Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы механики. Учебное пособие
.pdf
Например, при
2kT
колебания происходят по закону си-
0
нуса (начинаются от центра О со скоростью, направленной
вправо), при
- по закону косинуса (начинаются из
2/
положения х= а со скоростью 0v
).
0
Величина k, совпадающая с угловой
скоростью вращения радиуса ОВ, показанного на рис. 14.3, называется круговой частотой колебаний.
Промежуток времени Т, в течение
которого точка совершает одно полное
колебание, называется периодом колебаний.
Рис. 11.3
По истечении периода фаза изменя-
ется на
. Следовательно, kT= 2 и
2
. (11.7)
k/2T
Величина , обратная периоду колебаний и определяющая число колебаний, совершаемых за одну секунду, называется частотой колебаний
1
. (11.8)
Отсюда видно, что величина k отличается от только постоянным множителем 2.
Величины а и определяются по начальным условиям.
Считая, что при
(11.6) asinax
,
0
0t
0
xx , и
0
acos/kv
. Отсюда, складывая сначала
vv , получим из (11.5) и
0x
квадраты этих равенств, а затем, деля их левые и правые части
друг на друга, получим
/kvx a
2
,
0
22
0
v /kx tg
. (11.9)
oo
Свободные колебания при отсутствии сопротивления
имеют следующие свойства:
1) амплитуда и начальная фаза колебаний зависят только
от начальных условий;
2) круговая частота k, а следовательно, и период Т колеба-
ний от начальных условий не зависят, (см. равенства (11.2) и
141
(11.7)) и являются постоянными характеристиками данной ко-
F
P
F
лебательной системы.
Отсюда следует, что для определения только периода или
частоты колебаний, надо составить дифференциальное уравнение движения и привести его к виду (11.3). После этого период можно определить по (11.7) без интегрирования дифференциального уравнения колебаний системы.
11.1.1. Влияние постоянной силы на свободные
колебания точки
Пусть на точку М, кроме восстанавливающей силы
направленной к центру колебаний О, действует еще постоян-
ная по модулю и направлению сила
(рис. 11.4). Пусть величина силы
пропорциональна расстоянию от
центра О, т. е.
. Очевидно,
c0M F
что в этом случае положением рав-
Рис. 11.4
новесия точки М будет центр
O ,
1
отстоящий от точки О на расстоянии
OO , которое определяется равенством Pc0
0 1
c/P
Величину
Примем центр
называют статическим отклонением точки.
0
O за начало отсчета х и направим коорди-
1
0
. (11.10)
или
натную ось xO1 в сторону действия силы Р. Тогда
)x(cF
, PPx . Составляя дифференциальное урав-
0x
нение движения (14.2) и учитывая, что Pc
cxxm
или 0xkx
2
0
.
, получим
Здесь k определяется по (11.2). Полученное уравнение
совпадает с уравнением (11.3). Следовательно, постоянная сила Р не изменяет характера колебаний, совершаемых точкой
под действием восстанавливающей силы F, а только смещает
,
142
центр этих колебаний в сторону действия силы Р на величину
статического отклонения
Выразим период колебаний через
имеем
2
P/mm/c k
. Тогда из (11.7) следует
P/mk/ T
.
0
. Из (11.10) и (11.2)
0
0
. (11.11)
0
Таким образом, период колебаний пропорционален корню
квадратному из статического отклонения
.
0
При колебаниях груза на вертикальной пружине (см. рис.
11.5), силой Р является сила тяжести. Тогда, формула (11.11)
примет вид
g/ T
. (11.11’)
0
Задача 11.1. Груз подвешивают к концу В
вертикальной пружины АВ и отпускают без начальной скорости. Определить закон колебаний
груза, если в равновесном положении растяжение пружины равно
- статическому удлине-
0
нию пружины.
Решение. Пусть груз можно считать материальной точкой, начало координат O совпадает с
центром масс груза, находящегося в положении
статического равновесия, а ось Ох направлена по
вертикали вниз (рис. 11.5). Сила упругости
Рис. 11.5
, где
lcF
В данном случае xl
- растяжение пружины.
l
x)c(- F
.
0x
. Поэтому,
0
Дифференциальное уравнение движения груза
0
По условиям задачи сила тяжести
G x)-c(xm
.
FmgG
, поскольку
в положении равновесия груз удерживается силой упругости
пружины. Введя обозначение
2
0xkx
.
2
k g/ c/m
0
, получаем
143
Период колебаний груза
g/2 /k2 T
.
0
Следовательно, период колебаний пропорционален корню
квадратному из статического удлинения пружины.
Решением полученного дифференциального уравнения
является функция kt cos C sinktC x
По начальным условиям при t = 0
как ktsinkCktcoskCdt/dxv
ные условия, получим 0C
бания происходят с амплитудой
.
21
x , 0vx =0. Так
, то подставляя началь-
21x
,
1
C . Следовательно, коле-
02
по закону ktcosx
0
0
.
