Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы механики. Учебное пособие
.pdf
1.4.3. Естественный способ
111
1
111
1
ABMAMB
1
1
Формула (1.13) показывает, что ускорение точки характеризует изменение ее скорости. Модуль и направление вектора
скорости
могут меняться. Рассмотрим плоскую траекторию,
v
имея в виду, что формулы, которые будут получены, верны и
для пространственных траекторий.
Согласно (1.10) надо построить вектор
приращения
v
вектора скорости. На
рис. 1.3 изображены
векторы скорости
и
MAv
AMv
соответственно для
моментов времени t и
t1. Для сравнения этих
векторов построим
Рис. 1.3
от точки M, т. е. перенесем вектор
положение MBv
. Угол между векторами
вектор
AMv
v
, отложив его
параллельно в
и
v
v
, назы-
ваемый углом смежности, равен углу поворота касательной к
траектории при переходе по траектории от точки M к точке M1.
По правилу векторного сложения
v
=
+
v
. Вектор приращения скорости
v
.
ABv
, или
Пусть v1>v (для случая v1<v построение аналогичное). Отложим вдоль вектора MBv
вим вектор приращения скорости
ров
отрезок MC = MA = v и предста-
виде суммы двух векто-
v
. Треугольник AMC - равнобедренный.
CBACvAB
Из (1.13) имеем
v
lima
lim
t
CBAC
t
lim
AC
t
lim
CB
t
0t0t0t0t
. (1.18)
Вектор ускорения точки состоит из двух векторов: нормального (первое слагаемое) и касательного (тангенциального)
(второе слагаемое). Нормальное ускорение характеризует из-
,
11
менение направления скорости, а касательное - изменение ве-
dt
личины скорости.
Касательным (тангенциальным) ускорением называют вектор
Так как при t 0
деляющий направление вектора
CB
lima
. (1.19)
t
0t
0, то в пределе вектор CB, опре-
, направлен по касательной
a
к траектории в точке M. Модуль этого вектора
dv
|a|a
. (1.20)
dt
Проекцией касательного ускорения на направление роста
координаты называют производную от проекции скорости на
то же направление по времени
dv
По знаку
a
a нельзя судить, будет ли движение замедлен-
. (1.21)
ным или ускоренным. Исходя из (1.10) и (1.21) легко установить, что при ускоренном движении точки знаки
наковые, а при замедленном движении - разные (
или
v < 0,
a > 0).
v и
v > 0,
a оди-
a < 0
Нормальным ускорением точки называют вектор
Направление вектора
вектора
угол 2/90
, который составляет с касательной к траектории
AC
n
AC
lima
. (1.22)
t
0t
совпадает с направлением
t/AC
. При t 0 90°.
12
Следовательно, вектор нормального ускорения
n
направ-
a
лен по нормали (перпендикуляру) к касательной к кривой к
центру кривизны траектории в точке касания.
Модуль нормального ускорения
n
AC
lima
0t
vv
t
2
v
. (1.23)
Поскольку в любой точке прямой траектории радиус кривизны равен бесконечен = , кривизна кривой 0/1k
.
0an
, и
Для окружности радиус кривизны равен радиусу окружности, поэтому в любой точке окружности k = 1/R.
Итак, вектор полного ускорения точки равен сумме векторов касательного и нормального ускорений этой точки
n
. (1.24)
aaa
Из теоремы Пифагора (см. рис. 1.12) следует
22n
)a()a(|a|a
. (1.25)
Возможны следующие частные случаи.
Прямолинейное равномерное движение (инерциальное
движение). В этом случае = , v= const. Отсюда (см. (1.21) и
(1.23)):
n
= 0;
a
= 0; и поэтому а= 0.
a
Прямолинейное неравномерное движение. Согласно (1.21)
и (1.23)
n
= 0, поэтому
a
aa
и a=
При криволинейном движении с v= const
n
; а =
aa
n
= v2/.
a
= dv/dt.
a
= dv/dt = 0;
a
Движение точки, при котором величина касательного ускорения постоянна a = const, называют равнопеременным. От-
сюда, согласно (1.21)
v =
a
t + C1. Произвольную постоянную интегрирования
чаем
dv =
a
dt, после интегрирования полу-
13
можно определить из начального условия: при t0 = 0
+
0
a
t +
a
Имеем
v
= C1, следовательно,
0
(1.10) и умножая на dt, находим
После интегрирования получаем =
v =0v
d
=
v
dt +
0
v
v =v
t. Учитывая
t dt.
a
t2/2 + C2.
