Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы механики. Учебное пособие
.pdf
поступательно. Тогда положение тела в системе отсчета
zyOx будет известно, если будет известно положение полю-
111
са А, т. е. его координаты
z,y,x и положение тела отно-
A1A1A1
сительно осей Axyz , определяемое, как и при вращении тела
относительно неподвижной точки,
углами Эйлера , , , (см. рис.
4.1; на рис. 4.7 углы Эйлера не показаны). Следовательно, уравнения
движения свободного твердого тела, позволяющие найти его положение относительно системы от-
счета
Рис. 4.8
времени, имеют вид:
zyOx в любой момент
111
);t(fz),t(fy),t(fx
3A12A11A1
. (4.7)
).t(f),t(f),t(f
654
Элементарное перемещение свободного твердого тела
можно представить в виде суммы элементарного поступательного перемещения вместе с полюсом А и элементарного поворота вокруг мгновенной оси вращения АР, проходящей через
этот полюс. Поскольку движение тела - это совокупность элементарных перемещений, движение свободного твердого тела
состоит в общем случае из поступательного движения, при котором все точки тела движутся как произвольно выбранный
полюс А со скоростью
с угловой скоростью
v
, и из серии элементарных поворотов
A
вокруг мгновенных осей вращения,
проходящих через полюс А (рис. 4.8).
Поступательная часть движения свободного твердого тела описывается первыми тремя из уравнений (4.7), а вращение
относительно полюса - последними тремя из этих уравнений.
Основными кинематическими характеристиками движения являются скорость
v
и ускорение
A
a
полюса, определяющие
A
скорость и ускорение поступательной части движения, а также
угловая скорость
и угловое ускорение
вращения вокруг
полюса. По величинам этих скоростей и ускорений в любой
31
момент времени можно найти по уравнениям (4.7).
AMr
В частном случае движение свободного тела может быть
плоскопараллельным (глава 3). При этом вектор
будет все
время перпендикулярен плоскости движения.
Следует помнить, что в общем случае, как и в случае
плоскопараллельного движения, вращательная часть движения
(в частности и векторы
и
) от выбора полюса не зависит.
При определении скоростей и ускорений точек свободно
движущегося тела можно использовать результаты 4.2.
Скорость
параллельного движения, складывается из скорости
А и скорости
v
любой точки М тела, как и в случае плоско-
M
v
A
v
, которую получает точка М, двигаясь вместе
MA
полюса
с телом вокруг полюса А, т. е.
vvv
, (4.8)
MAAM
или
)AM(vv
Здесь величина
a
тором следует полагать
AM
aaa
. (4.10)
MAAM
определяется равенством (4.5), в ко-
MA
, а AMvv
. (4.9)
MA
.
32
Глава 5. СЛОЖНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ
5.1. Относительное, переносное и абсолютное движения
До сих пор изучалось движение точки или тела относи-
тельно одной заданной системы отсчета. Однако при решении
задач механики целесообразно, а иногда и необходимо рас-
сматривать движение точки (или тела)
одновременно относительно двух систем отсчета, из которых одна считается условно неподвижной, а другая определенным образом движется относительно первой. Движение, совершаемое при этом точкой (или телом),
называется составным или сложным.
Например, шар, катящийся по
полу движущегося вагона, совершает
Рис. 5.1
тельно пола (подвижной системы отсчета) и движения вместе
с полом относительно земли (неподвижной системы отсчета).
Так сложное движение шара складывается из двух более простых и легко исследуемых движения. Возможность разложить
более сложное движение точки или тела на более простые
движения путем введения дополнительной (подвижной) системы отсчета широко используется в науке и определяет практическую ценность теории сложного движения. Кроме того,
результаты этой теории используются в динамике для изучения относительного равновесия или движения тел под действием сил.
Следует помнить, что движение по своей сути не может
быть простым или сложным, поскольку является объективным
процессом. Понятие сложного или простого движения появляется при попытке анализировать или описывать движение.
Сложность или простота движения относительны, поскольку
зависят от уровня знаний исследователя движения и выбора
системы координат для описания движения.
относительно земли сложное движение, состоящее из качения относи-
33
Рассмотрим сложное движение точки М, перемещаю-
K
K
щейся относительно подвижной системы отсчета К ( Oxyz ),
которая в свою очередь движется относительно другой системы отсчета
K (
1
zyxO ) условно называемой неподвижной
1111
(рис. 5.1). Каждая, из этих систем отсчета связана с определенным телом отсчета, не показанным на чертеже.