0
Отсюда видно, что наибольшее удлинение пружины при
колебаниях груза равно
2
. Этот результат получается и в
0
том случае, когда колеблющееся тело прикреплено к какомулибо упругому телу, например к гибкой балке (см. задачу 9.6).
Рассмотренное решение подтверждает то,
что постоянная сила Р не изменяет характера
колебаний, происходящих под действием силы
упругости F, а только смещает центр этих колебаний в сторону действия силы Р (рис. 11.5)
на величину
. Очевидно, что при отсутствии
0
силы Р колебания происходили бы, около
центра В.
Задача 11.2. Определить период колебаний
груза массы т, подвешенного на двух пружи-
Рис. 11.6
нах с коэффициентами жесткости
c , и 2c ,так,
1
как показано на рис. 11.6, а.
Решение. Каждая из пружин в статическом положении
растягивается силой Р= тg. Следовательно, статические удлинения пружин будут равны
c/mg
,
101
c/mg
.
202
Общее удлинение пружин
cc/)cc(mg
.
212102010
144
Эквивалентная жесткость пружины это жесткость некото-
рой пружины, заменяющей в колебательном процессе несколько
пружин. Эквивалентная жесткость
определяется по формуле
Рис. 11.7
)cc/(cc/Pc
.
21210
В частном случае, когда жесткости
пружин одинаковы, например при ccc
2121
, получаем
21
c5,0)cc/(ccc
Период колебаний системы
cc/)cc(m2g/2T
.
21210
Задача 11.3. Решить предыдущую задачу, считая, что груз
подвешен на пружинах согласно рис. 11.6, б.
Решение. В этом случае очевидно, что статические де-
формации обеих пружин будут одинаковыми и равными по
модулю
силой
. При этом верхняя пружина будет растягиваться
0
cF , а нижняя сжиматься силой
011
cF . Урав-
022
нение равновесия груза в проекциях на вертикальную ось примет вид 0FFG
0201
)cc/(mg
пружин
210
0ccmg
. Статическое удлинение пружин
. Эквивалентная жесткость системы двух
. Отсюда следует, что
21
cc/mgc
. Период колебаний системы
210
)cc/(m2g/2T
.
210
11.2. Свободные колебания при сопротивлении,
пропорциональном скорости (затухающие колебания)
Рассмотрим влияние на свободные колебания сопротивле-
ния среды, считая, что сила сопротивления пропорциональна
первой степени скорости: vR
.
145
Здесь знак минус указывает, что сила
R
F
R
тивоположно вектору скорости
v
колеблющегося тела. Пусть
направлена про-
на точку при ее движении действует восстанавливающая сила
и сила сопротивления
xdt/dxvR
xx
и дифференциальное уравнение
(рис. 11.7). Тогда cxF
,
x
движения точки примет вид
x--cxxm
.
Деля обе части уравнения на т, получим
2
0xk xb2x
, (11.12)
где
2
m/b2
, m/c k
. (11.13)
Легко проверить, что величины k и b можно сравнивать
друг с другом, поскольку их размерности одинаковы (1/сек).
Уравнение (11.12) является дифференциальным уравнением свободных колебаний материальной точки при сопротивлении, пропорциональном скорости. Его решение, как и решение
уравнения (11.3), ищут в виде
nt
ex . Подставляя это выраже-
ние в уравнение (11.12), получим характеристическое уравнение 0kbn2n
При
22
с корнями
22
2,1
, т. е. когда сопротивление по сравнению с вос-
bk
kbbn , (11.14)
станавливающей силой мало и
из (11.14) получим:
1
2,1
22
(11.15)
bkk
22
ikbbkibn .
1
Отсюда следует, что характеристическое уравнение имеет
комплексные корни. Тогда общее решение уравнения (11.12)
будет, очевидно, отличаться от решения уравнения (11.3)
только множителем
) tk cos Ct sinkC(ae x
bte
и примет вид
-bt
, (11.16)
1211
или, по аналогии с равенством (11.5),
)t(k sinaex
-bt
146
. (11.17)
1
Входящие сюда величины а и являются постоянными
t
Рис. 11.8
интегрирования и определяются начальными условиями.
Колебания, происходящие по закону (14.17), называют за-
тухающими, так как за счет множителя
bte
x со временем убы-
вает, стремясь к нулю при
График этих колебаний показан
на рис. 11.8 (график заключен
между кривыми
-bt
ae- x , поскольку модуль
единицы.