Произвольная постоянная C2 определяется из начального условия при t0 = 0, =
Тогда
0.
=
0
+
= C2 и
0
v
t +
0
a
t2/2.
Итак, для равнопеременного движения
2
000
ta5,0tv;tavv
. (1.26)
При решении задач почти всегда можно выбрать начало
отсчета координаты так, что
= 0.
0
.
0
14
Глава 2. ПРОСТЕЙШИЕ ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА
1
2.1. Поступательное движение
Поступательным называют движение твердого тела, при
котором ось, соединяющая любые две точки тела, перемещается сохраняя свою ориентацию в пространстве.
При поступательном движении
твердого тела траектории всех его точек имеют одинаковую форму и при
наложении совпадают.
При поступательном движении
твердого тела для каждого момента
времени скорости и ускорения всех точек тела одинаковы.
Следовательно, поступательное
Рис. 2.1
движение твердого тела характеризу-
ется движением одной из его точек и
изучение этого движения сводится к изучению движения одной из точек тела.
2.2. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси
Вращением твердого тела во-
круг неподвижной оси называют
движение тела, при котором все
его точки, лежащие на этой оси,
остаются неподвижными (рис.
2.2).
Все точки на прямой OO1, на-
зываемой осью вращения l тела,
также неподвижны. Траектории
всех точек тела есть окружности,
Рис. 2.2
плоскости которых перпендикулярны оси вращения, а центры
лежат на этой оси. Пусть плоскость
Q скреплена с телом, а
плоскость Q неподвижна, и угол между этими плоскостями
15
при t0 = 0 равен нулю. Считая, расположение тела относитель-
dt
но плоскости Q1 известным, положение тела относительно
плоскости Q, можно определить углом . Поэтому равенство
является законом, или уравнением, вращательного движения
тела. Существуют две характеристики движения твердого тела.
При вращении твердого тела вокруг неподвижной оси
первую производную по времени от угла поворота тела называют угловой скоростью тела
Поскольку угол измеряется в радианах, единицей измерения угловой скорости в СИ является 1 с-1, что означает радиан
в секунду.
Равномерным называют вращение твердого тела с постоянной угловой скоростью: = const. Из (2.2) следует, что d =
dt. Считая, что
= t + С. При t0 = 0
= t т.е.
t/
Часто при описании вращательных движений удобно считать угловую скорость вектором. Вектор угловой скорости
имеет модуль равный и направлен вдоль оси вращения тела
или точки так, чтобы, глядя в направлении, противоположном
направлению этого вектора, можно было видеть вращение
происходящим против хода часовой стрелки.
В технике часто используется частота вращения, измеряемая числом оборотов в минуту. Из (2.3) следует, что угловая
скорость для равномерного вращения является углом поворота
в единицу времени. За один оборот тело поворачивается на
угол 2 рад, а если тело совершает n об/мин, то за минуту оно
опишет угол 2 n рад. Следовательно
30/)мин/об(n)с/1(
= const, после интегрирования, получаем
=
(t), (2.1)
2.2.1. Угловая скорость
d
. (2.2)
= 0, и, следовательно, C = 0. Отсюда
0
. (2.3)
. (2.4)
16
2.2.2. Угловое ускорение
dt
При вращении твердого тела вокруг неподвижной оси угловым ускорением тела называют первую производную по
времени от угловой скорости тела
d
. (2.5)
Единица измерения [] = 1/с2. Сравнивая (2.2) и (2.5), находим
2
d
. (2.6)
2
dt
Во многих случаях при описании вращательных движений
удобно считать угловое ускорение вектором. Вектор углового
ускорения
имеет модуль равный и при вращении относительно неподвижной оси направлен вдоль оси вращения тела
или точки так же, как и вектор
ложном направлении при
при
.
