначения
2
(11.13) и (11.20)
/m 2b
, m/ck
, получим
2
0
ptsinPxkx2bx
. (11.25)
Уравнение (11.25) является дифференциальным уравнени-
ем вынужденных колебаний материальной точки при наличии
сил сопротивления. Его общее решение имеет вид
где
x - общее решение однородного уравнения, т. е. уравне-
1
ния (11.22,) (при
x определяется (11.27), а 2x - какое-
bk
1
xxx ,
21
либо частное решение полного уравнения (11.25). Пусть
)ptn siA x
2
153
где А и - постоянные, которые надо подобрать так, чтобы
(11.25) удовлетворялось тождественно.
Очевидно, что )ptsin(Apx
Пусть
x в левую часть уравнения (11.25) получим
2
22
pt
2
.
p. Подставляя производные и функцию
)cossinsin(cosP2bpAcos)sinkA(-p
0
.
Для выполнения этого равенства при любом , т. е. в лю-
бой момент времени t, коэффициенты при
sin
и
cos
левой
и правой его частях должны быть порознь равны друг другу.
Тогда,
22
cosP)p-A(k
0
, sinP2bpA
.
0
Возводя эти соотношения сначала в квадрат и складывая,
а затем деля обе части этих выражений друг на друга, получаем выражения, определяющие А и
pb4)pk(/PA
0
Так как
, )pk/(bp2tg
xxx и при k > b 1x определено (14.17),
21
2222
22
. (11.26)
решение (11.25) есть
)-Asin(pt ) t sin(k aex
-bt
1
, (11.27)
где а и - постоянные интегрирования, определяемые начальными условиями, а А и , определяются формулами
(11.26) и от начальных условий не зависят.
При b = 0 полученные решения дают формулы (11.22),
(11.22'), соответствующие случаю отсутствия сил сопротивления.
Рассматриваемые колебания являются сложными. Первое
слагаемое (11.27) – это собственные колебания (рис. 11.11, а),
а второе слагаемое - это вынужденные колебания (рис. 11.4).
Собственные колебания точки были изучены в 11.1. Как
известно, эти колебания довольно быстро затухают и по исте-
чении некоторого промежутка времени
t , называемого вре-
u
менем установления, ими практически можно пренебречь.
154
Если, например, считать, что собственными колебаниями
b
можно пренебречь, начиная с момента, когда их амплитуды
будут меньше 0,01A, то величина
1
tu
t
u
)a/A01,0ln(
. (11.28)
Как видно, чем меньше сопротивление, т. е. чем меньше b,
тем время установления больше.
Один из возможных процессов установления колебаний,
происходящих по закону (11.27) и начинающихся из состояния
покоя, показан на рис. 11.11, в.
При других начальных условиях и соотношениях между
частотами р и
tt0 может быть совершенно другим. Однако, в любом
u
случае, по истечении времени установления
k , характер колебаний в интервале времени
1
t собственные
u
колебания практически затухнут и точка будет совершать колебания по закону
)ptsin(Ax
. (11.29)
Именно эти колебания и называются вынужденными. Они
являются незатухающими гармоническими колебаниями с амплитудой А (11.26) и частотой р, равной частоте возмущающей силы. Величина определяет сдвиг фазы вынужденных
колебаний относительно фазы возмущающей силы.
Пусть
k/p
,
,
k/bh
2
00
c/Qk/P
. (11.30)
0
где - отношение частот; h - величина, характеризующая силу сопротивления,
точки под действием силы
за на пружине
зываемое силой
Деля числитель и знаменатель равенств (14.26) на
- величина статического отклонения
0
Q (например, при колебаниях гру-
0
- это статическое удлинение пружины, вы-
0
Q ).
0
k , по-
2
лучим
155
0
, )1/(h2tg
2222
h4)1(/A
2
. (11.31)
Из формул (11.31) следует, что А и зависят от двух без-
размерных параметров и h. Для большей наглядности эти
зависимости при некоторых значениях h показаны на графиках
(рис. 11.12 и 11.13).