При описании сложного движения используются сле-
дующие определения:
1. Движение, совершаемое точкой М относительно подвижной системы координат K, называется относительным
движением. Такое движение будет видеть наблюдатель, связанный с подвижной системой K (неподвижный относительно
). Траектория АВ, описываемая точкой в относительном
движении, называется относительной траекторией. Скорость
движения точки М относительно системы K (т. е. вдоль этой
кривой АВ) называется относительной скоростью и обознача-
ется
ускорением и обозначается
r
, а ускорение точки в этом движении - относительным
v
r
. При определении
a
r
r
и
v
a
сис-
тему K удобно считать неподвижной.
2. Движение, совершаемое подвижной системой отсчета
и всеми связанными с ней точками относительно неподвижной системы
K называется переносным движением.
1
Пусть m – точка, неподвижная относительно системы K,
с которой в данный момент совпадает движущаяся точка M.
Скорость точки m называется переносной скоростью точки М
в этот момент времени и обозначается
точки - переносным ускорением точки М и обозначается
e
, а ускорение этой
v
e
a
Таким образом,
e
,
e
vv
m
aa
. (5.1)
m
Если представить, что относительное движение точки М
происходит по поверхности (или внутри) твердого тела, с которым жестко связана подвижная система K, то переносной
скоростью (или ускорением) точки М в данный момент будет
скорость (или ускорение) той точки m тела, в которой в этот
34
.
момент находится точка М.
dtvddtvddt
3. Движение, совершаемое точкой относительно непод-
вижной системы отсчета
K , называется абсолютным или
1
сложным. Траектория CD этого движения называется абсолютной траекторией, скорость - абсолютной скоростью и обозначается
чается
, а ускорение - абсолютным ускорением и обозна-
v
.
a
В приведенном выше примере движение шара относительно пола вагона будет относительным, а скорость этого
движения - относительной скоростью шара; движение вагона
относительно земли будет для шара переносным движением, а
скорость той точки пола, которой в данный момент касается
шар, будет в этот момент его переносной скоростью. Наконец,
движение шара относительно земли будет абсолютным движением шара, а скорость этого движения - абсолютной скоростью шара.
5.2. Сложение скоростей
Абсолютная скорость равна векторной сумме относительной и переносной скоростей точки
Векторы
e
,
v
v
r
и
направлены по касательным к соот-
v
re
. (5.2)
vvv
ветствующим траекториям.
e
Если угол между направлениями векторов
v
и
r
равен
v
, то модуль вектора абсолютной скорости
. (5.3)
er2e2r
cosvv2)v()v(v
5.3. Сложение ускорений
Согласно (5.1),
vd
a
re
. (5.4)
Для определения стоящих справа производных, которые,
e
в общем случае не равны
a
r
и
соответственно необходимы
a
35
r
выражения векторов
e
,
v
.
v
Пусть положение движущейся точки М в подвижной системе K определяется ее координатами х, у, z.
5.3.1. Сложение ускорений при поступательном
переносном движении
Если подвижная система отсчета K перемещается отно-
сительно неподвижной системы
K поступательно, то очевид-
1
но, что при любом положении точки М будет
re
. (5.5)
aaa
Следовательно, при поступательном переносном движении абсолютное ускорение точки равно векторной сумме относительного и переносного ускорений. Получен результат,
аналогичен тому, который дает теорема о сложении скоростей.
5.3.2. Сложение ускорений при непоступательном переносном
движении. Теорема Кориолиса
Пусть переносное
движение (т. е. движе-
Рис. 5.2
ние подвижной системы
отсчета Oxyz ) является
вращательным с угловой скоростью
Величина
рактеризующая изменение вектора относительной скорости
при переносном движении и вектора переносной скорости
.
a
k
, ха-
r
v
e
v
при относительном движении, называется поворотным или кориолисовым ускорением точки:
)v(2a
rk
. (5.6)
Тогда (5.4) примет вид
kre
. (5.7)
aaaa
Эта формула выражает следующую теорему Кориолиса:
абсолютное ускорение точки равно векторной сумме трех ус-
36
корений: относительного, характеризующего изменение отно-
сительной скорости точки в относительном движении, переносного, характеризующего изменение переносной скорости
точки в переносном движении, и кориолисова ускорения.
Если переносное движение является поступательным, то
= 0 и
k
= 0, и (5.7) переходит в (5.5).
a
5.3.3. Определение относительного, переносного
и кориолисова ускорений
Эти ускорения определяются по известным формулам
кинематики.
Так как при определении
не учитывается, то
r
определяется обычными методами ки-
a
r
движение подвижных осей
a
нематики точки.