0
, или в противопо-
0
Равнопеременным называют вращение твердого тела, при
котором величина углового ускорения постоянна = const. Из
(2.5) d = dt. Интегрируя и считая, что при t0 = 0 =
, по-
0
лучаем
Из (2.1) и (2.6) следует: d =
раз при начальном условии t0 = 0,
=
+ t. (2.7)
0
dt + tdt. Интегрируя еще
0
= 0, получаем
0
2
t5,0t
0
. (2.8)
2.2.3. Линейные скорость и ускорение
Если r - радиус окружности, - криволинейная координата точки на окружности, а - центральный угол, соответст-
вующий координате и выраженный в радианах, то = r.
Учитывая (1.10), (2.5) и (1.20), (1.23) и (2.6), получаем выра-
жения для линейной скорости и касательного и нормального
ускорений точки
17
r
r
dv
dt
d
dt
d
dt
v
)r(
d
v , (2.9)
dt
a , (2.10)
n
a
d
r)r(
r
dt
d
r)r(
r
dt
22
2
r
. (2.11)
Согласно (2.10) и (2.11), модуль полного ускорения точки
2
raaa
n
422
. (2.12)
Полное ускорение образует с нормальным ускорением
точки угол
.
2n
/)a/a(arctg
18
Глава 3. ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ
3.1. Плоскопараллельное движение
Плоскопараллельным, или
плоским, называют движение
твердого тела, при котором существует такая неподвижная плоскость P, что расстояние от любой
точки тела до этой плоскости во
время движения не изменяется
(рис. 3.1). При этом всякий отре-
зок прямой kkML , связанный с
Рис. 3.1
Рис. 3.2
ние плоскопараллельного движения тела сводится к изучению
движения его сечения - плоской фигуры S в своей плоскости Q
(плоскость ху).
Изучение плоского движения тела имеет важное прикладное значение, так как почти все части большинства механизмов и машин совершают плоскопараллельное движение.
Пусть начало поступательно движущейся системы координат Аx1y1 (рис. 3.2) (оси которой остаются параллельными
одноименным осям системы Ox и Oy) помещено в произволь-
телом и перпендикулярный плос-
кости P перемещается поступательно, и поэтому все точки этого
отрезка движутся одинаково. Если
провести плоскость Q параллельно
плоскости P так, чтобы она пересекала тело, то получим плоскую фигуру S, по движению точек которой
можно определить движения всех
точек тела. Например, точка Ак в
плоскости Q будет двигаться так же,
как и все точки отрезка kkML . Пло-
ская фигура S будет двигаться в
плоскости Q. Следовательно, изуче-
19
ную точку А плоской фигуры S. Фигура S при движении может
поворачиваться относительно точки
А. Ниже точку А называют полюсом.
Можно представить себе, что через
точку А проходит ось вращения фигуры S относительно подвижных осей
Аx1 и А1y
Если плоскую фигуру S
1 .
мысленно скрепить с подвижными
осями, то она будет двигаться вместе
с ними поступательно.
Для выяснения сущности плос-
копараллельного движения рассмот-
Рис. 3.3
рим два положения 1 и 2, которые заняло сечение тела S в моменты вре-
мени
t и ttt
1
(рис. 3.3). Очевидно, что сечение S, а с
12
ним и все тело, можно перевести из положения 1 в положение
2 в два приема. Сначала можно перенести тело поступательно,
так, чтобы полюс А двигался по его траектории из точки
точку
A . При таком движении отрезок А
2
, двигаясь парал-
1В1
лельно самому себе, переместится в положение
BA
. Затем
22
A в
1
следует повернуть сечение S вокруг полюса А2 на угол , отсчитанный от отрезка
BA
. Рассмотренные движения можно
22
реализовать и в обратном порядке.
Отсюда следует, что плоскопараллельное движение твердого тела можно считать состоящим из поступательного движения, при котором все точки тела движутся так же, как и полюс, и вращательного движения тела относительно этого полюса.
Оба составляющих движения происходят одновременно и
в результате, как образуют в каждый момент времени вращательное движение вокруг особой точки - мгновенного центра
скоростей, неподвижной в данный момент времени относительно неподвижной системы Оху.
20
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]