Величину А/
называют коэффициентом динамичности.
0
Для каждой конкретной задачи по ее исходным данным можно
вычислить величины
, , h и найти значения А и , поль-
0
зуясь соответствующими графиками или формулами (11.21).
Из этих графиков (или формул) видно, что, не изменяя параметров колеблющейся системы и изменяя соотношение между р и k, можно получать вынужденные колебания с различными амплитудами.
Когда сопротивление очень мало, а величина А существенно отличается от единицы, в формулах (11.31) можно приближенно считать h= 0.
Тогда будем иметь результаты, полученные в 11.1, а
именно:
2
1/A
0
,
(11.32)
.1,
;1,0
Рассмотрим следующие частные случаи.
1) Если отношение частот очень мало, то есть p << k,
то, считая приближенно
A . Колебания в этом случае происходят с амплитудой,
0
равной статическому отклонению
, получим из формулы (11.31)
0
и сдвигом фаз
0
0
.
2) Если отношение частот очень велико ( р >> k ), то величина А становится малой. Этот случай важен при решении
проблем виброизоляции (гашения колебаний) в различных сооружениях, приборах и др. В этом случае, считая сопротивле-
ние малым и пренебрегая в (11.31)
и 1 по сравнению с
h2
2
, получаем для определения А приближенную формулу
2
0
2
p/P/A
. (11.31')
0
156
3) Во всех практически важных случаях
. Как видно
1h
из (11.31), если близка к единице, то амплитуда вынужденных колебаний достигает максимума. Явление, которое при
этом происходит, называется резонансом.
Из формулы (11.31) видно, что
знаменателе (11.31) величина
2
) имеет минимум. Из уравнения
следует, что A имеет максимум при
2
p
h21
. Следовательно, резонанс наблюдается, при
немного меньше 1. Пренебрегая величиной
с единицей, можно считать, что при резонансе
A A , когда стоящая в
max
22
h4)1()(f (где
2
0)h21(2)(f
2
h21
, т. е. при
2
h в сравнении
.
1
Для практических целей амплитуду и сдвиг фаз при резонансе можно вычислять по приближенным формулам, которые
получаются из (11.31), если в них положить
h/5,0A
, 2/2
0
. (11.31'')
p
. Тогда
1
Отсюда видно, что при малых h величина может достигать довольно больших значений.
Колебания с амплитудой
A , как и вынужденные колеба-
p
ния, устанавливаются при резонансе постепенно. Процесс установления колебаний аналогичен показанному на рис. 11.11,
в. Чем меньше сопротивление, т. е. чем меньше b или h, тем
больше величина Ар, но одновременно будет больше и время
t установления этих колебаний (см. формулу (11.28)).
u
Когда сопротивление отсутствует, т. е.
, то, как
0hb
было установлено, закон вынужденных колебаний при резонансе определяется (11.24), а график - рис. 11.14. Таким образом, при отсутствии сопротивления процесс «раскачки» системы при резонансе длится неограниченно долго, а размахи колебаний со временем непрерывно растут. Аналогично будут
происходить и резонансные колебания при очень малых сопротивлениях.
157
11.3.3. Общие свойства вынужденных колебаний
Из полученных результатов вытекает, что вынужденные
колебания имеют следующие важные свойства, отличающие
их от собственных колебаний точки.
1) Амплитуда вынужденных колебаний не зависит от на-
чальных условий.
2) Вынужденные колебания при наличии сопротивления
не затухают.
3) Частота вынужденных колебаний равна частоте возмущающей силы и от характеристик колеблющейся системы не
зависит.
4) Даже при малой возмущающей силе, когда
Q мало,
0
можно получить сильные вынужденные колебания, если сопротивление мало, а частота р близка к k (резонанс).