функции )tsin(k
не более
1
-bt
ae x и
Промежуток времени Т, равный периоду функции
)tsin(k
, то есть величину
1
11
22
. (11.18)
bk/2k/2T
называют периодом затухающих колебаний. За период точка
совершает одно полное колебание, т. е., например, начав двигаться из положения х= 0 вправо (см. рис. 11.8), приходит в то
же положение, двигаясь также вправо. Формула (11.18) с учетом равенство (11.17), принимает вид
2222
1
))k/b/(5,01(T
. (11.18’)
Из полученных формул видно, что TT
2
k/b1/Tk/b1k/(2T
т. е. что при
1
действии сил сопротивления период колебаний несколько увеличивается. При малом сопротивлении k и b, имеют различ-
ный порядок и k >> b . Тогда величиной
2
)k/b( по сравнению
с единицей можно пренебречь и считать Т1 =Т. Следовательно,
малое сопротивление на период колебаний практически не
влияет.
Промежуток времени между двумя последовательными
отклонениями колеблющейся точки вправо (или влево) также
оказывается равным Т1. Следовательно, если первое макси-
.
147
мальное отклонение вправо х, происходит в момент
M
рое отклонение х2, наступит в момент
ле (11.17), учитывая, что
1
2
)T-b(t
2kT1 , получим:
-bt
1
11
Так же для любых отклонений
Tt . Тогда по форму-
11
) t sin(k aex
,
и
1nx
x
n
1111
T-b
e x))T (t sin(k aex
t то вто-
1
111
.
e xx
n1n
T-b
1
.
Следовательно, максимальные отклонения материальной
точки (амплитуды колебаний) убывает по закону геометрической прогрессии.
Знаменатель этой прогрессии
T-b
1
e называется декрементом затуха-
ния колебаний, а модуль его логарифма, т. е. величина
bT - логарифмиче-
1
ским декрементом затухания.
m/
называ-
Рис. 11.9
Коэффициент
ется коэффициентом затухания.
Из изложенного следует, что малое сопротивление почти
не влияет на период колебаний, но вызывает постепенное их
затухание - убывание амплитуды колебаний по закону геометрической прогрессии.
Пусть b> k, т. е. сопротивление по сравнению с восстанавливающей силой велико. Пусть
рактеристического уравнения (14.14) будут равны rbn
22
kbr . Тогда корни ха-
2,1
.
Так как r < b, то оба корня действительны и отрицательны и
решение уравнения (11.12) при b>k, имеет вид
t)rb(
t)rb(e
и
t)rb(e
со време-
Поскольку
1
, функции
0rb
t)rb(
eCeCx
.
2
нем монотонно убывают, асимптотически стремясь к нулю.
Движение точки в этом случае не будет колебательным. Точка
под действием восстанавливающей силы будет асимптоти-
чески приближаться к положению равновесия, при котором х=
148
0. График такого движения с начальными условиями при t = 0
F
xx , 0vx показан на рис. 11.9.
0
11.3. Вынужденные колебания. Резонанс.
Пусть кроме восстанавливающей силы
на точку
действует и периодически изменяющаяся со временем сила Q,
проекция которой на ось Ох (рис. 11.10) равна
ptsinQQ
. (11.19)
0x
Эта сила называется возмущающей (возбуждающей) силой, а колебания при действии такой силы, называются вынужденными. Величина р в (11.19) называется частотой возмущающей силы.
Возмущающей силой может быть и
сила, изменяющаяся со временем по
произвольному периодическому закону.
Рис. 11.10
Рассмотрим случай, когда Q изменяется
по закону (11.19). Такая возмущающая
сила называется гармонической. Подобная сила возникает при
вращении тела, центр тяжести которого смещен относительно
оси вращения (см. задачу 11.4).
11.3.1. Вынужденные колебания при отсутствии сил
сопротивления
Пусть на точку кроме восстанавливающей силы F (см. рис.
11.10), действует только возмущающая сила Q. Дифференциальное уравнение движения в этом случае имеет вид
0
ptsinQ-cxxm
.
Пусть
m/QP
. (11.20)
00
Тогда, с учетом (11.2)
2
0
ptsinPxkx
. (11.21)
149
Уравнение (11.21) является дифференциальным уравнени-
ем вынужденных колебаний материальной точки при отсутствии сил сопротивления. Его решение, как известно из теории дифференциальных
уравнений, имеет вид
x - общее решение уравнения без
1
xxx , где
21
правой части, т.е. решение уравнения
(11.3), определяемое равенством
(11.5), а
x - какое-либо частное ре-
2
шение полного уравнения (11.21).
Считая,
kp
, ищем решение x
в виде tsinAx
, где А - постоянная
2
величина, при которой (11.21) станет
тождеством. Подставляя
x в (11.21),
2
получим
22
0
pt sinP pt sinA k pt sinA p-
Это равенство должно выпол-
няться при любом t. Поскольку
Рис. 11.11
, это возможно при
22
P )p-A(k
0
или
0
22
)p-/(kP A
.
Таким образом, искомое частное решение имеет вид
P
sinpt
Так как
2
xxx , а 1x определено (11.5), то общее ре-
21
0
x
. (11.22)
22
p-k
шение (11.21)
P
sinpt
0
)asin(kt x
22
p-k
. (11.22')
где а и - постоянные интегрирования, определяемые начальными данными.
.
kp
150
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]