При определении же
ное движение точки. Следовательно,
e
a
не надо учитывать относитель-
e
a
нужно определять методами кинематики твердого тела, как ускорение точки неизменно связанного с системой K и движущегося вместе с этой
системой.
Если угол между векторами
то модуль вектора
k
a
r
и
v
обозначить через ,
. (5.8)
sinv2ark
Направлен вектор
k
так же, как вектор
a
перпендикулярно плоскости, проходящей через векторы
r
в ту сторону, откуда поворот
v
r
к
на минимальный угол
v
r
v
, то есть
и
виден происходящим против хода часовой стрелки (рис. 5.2, а).
Из рис. 5.2, а видно также, что направление вектора
можно получить, спроецировав вектор
перпендикулярную
, и повернув эту проекцию
r
на плоскость Q ,
v
r
v
на 90° в
Q
k
a
сторону переносного вращения. В этом заключается правило
Н.Е. Жуковского.
37
Если относительная траектория – плоская кривая и пере-
мещается все время в своей плоскости, то угол = 90° (рис.
5.2, б), и в этом случае
Из формулы (5.6) видно, что
rk
. (5.9)
v2a
k
может обращаться в
a
нуль в следующих случаях:
1) Когда
= 0, т. е. когда переносное движение является
поступательным, или если угловая скорость переносного вращения в данный момент времени обращается в нуль.
2) Когда
r
= 0, т. е. когда относительная скорость в дан-
v
ный момент времени обращается в нуль.
3) Когда = 0, или =180°, т.е. когда относительное
движение происходит по направлению, параллельному оси
переносного вращения или если в данный момент времени
вектор
r
параллелен этой оси.
v
38
Глава 6. СЛОЖНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА
6.1. Сложение поступательных движений
Если тело движется относительно подвижной системы с
осями Oxyz (см. рис. 5.1), а эта система совершает одновременно переносное движение относительно неподвижной сис-
темы с осями
zyOx , то результирующее (абсолютное) дви-
111
жение тела называется сложным.
Задачей кинематики в этом случае является определение
зависимостей между характеристиками относительного, переносного и абсолютного движений. Основными кинематическими характеристиками движения тела, являются линейные и
угловые скорости и ускорения его точек. В данном параграфе
рассматриваются зависимости только между поступательными
и угловыми скоростями движений.
Пусть относительное движение тела является поступательным со скоростью
ступательное со скоростью
тельном движении будут иметь скорость
скорость
v
. Следовательно, по теореме сложения скоростей,
2
v
, а переносное движение - тоже по-
1
v
. Тогда все точки тела в относи-
2
v
, а в переносном -
1
все точки тела в абсолютном движении будут иметь одну и ту
же скорость
vvv
, т. е. абсолютное движение тела будет
21
поступательным.
Итак, при сложении двух поступательных движений со
скоростям
ляется поступательным со скоростью
v
, и
v
1
результирующее движение тела также яв-
2
vvv
.
21
6.2. Сложение поступательного и вращательного движений
Если сложное движение твердого тела состоит из посту-
пательного и вращательного движений, то для определения
скоростей и ускорений его точек в суммарном движении используют теоремы о сложении скоростей в сложном движении.
39
6.3. Сложение вращений тела вокруг двух
ABACBC
параллельных осей
Пусть относительное движение тела является вращением
с угловой скоростью
вокруг оси
1
aa
укрепленной на кривошипе ba (рис. 6.1,
а), а переносное вращением кривошипа bа вокруг оси
параллельной
aa
bb
, с
,
,
Рис. 6.1
угловой скоростью
. Тогда движение
2
тела будет плоскопараллельным в плоскости, перпендикулярной к указанным осям. При этом возможны три частных случая.
6.3.1. Вращения направлены в одну сторону
Пусть (S) - сечение тела плоскостью, перпендикулярной
осям вращения (рис. 6.1, б). Пусть А и В проекции осей на сечение (S). Очевидно, что точка А, лежащая на оси aA, получит скорость только от вращения вокруг оси
но, ABv
v
и
A
A
v
будут параллельны друг другу (оба перпендикулярны
B
. Точно так же ABv
2
B
. При этом векторы
1
, следователь-
bB
АВ) и направлены в противоположные стороны. Тогда точка С
(см. 3.2) будет мгновенным центром скоростей (Cv = 0), а следовательно, ось
, параллельная осям aa и bb, будет
cC
мгновенной осью вращения тела.
Тогда
, (6.1)
21
21
. (6.2)
С течением времени мгновенная ось вращения cC будет
менять свое положение, описывая цилиндрическую поверх-
40
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]