5) Даже при большой возмущающей силе вынужденные
колебания можно сделать сколь угодно малыми, если частота р
будет много больше k.
Вынужденные колебания и, в частности, резонанс играют
важную роль во многих областях физики и техники. Например, при работе машин, механизмов и двигателей обычно возникают периодические силы, которые могут вызвать вынужденные колебания частей машины или фундамента.
Процесс изменения амплитуды этих колебаний можно
проследить, заставляя работать на разных оборотах двигатель,
для которого р= , где - угловая скорость вращения ротора
двигателя (см. задачу 11.4). С увеличением амплитуда А
колебаний вибрирующей системы (конструкции или фундамента) будет возрастать. Когда
, наступает резонанс и
k
амплитуды вынужденных колебаний достигают максимума.
При дальнейшем увеличении амплитуда А убывает. При
амплитуда А будет практически равна нулю.
k
Во многих инженерных сооружениях явление резонанса
крайне нежелательно и его следует избегать, подбирая соотношение между частотами p и k так, чтобы амплитуды вы-
158
нужденных колебаний были практически равны нулю
2
(
kp
).
Противоположные тенденции используются в радиотехнике, где резонанс используется для отделения сигналов одной
радиостанции от сигналов всех остальных радиостанций (настройка приемника).
На теории вынужденных колебаний основывается также
конструирование ряда приборов, например, вибрографов приборов для измерения смещений колеблющихся тел (фундаментов, частей машин и др.) и, в частности, сейсмографов,
записывающих колебания земной коры, и т. п.
Задача 11.4. Балка, на которой ус-
тановлен мотор, прогибается от его веса на
= 1 см. При каком числе обо-
0
ротов вала мотора в минуту наступит
Рис. 11.15
резонанс?
Решение. Из формулы (11.11') сле-
дует, что период собственных колебаний балки g/2T
.
0
При смещении центра тяжести ротора мотора относительно оси вращения ротора на вал будет действовать центробеж-
ная сила
Q
(рис. 11.15). Частота р изменения этой силы равна
0
угловой скорости вала двигателя . Проекция этой силы на
ось Ох, равна tsinQQ
/2T1 Т.
Резонанс наступит, при
. Период вынужденных колебании
0x
TT , т. е. при
1
1
c3,3101,0/81,9/gT/2
011
.
Критическое число оборотов ротора
60
n
= 300 об/мин.
11
159
Рабочее число оборотов мотора должно быть значительно
больше
n . Если по каким то условиям скорость вращения ро-
1
тора увеличить нельзя, необходимо увеличивать жесткость
(массивность) балки.
Задача 11.5. Исследовать вынужденные колебания груза,
подвешенного к пружине (задача 11.1), если верхний конец А
пружины совершает вертикальные колебания по закону
ptsina0
.
Решение. Проведем ось Ох так же, как в задаче
11.1 (см. рис. 11.16). Пусть верхний конец пружины сместился от точки А на величину . При этом
длина пружины будет равна
xll
.
00
Тогда если пренебречь сопротивлением воздуха и учесть, что
cP , )x(clcF
0
0x
,
то дифференциальное уравнение движения, примет
вид
0
ccxP)x(cxm
.
Рис. 11.16
Отсюда, вводя, как и в задаче 1, обозначение
, получим
m/ck
22
ptsinakxkx
0
.
Следовательно, груз будет совершать вынужденные колебания, так как полученное уравнение совпадает с уравнением
(11.21) или уравнением (11.25), если в нем считать b= 0 и
2
akP
. Из (11.30) видно, что в данном случае
0
0
. Амплитуда вынужденных колебаний и сдвиг фаз опре-
0h
a
00
и
деляются формулами (11.32).
При p << k верхний конец пружины колеблется очень
медленно. Тогда
и А =
0
a а сдвиг фаз
0
= 0. Груз будет
при этом колебаться так, как если бы пружина была жестким
стержнем, что соответствует условию
160
pk
. При
kp
на-
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]